2019年高考数学一轮总复习第八章解析几何8.7抛物线课时跟踪检测（理科）.doc

1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 8.7 抛物线 课 时 跟 踪 检 测 基 础 达 标 1抛物线 y 4ax2(a0) 的焦点坐标是 ( ) A (0， a) B (a,0) C.? ?0， 116a D ? ?116a， 0 解析：将 y 4ax2(a0) 化为标准方程得 x2 14ay(a0) ，所以焦点坐标为 ? ?0， 116a ，所以选 C. 答案： C 2以 x 1 为准线的抛物线的标准方程为 ( ) A y2 2x B y2 2x C y2 4x D y2 4x 解析：由准线 x 1 知，抛物线方程为 y2 2px(p0)且 p2 1， p 2， 抛物线的方程为 y2 4x，故

2、选 D. 答案： D 3已知点 A( 2,3)在抛物线 C： y2 2px(p0)的准线上，记 C 的焦点为 F，则直线 AF的斜率为 ( ) A 43 B 1 C 34 D 12 解析：由已知，得准线方程为 x 2，所以 F 的坐标为 (2,0)又 A( 2,3)，所以直线AF 的斜率为 k 3 0 2 2 34. 答案： C 4设 F 为抛物线 y2 2x 的焦点， A、 B、 C 为抛物线上三点，若 F 为 ABC 的重心，则|FA | |FB | |FC |的值为 ( ) A 1 B 2 C 3 D 4 解析：依题意， 设点 A(x1， y1)， B(x2， y2)， C(x3， y3

3、)，又焦点 F? ?12， 0 ， x1 x2 x3 3 12=【 ;精品教育资源文库 】 = 32， 则 |FA | |FB | |FC | ? ?x112 ?x212 ?x312 (x1 x2 x3)323232 3. 答案： C 5已知 P为抛物线 y 12x2上的动点，点 P在 x 轴上的射影为点 M，点 A 的坐标是 ? ?6， 172 ，则 |PA| |PM|的最小值是 ( ) A 8 B 192 C 10 D 212 解析：依题意可知焦点 F? ?0， 12 ，准线方程为 y 12，延长 PM 交准线于点 H(图略 ) 则 |PF| |PH|， |PM| |PF| 12， |PM

4、| |PA| |PF| |PA| 12， 即求 |PF| |PA|的最小值 因为 |PF| |PA| FA|， 又 |FA| 62 ? ?172 12 2 10. 所以 |PM| |PA|10 12 192 ，故选 B. 答案： B 6已知过抛物线 y2 2px(p0)的焦点 F 且倾斜角为 60 的直线 l 与抛物线在第一、四象限分别交于 A， B 两点，则 |AF|BF|的值为 ( ) A 5 B 4 C 3 D 2 解析：设 A(x1， y1)， B(x2， y2)， 由题意知 AB 所在的直线方程为 y 3? ?x p2 ， 联立? y2 2px，y 3? ?x p2 ， 得 x2 5

5、p3xp24 0， =【 ;精品教育资源文库 】 = 所以 x1 3p2 ， x2 p6，所以 |AF|BF|32pp2p2p6 3. 答案 ： C 7 (2018 届豫南九校联考 )已知点 P 是抛物线 x2 4y 上的动点，点 P 在 x 轴上的射影是点 Q，点 A 的坐标是 (8,7)，则 |PA| |PQ|的最小值为 ( ) A 7 B 8 C 9 D 10 解析：抛物线的焦点为 F(0,1)，准线方程为 y 1，延长 PQ 交准线于 M，如图所示，根据抛物线的定义知， |PF| |PM| |PQ| 1. 所以 |PA| |PQ| |PA| |PM| 1 |PA| |PF| 1| AF

6、| 1 82 2 110 1 9. 答案： C 8已知抛物线 y2 4x，圆 F： (x 1)2 y2 1，过点 F 作直线 l，自上而下顺次与上述两曲线交于点 A， B， C， D(如图所示 )，则下列关于 |AB| CD|的值的说法中，正确的是 ( ) A等于 1 B等于 4 C最小值是 1 D最大值是 4 解析：设直线 l： x ty 1，代入抛物线方程，得 y2 4ty 4 0.设 A(x1， y1)， D(x2，y2)，根据抛物线的定义知， |AF| x1 1， |DF| x2 1，故 |AB| x1， |CD| x2，所以 |AB| CD| x1x2 y214y224y1y2 21

7、6 . 而 y1y2 4，故 |AB| CD| 1. 答案： A 9抛物线 y x2上的点到直线 4x 3y 8 0 距离的最小值是 _ =【 ;精品教育资源文库 】 = 解析：解法一：如图，设与直线 4x 3y 8 0 平行且与抛物线 y x2相切的直线为4x 3y b 0，切线方程与抛物线方程联立得? y x2，4x 3y b 0， 消去 y 整理得 3x2 4x b 0，则 16 12b 0，解得 b 43，所以切线方程为 4x 3y 43 0，抛物线 y x2上的点到直线 4x 3y 8 0 距离的最小值是这两条平行线间的距离 d ? ?8 435 43. 解法二：由 y x2，得 y

8、 2x.如图，设与直线 4x 3y 8 0 平行且与抛物线 y x2 相切的直线与抛物线的切点是 T(m， m2)，则切线斜率 k y| x m 2m 43，所以 m 23，即切点 T? ?23， 49 ，点 T 到直线 4x 3y 8 0 的距离 d ? ?83 43 816 9 43，由图知抛物线 y x2上的点到直线 4x 3y 8 0 距离的最小值是 43. 答案： 43 10若点 P 在抛物线 y2 x 上， 点 Q 在圆 (x 3)2 y2 1 上，则 |PQ|的最小值为 _ 解析：由题意得抛物线与圆不相交， 且圆的圆心为 A(3,0)，半径为 1， 则 |PQ| PA| |AQ|

9、 |PA| 1， 当且仅当 P， Q， A 三点共线时取等号， 所以当 |PA|取得最小值时， |PQ|最小 设 P(x0， y0)，则 y20 x0， |PA| x0 2 y20 x20 6x0 9 x0 ? ?x0522 114 ，当且仅当 x0 52时， |PA|取得最小值 112 ，此时 |PQ|取得最小值 112 1. 答案： 112 1 =【 ;精品教育资源文库 】 = 11已知抛物线 y2 2px(p0)的焦点为 F， A 是抛物线上横坐标为 4，且位于 x 轴上方的点， A 到抛物线准线的距离等于 5，过 A 作 AB 垂直于 y 轴，垂足为 B， OB 的中点为 M. (1)

10、求抛物线的方程； (2)若过 M 作 MN FA，垂足为 N， 求点 N 的坐标 解： (1)抛物线 y2 2px 的准线为 x p2， 于是 4 p2 5，所以 p 2. 所以抛物线方程为 y2 4x. (2)因为点 A 的坐标是 (4,4)， 由题意得 B(0,4)， M(0,2) 又因为 F(1,0)，所以 kFA 43， 因为 MN FA，所以 kMN 34. 所以 FA 的方程为 y 43(x 1)， MN 的方程为 y 2 34x， 联立 ，解得 x 85， y 45， 所以 N 的坐标为 ? ?85， 45 . 12已知过抛物线 y2 2px(p0)的焦点，斜率为 2 2的直线交

11、抛物线于 A(x1， y1)， B(x2，y2)(x10， x0) 和半圆 x2 y2 r2(x0) 所组成的曲线称为 “ 黄金抛物线 C” ，若 “ 黄金抛物线 C” 经过点 (3,2)和 ? ? 12， 32 . (1)求 “ 黄金抛物线 C” 的方程； (2)设 P(0,1)和 Q(0， 1)，过点 P 作直线 l 与 “ 黄金抛物线 C” 相交于 A， P， B 三点，问是否存在这样的直线 l，使得 QP 平分 AQB？若存在，求出直线 l 的方程；若不存在， 说明理由 解： (1) “ 黄金抛物线 C” 过点 (3,2)和 ? ? 12， 32 ， r2 ? ? 12 2 ? ?32

12、 2 1,4 3m 1， m 1. “ 黄金抛物线 C” 的方程为 y2 x 1(x0) 和 x2 y2 1(x0) (2)假设存在这样的直线 l，使得 QP 平分 AQB，显然直线 l 的斜率存在且不为 0， 设直线 l： y kx 1(k0) ，联立? y kx 1，y2 x 1， 消去 y， 得 k2x2 (2k 1)x 0， xB 1 2kk2 ， yB 1 kk ， =【 ;精品教育资源文库 】 = 即 B? ?1 2kk2 ， 1 kk ， kBQ k1 2k. 联立? y kx 1，x2 y2 1， 消去 y， 得 (k2 1)x2 2kx 0， xA 2kk2 1， yA 1

13、k2k2 1， 即 A? ? 2kk2 1， 1 k2k2 1 ， kAQ1k. QP 平分 AQB， kAQ kBQ 0， k1 2k 1k 0， 解得 k 1 2， 由图形可得 k 1 2应舍去， k 2 1， 存在直线 l： y ( 2 1)x 1，使得 QP 平分 AQB. 2 (2017 届湖南六校联考 )已知抛物线的方程为 x2 2py(p0)，其焦点为 F，点 O 为坐标原点，过焦点 F 作斜率为 k(k0) 的直线与抛物线交于 A， B 两点，过 A， B 两点分别作抛物线的两条切线，设两条切线交于点 M. (1)求 OA OB ； (2)设直线 MF 与抛物线交于 C， D

14、两点，且四边形 ACBD 的面积为 323p2，求直线 AB 的斜率 k. 解： (1)设直线 AB 的方程为 y kx p2， A(x1， y1)， B(x2， y2)， 由? x2 2py，y kx p2， 得 x2 2pkx p2 0， 则? x1 x2 2pk，x1 x2 p2， 所以 OA OB x1 x2 y1 y2 34p2. (2)由 x2 2py，知 y xp， =【 ;精品教育资源文库 】 = 所以抛物线在 A， B 两点处的切线的斜率分别为 x1p， x2p， 所以直线 AM 的方程为 y y1 x1p(x x1)，直线 BM 的方程为 y y2 x2p(x x2)，则可得M? ?pk， p2 . 所以 kMF 1k，所以直线 MF 与 AB 相互垂直 由弦长公式知， |AB| k2 1|x1 x2| k2 1 4p2k2 4p2 2p(k2 1)， 用 1k代替 k 得， |CD| 2p? ?1k2 1 ， 四边形 ABCD 的面积 S 12| AB| CD| 2p22 k2 1k2 323p2，解得 k2 3 或 k2 13，即 k 3或 k 33 .