Chapt-5数值微积分的数值解法精品课件.ppt
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1、第5章 微积分的数值解法 在现代工程领域或者科研过程中所遇到的许多实际问题的求解,常常归结为定积分的计算。例如,力学和电气中功和功率的计算、电流电压平均值及有效值的计算,几何学中面积和何种及其重心的计算,化学化工中的热容、热焓、转化率、反应时间和反应器体积等等的计算,都与某些定积分的计算有关。但很多情况下,其积分函数f(x)的关系难以明确表示,即使能用解析明确表示,有时表达式也很复杂,不能用于实际计算。本章介绍计算积分和导数的实用数值方法。5.1 数值积分的基本思想 一、定积分的数学含义 由定积分的定义:其中 为第i个积分区间 内任一点。当n足够大时有以下近似表达式:将被积函数在积分区间上足够
2、多的离散点的函数值与其所在小区间长度乘积之和作为定积分的近似数值。1()lim()bniiniaIf x dxfx(5-1)iix1()()bniiiaIf x dxfx(5-2)5.1 数值积分的基本思想二、定积分的几何含义 (5-2)式告诉我们,定积分的值就是由下面四条曲线所转面的面积,即:,0,()xa xb yyf xab()f x()f图5-1 定积分的几何意义 5.1 数值积分的基本思想如图5.1中所示的阴影部分的面积。这就是定积分的几何意义。当求积区间只有一个时当求积区间只有一个时1.由积分中值定理,在(a,b)中必存在一点,使得 2.用f(a)和f(b)的平均值近似代替f(),
3、则:3.用中点的函数值近似代替f(),则:I()()()baf x dxba f()()I()()2baf af bf x dxbaI()()2baabf x dxba f5.1 数值积分的基本思想推广到更一般情况,当把求积区间(a,b)(a,b)分成n个小求积区间时,则根据定积分的几何定义,我们有其中 为小区间长度分点为 ,它们所对应的纵坐标(函数)分别为 。如图5-2,取其中任一个小区间 进行分析。该区间为一曲边梯形,y用以下方法求其面积。1I()()bniiiaf x dxfxibaxxn ix0121,kknxa x xxxxb121(),(),(),(),(),()kkf af xf
4、 xf xf xf b1(,)(0,1,2,1)kkxxkn5.1 数值积分的基本思想1.用小矩形或小梯形近似表示时,然后求和得到I,这就是高等数学中的矩形积分法和梯形积分法。它们都是用直线(一次函数)代替曲线(f(x)函数)求得的近似值,精度较低,一般要求N取得足够大才能保证精度。2.当用曲线去逼近f(x)时,只要曲线近似程度足够高,一般都能满足计算精度要求。本章按照上述思想,主要介绍梯形积分法、抛物线积分法(Simpson法)、Newton-Cotes积分法,龙贝格积分法以及高斯积分法5.2 梯形积分法 一 定步长梯形积分法1.算法分析 设在区间(a,b)上有可积函数f(x),求积分值将区
5、间(a,b)分成n个相等的小区间,每个小区间之长为:h=(b-a)/n各分点:x0=a,x1,x2,xi,xi+1,xn=b其中 xi=a+i*h (i=1,2,3,n)用p(x)=c*x+d直线近似代替f(x)(参见图5-2)T()baf x dx5.2 梯形积分法用插值的方法,我们可求得将其代入积分公式有11(,()iixf x(,()iixf x()p xcxd1111()()()iiiiiiiixxxxp xf xf xxxxx5.2 梯形积分法第i个区间:Ti=(f(xi)+f(xi+1)*h/2 第i-1个区间:Ti-1=(f(xi-1)+f(xi)*h/2 求和得到:定步长梯形积
6、分法的截断误差为:1101T()()/2(),1,2,3,-1nniiiihf af bf xxaxxhin(5-3)(1)02()()()d()d(1)!()()12nnbbnkaakfR ff xpxxxxxnbah f5.2 梯形积分法 该误差按h的2次方的速度下降,即定步长梯形积分法的误差阶为2,也就是说,定步长梯形积分法具有一阶代数精度(因为代数精度等于误差阶减1,所以2-1=1)。2.定步长梯形积分法的程序框图与通用程序设计 定步长梯形积分法的通用程序框图如图5-3所示,共分为三个程序框图,即在图中(1)为调用子程序的主控程序框图,(2)为函数子程序框图,(3)为积分通用子程序框图
7、。5.2 梯形积分法(1)主控程序框图(2)函数子程序框图STARTINPUT a,b,nCALL sub TOUTPUT solENDFUNCTION FF=exprEND FUNCTION图5-3 梯形积分法的程序框图5.2 梯形积分法subroutineh=(b-a)/nComp f(a),f(b)T=(f(a)+f(b)/2DO i=1,n-1x=a+i*hComp f(x)T=T+f(x)END DO iT=T*hEND subroutine(3)梯形积分子程序框图5.2 梯形积分法10C 主控程序20 PROGRAM main30 read(5,*)a,b,n40 call SUB
8、RPUTINE50&txjf(a,b,n,T)60 write(6,*)T70 END80C 函数子程序90 FUNCTION f(x)100 f=expr(x)110 END FUNCTION f120C 梯形积分子程序130 SUBRPUTINEtxjf(a,b,n,T)140 h=(b-a)/n150 T=(f(a)+f(b)/2160 x=a170 DO i=1,n-1180 x=a+i*h(x=x+h)190 T=T+f(x)200 END DO210 T=T*h220 END SUBRPUTINE txjf 11()niif x5.2 梯形积分法二、变步长梯形积分法 前面介绍了定步
9、长梯形积分法。采用定步长梯形积分法求定积分时,步长的选择应该是适当的。如果采用定步长梯形积分法,只有改变N值,比较几组计算结果才能判是否达到精度要求,这样程序的执行就受到人工干扰,占用了机时,降低了计算机的效率。为此,需要寻求新的改善计算精度途径。截断误差分析表明,只要步长h充分小,必可满足精度要求。因此,通常采取逐步缩小步长h的办法。自动变步长梯形积分法是计算机根据精度要求进行自动判断,逐步逐步缩小步长h。1.算法分析 其基本思想为:逐步变更步长,用二分法使步长逐次变小,直到满足精度。5.2 梯形积分法N=1:N=1:h1=b-a T1=f(a)+f(b)*h1/2 N=2:N=2:h2=h
10、1/2 T2=f(a)+f(b)*h2/2+f(x1)*h2 =T1/2+f(x1)*h2 N=4:N=4:h4=h2/2T4=f(a)+f(b)*h4/2+f(x1)+f(x2)+f(x3)*h4 =T2/2+f(x1)+f(x3)*h4 abab1xab1x2x3x5.2 梯形积分法N=2n:N=2n:注:注:xi=a+(2*i-1)*h2n:上一次积分区间的中点。在计算 的过程中,每当算出一新的近似值时,便检查判断下列条件是否成立:如果条件成立,则 就是符合精度要求的积分近似值,否则缩小步长h2n再行计算,直到满足条件为止。22221/2 (2-1)TT/2()nninnnnniihhx
11、aihhf x12482,nnT T T TT T2nnTTE(E为容许误差)2nT(5-4)5.2 梯形积分法变步长梯形积分法的截断误差为:2.变步长梯形积分法的程序框图与通用程序设计 变步长梯形积分法的通用程序框图如图5-4所示,也共分为三个程序框图,即在图中(1)为调用子程序的主控程序框图,(2)为函数子程序框图,(3)为积分通用子程序框图。(1)和(2)与上一节雷同,因此这里只画出梯形变步长积分法通用子程序框图(3)。2()()12 4nbaR fh f 5.2 梯形积分法subroutineh=(b-a)Comp f(a),f(b)T1=(f(a)+f(b)/2DO i=1,nh=h
12、/2;T2=T1/2Comp f(x)T2=T2+f(x)END DO in=2*n;T1=T2END subroutine图5-4 梯形积分法子程序框图n=1x=a+(2*i-1)*habs(T2-T1)e)then100 n=2*n;T1=T2110 goto 45120 endif130 END SUBRPUTINE btxjf5.2 梯形积分法3.应用实例分析例例5.15.1 已知圆周率的近似值可以由下列定积分求出试求出圆周率的似近值。解:解:因为所以求解此问题的函数程序程序为80C 函数子程序90 FUNCTION f(x)100 f=4.0/(1+x*x)110 END FUNCT
13、ION f 12041dxx24()1f xx5.2 梯形积分法n n101020204040100100200200300300T T33139926331399263.1411763.1411763.1414893.1414893.1415763.1415763.1415893.1415893 3141591141591表5.1 梯形积分法输入不同N地的计算机输出结果 由上表可以看出,定步长梯形积分法的收敛速度是很慢的,由上表可以看出,定步长梯形积分法的收敛速度是很慢的,对于本例,对于本例,N=300N=300时,即把积分区间时,即把积分区间00,11划分为划分为300300个小区个小区间
14、时才使计算结果精确到间时才使计算结果精确到 0.000010.00001。5.3 Simpson积分法 梯形积分法是用直线段(一次二项式)去逼近曲线f(x),而Simpson 是用抛物线段(二次三项式)去逼近曲线f(x).一、定步长Simpson积分法1.算法分析 设将(a,b)分为n个(偶数)相等的小区间,则 求积节点坐标 对应求积点函数值()baSf x dx(-)/hb an012,nxa xxxb011(),(),()nyf ayf xyf b5.3 Simpson积分法被积曲线用 y=f(x)表达,而逼近曲线则采用 y=Ax2+Bx+C 0 xa1x2xix1ix2ixnxb()yf
15、 x2yAxBxC5.3 Simpson积分法第一段:x0,x1,x2 有同理,第二段:x2,x3,x4 有第末段:xn-2,xn-1,xn 有200021112222yAxBxCyAxBxCyAxBxC求出系数求出系数A,B,C 2021012 ()d(4)/3xxSAxBxCxyyyh2234(4)/3Syyyh/221(4)/3nnnnSyyyh5.3 Simpson积分法共有n/2小块面积,对它们求和即可得Simpson法求积公式或这里01234-1013-124-2(42424)/3()4()2()/3nnnnnSyyyyyyyhyyyyyyyyh(5-5)/2/2 121211/2
16、/221211()()4()2()/3()-()4()2()/3nnijijnnijijSf af bf xf xhf af bf xf xh(5-6)212(21),2iixaihxaih5.3 Simpson积分法同理我们可以推出辛普森积分法的截断误差为:由上式可知辛普森积分法的误差阶和代数精度分别为4和3,在积分小区间总数与梯形积分法相同,辛普森积分法的精度较高。2.通用程序框图与通用程序设计 这里只画出Simpson定步长积分法通用子程序框图(3)。4(4)()()180baR fh f(5-7)5.3 Simpson积分法subroutineh=(b-a)/nComp f(a),f(
17、b)S=f(a)-f(b)DO i=1,mComp f(x1),f(x2)S=S+4*f(x1)+2*f(x2)END DO ix2=a+(2*i)*hEND subroutine图5-5 Simpson法子程序框图m=n/2x1=a+(2*i-1)*hS=S*h/35.3 Simpson积分法10 SUBRPUTINE Simpson(a,b,n)10 SUBRPUTINE Simpson(a,b,n)20 h=(b-a)/n20 h=(b-a)/n30 m=n/230 m=n/240 S=f(a)-f(b)40 S=f(a)-f(b)50 DO i=1,m50 DO i=1,m60 x1=
18、a+(260 x1=a+(2*i-1)i-1)*h h70 x2=a+270 x2=a+2*i i*h h80 S=S+4.080 S=S+4.0*f(x1)+2.0f(x1)+2.0*f(x2)f(x2)90 END DO90 END DO100 S=S100 S=S*h/3.0h/3.0110 END SUBROUTINE Simpson110 END SUBROUTINE Simpson5.3 Simpson积分法二、变步长Simpson积分法1.算法分析 步长缩小和误差控制方法均与变步长积分雷同,即步长折半、。基本思想如下:N=1N=1:求积点 x0=a,x1,x2=b H1=(b-a
19、)/2 S1=f(a)+4*f(x1)+f(b)*H1/3N=2N=2:求积点 x0=a,x1,x2,x3,x4=b H2=H1/2 S2=f(a)+4f(x2)+2f(x1)+4f(x3)+f(b)*H2/3 =f(a)+f(b)+2*f(x2)+4*f(x1)+f(x3)*H2/3 2|-|nnSSab1xab1x2x3x5.3 Simpson积分法N=2n:N=2n:关于变步长Simpson积分法的递推计算公式以及程序框图和通用FORTRAN程序将在后面几种积分比较部分提示。这里给出一个通用的FORTRAN程序清单:12212211()()4()2()/3nnniiniiSf af bf
20、 xf xh(5-8)5.3 Simpson积分法10 SUBRPUTINE Simpb(a,b,E)10 SUBRPUTINE Simpb(a,b,E)20 h=(b-a)/220 h=(b-a)/230 s2=0;n=130 s2=0;n=140 s0=f(a)+f(b)40 s0=f(a)+f(b)45 s1=f(a+h)45 s1=f(a+h)50 s=(s0+4.050 s=(s0+4.0*s1)s1)*h/3.0 h/3.0 6060 n=2 n=2*n;h=h/2.0n;h=h/2.070 s2=s2+s170 s2=s2+s180 s1=0.080 s1=0.090 x=a+h
21、90 x=a+h100 DO i=1,n100 DO i=1,n110 s1=s1+f(x)110 s1=s1+f(x)120 x=x+h+h130 END DO140 s2n=(s0+2.0*s2+4.0*s1)150&*h/3.0160 if(abs(s2n-s)E)then170 s=s2n180 goto 60190 endif200 END SUBROUTINE Simpb 5.4 Newton-Cotes积分法 在梯形积分法中,是用一次二项式(直线)去逼近曲线f(x);在Simpson积分法中,是用二次三项式(抛物线)去逼近曲线f(x)。而在N-C积分法中,用的是m 次多项式去逼近
22、曲线f(x)。设在被积区间a,b选取m+1个插值点,用m 次多项式pm去逼近曲线f(x),则:利用拉格郎日插值多项式 ()()bbmaaf x dxpx dx()0()()(),0,1,2,bmmkkkaf x dxbaCf xkm(5-9)5.4 Newton-Cotes积分法其中:Ck(m)为Cotes系数,可以具体求出起其值:m=1:C0(1)=1/2;C1(1)=1/2m=2:C0(2)=1/6;C1(2)=4/6;C2(2)=1/6见下表 注:在实际应用中,一般m9,否则会产生计算不稳定。上面所谈到的问题,是在整个区间a,b上用Pm去逼近f(x)。下面看看用N-C公式即(5-1)式用
23、在小区间时情况,将a,b分成n个小区间。有:()0(1)(1)(1)(1)()!()!mm kmkCt ttktktm dtm kmk5.4 Newton-Cotes积分法 K m 0 0 1 1 2 2 3 3 4 4 5 5 6 6 7 7 8 8 11/21/21/21/2 21/61/64/64/61/61/6 31/61/63/83/83/83/81/61/6 47/907/9032/9032/9012/9012/9032/9032/907/907/90 519/28819/28825/9625/9625/14425/14425/14425/14425/9625/9619/28819
24、/288 641/84041/8409/359/359/2809/28034/10534/1059/2809/2809/359/3541/84041/840 7751/17751/172802803577/173577/172802801323/171323/172802802989/1722989/17280802989/1722989/17280801323/1721323/17280803577/173577/17280280751/172751/1728080 8989/28989/283503505838/285838/28350350-928/283928/283505010496
25、/2810496/28350350-4540/2834540/283505010496/2810496/28350350-928/283928/28350505838/285838/28350350989/283989/28350505.4 Newton-Cotes积分法 x0=a,x1,x2,xn-1,xn=b,h=(b-a)/n当项次m=1时:x0,x1 x1,x2xn-1,xn 1(1)(1)10001110()()()()()()/2xxf x dxxxCf xCf xf af xh2121()()()/2xxf x dxf xf xh11()()()/2nnxnxf x dxf xf
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