GCAL单调性凹向最值课件.ppt

1、2022-8-81微积分微积分Calculus单调性单调性极值极值 最值最值 凹向凹向 拐点拐点 2022-8-82问题：如何快速判别函数的单调性？问题：如何快速判别函数的单调性？xyo)(xfy abBA单调性单调性定义定义：当 时，称f(x)在(a,b)内单调增加增加；),(,21baxx21xx),()(21xfxf当 时，称f(x)在(a,b)内单调减少减少；21xx),()(21xfxfxyo)(xfy abAB一.一阶导数与单调性的关系 2022-8-83xyo)(xfy xyo)(xfy abAB0)(xf0)(xf定理定理2.3：),(),()(baxbaxfy，则内可导在若函

2、数abBA内单调增加；在，那么）如果（),()(0)(1baxfyxf内单调减少。在，那么如果),()(0)()2(baxfyxf。为常值函数，则如果Cyxfyxf)(0)()3(2022-8-84012 xx0)(0)(1fxf）（0)()(12xfxf内单调增加。在),()(baxfy 0)(0)(2fxf）（0)()(12xfxf内单调减少。在),()(baxfy 证明：设 是(a,b)中任意两点，且设 21,xx,21xx 则 f(x)在 上满足拉氏定理条件，,21xx存在 ，使得 ),(21xx)()()(1212xxfxfxf2022-8-85xeyx例例1.判断函数 在区间 的单

3、调性。xexfx)(）（,0解：1)(xexf当x0时，01)(xexfxexfx)(),0(在区间 上单调递增。问问：如何求一个函数的单调区间？：如何求一个函数的单调区间？例例2.求函数 的单调区间。3224323xxxy2022-8-86oxyab)(xfy 单调区间的求法：2022-8-87单调区间求法单调区间求法例例2.求函数的单调区间。3224323xxxy3224323xxxy解解:函数定义域为函数定义域为R，2463)(2xxxf)4)(2(3xx,0)(xf得4,2xx令x)(xf)(xf)2,(2)4,2(4),4(临界点临界点)2022-8-88单调区间求法单调区间求法例例

4、3.求 的单调区间。32xy 解解:函数定义域为函数定义域为R，3313232)(xxxfx)(xf)(xf)0,(0),0(0 x(临界点临界点)导数不存在！导数不存在！故)(xf的单调增加单调增加区间为)0,().,0()(xf的单调减少单调减少区间为2022-8-89求函数单调区间步骤求函数单调区间步骤通常函数在定义区间上不一定单调，但会在通常函数在定义区间上不一定单调，但会在部分区间部分区间内单调。内单调。导数为零的点（驻点）导数为零的点（驻点）和和不可导点不可导点，可能是函数单调区间，可能是函数单调区间 的分界点。的分界点。(1)确定函数定义区确定函数定义区 间间；(3)用临界点划分

5、函数定义区间为部分区间用临界点划分函数定义区间为部分区间；(2)求导数求导数 确定确定临界点（可疑点）临界点（可疑点）；(4)在各部分区间内判断导数的正负性，得出函数的在各部分区间内判断导数的正负性，得出函数的 单调区间。单调区间。，)(xf2022-8-8101.定义定义:P84(),f xa b设函数在有定义0(,),xa b且0(),xx,)()(0 xfxf(1)则称 为 的极大值点极大值点,0 x)(xf称 为函数的极大值极大值;)(0 xf,)()(0 xfxf(2)则称 为 的极小值点极小值点,0 x)(xf称 为函数的极小值极小值.)(0 xf极大值与极小值统称为极值极值,极大

6、值点与极小值点统称为极值点极值点.00 xxx点处连续,若对附近的所有点()f x 在二.函数的极大值与极小值 2022-8-811极大值极大值oxyab1x2x3x4x5x)(xfy )(),(21xfxf极小值极小值)(),(),(543xfxfxf统称为统称为极值极值。是极值点是极值点54321xxxxx,极值是一个极值是一个局部局部的概念！的概念！极大值极大值 relative maximum极小值极小值 relative minimum极值极值 relative extrema2022-8-812是极值点是极值点 2.极值的条件极值的条件0 x是是驻点驻点或或不可导点不可导点 0 x

7、xyoxyo0 x0 x增增减减增增减减函数单调区间的分界点一定是极值点。函数单调区间的分界点一定是极值点。函数的极值点恰好是函数f(x)在其左右附近由单调增加（减少）变为单调减少（增加）的转折点。2022-8-813是极值点是极值点 2.极值的条件极值的条件0 x是是驻点驻点或或不可导点不可导点 0 xyox3xy 3231113)(,/xyxy2022-8-814是极值点是极值点 2.极值的条件极值的条件0 x是是驻点驻点或或不可导点不可导点 0 x313xyxy例如：2022-8-815函数极值函数极值(relative extrema)求法求法(1)确定函数定义区确定函数定义区 间间；

8、(3)用临界点划分函数定义区间为部分区间用临界点划分函数定义区间为部分区间；(2)求导数求导数 确定确定临界点（可疑点）临界点（可疑点）；(4)在各部分区间内判断导数的正负性，得出函数的在各部分区间内判断导数的正负性，得出函数的 单调性；单调性；，)(xf(5)检查检查 在临界点左右的符号（即判断函数在临界点左右的符号（即判断函数 在临界点左右单调性的变化）：在临界点左右单调性的变化）：)(xf左左正正右右负负极大值左左负负右右正正极小值左右同号左右同号不是极值2022-8-816例例1.求函数 的极值极值。3/2223）（xxy331211)2(1)(xxxf解：令0211)(3xxf得3x

9、(驻点驻点)当 时，不存在。则2x)(xf2x(不可导点不可导点)（1）定义域为）定义域为R，23)2,(),3()3,2(x)(xf)(xf+_+（3）划分区间讨论：）划分区间讨论：（2）求导数，解临界点：）求导数，解临界点：2x是极大值点，极大值为是极大值点，极大值为2)2(f3x是极小值点，极小值为是极小值点，极小值为2/3)3(f不存在不存在023/22022-8-817练习（1）函数xxxf3)(3的极值极值.解解：函数定义域为R，33)(2xxf)1)(1(3xx令,0)(xf得1,1xxx)(xf)(xf)1,(11)1,1(),1(002-21x是极大值点，极大值为是极大值点，

10、极大值为2)1(f1x是极小值点，极小值为是极小值点，极小值为2)1(f2022-8-818（2）函数31292)(23xxxxf的极值极值.12186)(2xxxf)2)(1(6xx令,0)(xf得2,1xxx)(xf)(xf)1,(21)2,1(),2(12xoy12解解:函数定义域为R，00211x是极大值点，极大值为是极大值点，极大值为2)1(f2x是极小值点，极小值为是极小值点，极小值为1)2(f19练习练习.求函数求函数31()443f xxx的极值的极值.解解:1)求导数2()4,fxx2)求驻点令,0)(xf得122,2.xx 3)列表判别x)(xf)(xf0022极大值极小值

11、(,2)(2,2)(2,)2x 是极大值点，其极大值为28(2)3f；是极小值点，其极小值为2x 4(2).3f(,)x 2022-8-820证：证：000 xxxfxfxx)(lim)(同号，同号，与与，据极限的保号性，据极限的保号性，若若 0 100 xxxfxf)()()(/;)(/00 xfxx时，时，当当同理可证同理可证(2)是极小值点；是极小值点；0001xxf,)()(有，且可二在：若函定理则0)(导阶处 驻点)(数7.20 0 xfxxf是极大值点；是极大值点；0002xxf,)()(00)(/xf;)(/00 xfxx时，时，当当的的极极小小值值点点。是是函函数数)0 xfx

12、(定理定理 2.7(函数极值判别法函数极值判别法)2022-8-821例、例、.)(的极值的极值求函数求函数29323xxxxf解解:9632xxxf)(,1321xx可疑点只有驻点可疑点只有驻点)(133xx,)(66 xxf0123)(/f523)(f函数有极大值函数有极大值0121)(/f71)(f函数有极小值函数有极小值注意注意:点左右是否变号。在方法失效，必须考察时0/0)(,0)(xxfxf 2022-8-822例、例、.)(的极值的极值求函数求函数29323xxxxf解解:9632xxxf)(,1321xx可疑点只有驻点可疑点只有驻点)(133xx,)(66 xxf0123)(/

13、f523)(f函数有极大值函数有极大值0121)(/f71)(f函数有极小值函数有极小值注意注意:点左右是否变号。在方法失效，必须考察时0/0)(,0)(xxfxf 3/2223）（xxy3211xy34)2(31 xy2022-8-823练习：求以下函数的极值 4431)()1(3xxxf2)2(2xxy.34)2(;328)2()1(ffff极小极大Key：8)4(;0)0()2(ffff极小极大2022-8-824的极值求4431)()1(3xxxf.04)2(,04)2(,2)(.2,2:,04)(.212ffxxfxxxxf驻点解.34)2(:)(,2;328)2(:)(,2ffxf

14、xffxfx极小极大达到极小值时当达到极大值时当2022-8-825的极值求2)2(2xxy8)4(4,01)4(;0)0(0,01)0(4,0:,)2(8,)2(4.03 22fxyfxyxxyxxxy达到极小值在达到极大值在驻点解2022-8-826三.二阶导数与凹向的关系定义定义2.4 若曲线弧位于其每一点处的切线的上方，称此曲线是若曲线弧位于其每一点处的切线的上方，称此曲线是上凹上凹的；的；若曲线弧位于其每一点处的切线的下方，称此曲线是若曲线弧位于其每一点处的切线的下方，称此曲线是下凹下凹的；的；上凹上凹(concave upward)下凹下凹(concave downward)202

15、2-8-827定义定义2.4 若曲线弧位于其每一点处的切线的上方，称此曲线是若曲线弧位于其每一点处的切线的上方，称此曲线是上凹上凹的；的；若曲线弧位于其每一点处的切线的下方，称此曲线是若曲线弧位于其每一点处的切线的下方，称此曲线是下凹下凹的；的；上凹上凹(concave upward)下凹下凹(concave downward)2022-8-828abcOxyABC 函数曲线的凹向（函数曲线的凹向（concavity）2022-8-829函数曲线的拐点函数曲线的拐点（inflection point）OxyABC 2022-8-830yOxABCabc 凹向的判断凹向的判断2022-8-831

16、(1 1)先先求求出出)(xf ，找找出出在在),(ba内内使使0)(xf的的点点和和)(xf 不不存存在在的的点点；(2)(2)用上述各点按照从小到大依次将用上述各点按照从小到大依次将),(ba分成小分成小区间区间,再在每个小区间上考察再在每个小区间上考察)(xf 的符号；的符号；(3 3)若若)(xf 在在某某点点 ix两两侧侧近近旁旁异异号号，则则(,()iixf x是是曲曲线线y=)(xf的的拐拐点点，否否则则不不是是 二阶导数为二阶导数为0的点的点不一定为其拐点不一定为其拐点！如何求拐点如何求拐点2022-8-832例：求函数 的凹性和拐点。8344)(23xxxxf解:(1)381

17、2)(2xxxf)13(8824)(xxxf0)31(f(2)划分区间)31,(),31()(xf (3)判断符号+)(xf下凹上凹拐点：)27197,31(注意“点”310271972022-8-833练习练习 求曲线求曲线 的凹向区间与拐点的凹向区间与拐点.1234xxy解解 函数的定义域为函数的定义域为),(2364xxy)1(1212122 xxxxy 令令 ，解得，解得 0 y1,021xx 把定义域分成三个区间，列表如下：把定义域分成三个区间，列表如下：1,021xx)0,()1,0(),1(01x)(xf )(xf0001因此因此,该曲线的拐点为该曲线的拐点为 和和)1,0()0

18、,1(2022-8-834例例 求曲线求曲线 的拐点的拐点3xy 解解函数的定义域为函数的定义域为),(3231xy 3292xxy 显然显然 时时,不存在不存在0 xy xy y)0,(),0(00不不存存在在所以该曲线的拐点为所以该曲线的拐点为)0,0(2022-8-835。的单调性，凹向和拐点、讨论函数练习)1ln()(22xxf0,012)(02xxxxf1,10)1(12)1(212)(212222222xxxxxxxxf)1,()1,0(),1(01x)(xf )(xf000)(xf1)0,1(拐点拐点拐点拐点2022-8-836v例：一般耐用品的累积销售量y与时间t有如下关系：a

19、tbeAetfy)(均为大于零的常数。其中，baA,)()(atbebebeAeAeyatatatbeatbeeAabeaebAeatat)()(0函数曲线单调递增，表明：耐用品的累积销售量y是随时间t增加的。2022-8-837)()()(atbeatbeatbeeeeeAabeAabeyatatat)1(2atatbeatbeatatbebeebeAaeeaeeabeAabatatatabtyln0 ，令越快，曲线上凹；随时间推移增加的越来量，在此期间，商品销售时，0 ln0yabt变慢，曲线下凹。随时间推移增加的速度量，在此期间，商品销售时，0 lnyabtabln2022-8-838o

20、xyoxybaoxyabab函数的最大值（最小值）是在所考察的范围内所有函数值函数的最大值（最小值）是在所考察的范围内所有函数值 中最大（最小）的一个，相应的自变量是最值点。中最大（最小）的一个，相应的自变量是最值点。最值是整体概念最值是整体概念最值最值 absolute extrema最大值最大值 absolute maximum最小值最小值 absolute minimum四.函数的最大值与最小值2022-8-8391.函数在函数在a,b上的最值上的最值,)(上连续在闭区间若函数baxf在极值点极值点或端点端点处达到.求函数最值的方法求函数最值的方法:(1)求 在 内的驻点)(xf),(b

21、amxxx,21(2)最大值 maxM,)(1xf,)(2xf,)(,mxf,)(af)(bf最小值 minm,)(1xf,)(2xf,)(,mxf,)(af)(bf内可导,则其最值只能在开区间(a,b)oxyoxybaoxyabab2022-8-840求在求在a,b上连续函数的最值步骤上连续函数的最值步骤:1）求出函数在区间内的极值可疑点）求出函数在区间内的极值可疑点;2）计算区间端点及可疑点处函数值；）计算区间端点及可疑点处函数值；3）比较上述函数值的大小）比较上述函数值的大小,最大的一个就是最大值最大的一个就是最大值,最小的一个就是最小值。最小的一个就是最小值。2022-8-841 例例

22、.求函数32()2912f xxxx在,2541上的最大值和最小值.解解:()fx121862xx5142()(,)f x在内有驻点121,2xx119()3,432f ,5)1(f,4)2(f5)(25f故函数在14x 取最小值 ;在1x及52取最大值 5.,)2)(1(6xx193322022-8-842练习：练习：解：解：)1)(2(6)(xxxf上的最大值与最小值上的最大值与最小值在在求函数求函数,43123223xxxy,12 21xx可疑点可疑点计算计算93 )(f202 )(f71)(f1284)(f，最最大大值值1284)(f比较得比较得.)(71f最小值最小值2022-8-8

23、43 例例.求函数32()2912f xxxx在,2541上的最大值和最小值.解解:显然,)(2541Cxf且()fx121862xx5142()(,)f x在内有驻点121,2xx119()3,432f ,5)1(f,4)2(f5)(25f故函数在14x 取最小值 ;在1x及52取最大值 5.,)2)(1(6xx193322022-8-844 一般地,在开区间内的连续函数不一定能取得最值.)(xf若在此点取极大 值,则也是最大 值.(小)(小)但是,当 在某个区间内只有一个极值点时只有一个极值点时,2.函数在（函数在（a,b）上的最值）上的最值oxyaboxybaoxyba 对应用问题,有时

24、可根据实际意义判别求出的可疑点是否为最大 值点或最小值点.2022-8-845例例 将边长为 a 的一正方形铁片于各角截去相等的小正方形,然后折起各边做成一个无盖的盒子,问截去的小正方形边长为多大时,可使所得无盖盒子容积为最大?解解：设所截去的小正方形边长为 x,则(0,).2ax2(2),Vx ax2d(2)4(2)dVaxx axx(2)(6)ax ax1d0(),d2Vaxx令，得舍去2.6ax 248,Vxa()40.6aVa 26ax 是 V 的极大值点,也是 V 的最大值点.2022-8-846例：例：P92、例、例10设在公路的一侧有两个车库A和B,它们到公路的距离分别为AC=8

25、和BD=4公里,CD=9公里.现在打算在公路旁建造一个加油站E,并从两个车库分别开辟一条道路直通加油站E.若要求两个车库到加油站的距离总和最小,加油站E应该建在何处?车库BDCE8km4km车库A解：设加油站建在离C点x公里处,则两个车库到加油站的距离总和为2222()84(9)f xxx09x,0)9(16964)(22xxxxxf,0108242xx18,621xx即加油站建在离C点6公里处,可使两个车库到加油站的距离总和最小.(舍舍)2022-8-847练习：练习：如下图，铁路线上AB段长100公里，工厂C到铁路的距离CA为20公里，现在要在AB上某一点D处，向C修一条公路，已知铁路每吨

26、公里的运费与公路每吨公里的运费之比为3:5，为了使原料从供应站B运到工厂C的运费最省，D点应选在何处。BADC10020 xx1002220 x24005)100(3总运费：xxy)1000(x2022-8-84824005)100(3总运费：xxy0400532xxy,15x函数定义域内只有一个极小值点，则其为最小值点。所以x=15处取得最小值。处取得极小值！15x23)400(40052xy,015 xy2022-8-8493000工厂工厂练习：练习：900设在工厂一侧距离工厂设在工厂一侧距离工厂 x米的对岸处铺设电缆米的对岸处铺设电缆成本：陆地成本：陆地4元元/米，水底米，水底5元元/米

27、米.090054)(,9005)3000(4)(2222xxxCxxxC,1200 x即在距离电厂即在距离电厂1800米处铺设电缆米处铺设电缆,总费用最小总费用最小.电厂电厂x2022-8-850常数。价格，（）（需求例cbapbcacbpapDp,),.5,80(1)求p范围,使销售额R(p)增加(减少)(2)求p,使R(p)最大,?maxRbppbcacpppDpR)()()()1.(2解22)()()(2)(bppbcacpbpbcacppRbcabpRbpbpcab0220)()(2022-8-851单调减少单调增加当)(,0,)(0,000pRRbcapppRRpp20max0)()

28、(,bcapRRpp2022-8-852例：已知需求函数为Q和p分别为商品的需求量和价格。（1）确定收入函数单调增加和减少的价格区间；（2）当价格为多少时收入最高？最高收入为多少？216)(pppQ解：2162)16()(2pppppppQpR222)2()2)(16()2()16(pppppppR22)2()16()2)(216(ppppp22)2(324ppp2022-8-853RR,0)1(时0)2(32422ppp即：03242pp即：03242pp0)4)(8(pp；时，收入又400pp48pRR,0时0)2(32422ppp即：0)8)(4(pp)(84舍porp；时，收入又164

29、16pp2022-8-854,0)2(时R0)8)(4(pp4p4p40 pR164 pR824)416(4)4(4maxRRRp最大，时，2022-8-855 P196 14 18 19 20 P198 32赵树嫄赵树嫄2022-8-8562022-8-85753.Maximizing Total Revenue.Given the demand function 18)(pppQwhere Q is measured in units of ten thousand and p is measured in ten thousand dollars(a)Determine the rang

30、e of price p such that the total revenue is increasing and decreasing,respectively.(b)What price per unit must be charged in order to maximize the total revenue?What is the maximum total revenue?(a)020,pR，280pR，(b)000,40)2(max RR2022-8-8582022-8-859大利润。当产量为多少时取得最解解 总总成成本本为为可可变变成成本本与与固固定定成成本本之之和和，依依题

31、题设设，总总成成本本函函数数 10001001.0)(2xxxC,总收入函数总收入函数 xpxxR30)(,总利润函数总利润函数 10001001.030)()()(2xxxxCxRxL 10002001.02xx,2022-8-860单调性的判别法单调性的判别法.),()(,0)(),(),()(,0)(),(),()(上单调减少在则时，若上单调增加；在则时，若上可导，在设函数baxfxfbaxbaxfxfbaxbaxf),(,0)(,),(,.2121baxxfxxbaxx设且证,0)()()(),(,121221xxcfxfxfxxcLagrange使存在中值定理由.0)(.),()()

32、,()(21同理可证上单调增加在即xfbaxfxfxf2022-8-8613xy 31xy 在x=0处可导23xy 3231xy 在x=0处导数不存在补充：补充：导数不存在点|xy 在x=0处导数不存在2022-8-862哪些点导数不存在（不可导）？a bcd efg2022-8-863一阶导数为零的点（驻点）一阶导数为零的点（驻点）和导数不存在的点，和导数不存在的点，都可能是函数单调都可能是函数单调 区间的分界点。区间的分界点。单调区间的分界点单调区间的分界点 临界点（Critical Point）(1)一阶导数为0的点(驻点)；(2)一阶导数不存在的点。2022-8-864例例4.求函数

33、的单调区间。3/2223）（xxy331211)2(1)(xxxf解：令0211)(3xxf得3x(驻点驻点)当 时，不存在。则2x)(xf2x(不可导点不可导点)（1）定义域为）定义域为R，23)2,(),3()3,2(x)(xf)(xf+_+下结论：所以.（3）划分区间讨论：）划分区间讨论：（2）求导数，解临界点：）求导数，解临界点：2022-8-865例例2 2、解解:.的单调性讨论函数xxy33).)(113332xxxy,),(内在11,0 y函数单调递减；,),(,),(内在内在11,0 y函数单调递增。注意注意:单调性是函数在一个区间上的性质，要用导数在这单调性是函数在一个区间上

34、的性质，要用导数在这一区一区 间上的符号来判定，而不能用一点处的导数间上的符号来判定，而不能用一点处的导数符号来符号来 判别。判别。).,(D函函数数定定义义域域2022-8-866练习：练习：求以下函数的单调区间求以下函数的单调区间 xxxf3)(331292)(23xxxxfxxxfln3)(3（1）（2）（3）2022-8-867（1）函数xxxf3)(3的单调区间.解解：（1）求定义域：）求定义域：函数定义域为函数定义域为R，33)(2xxf)1)(1(3xx令,0)(xf得1,1xxx)(xf)(xf)1,(11)1,1(),1(故)(xf的单调增加单调增加区间为,)1,();,1(

35、)(xf的单调减少单调减少区间为).1,1(（2）求导数，解临界点：）求导数，解临界点：（3）划分区间讨论：）划分区间讨论：2022-8-868（2）函数31292)(23xxxxf的单调区间.12186)(2xxxf)2)(1(6xx令,0)(xf得2,1xxx)(xf)(xf)1,(21)2,1(),2(故)(xf的单调增加单调增加区间为,)1,();,2()(xf的单调减少单调减少区间为).2,1(12xoy12解解:函数定义域为R，2022-8-869（3）函数的单调区间.解解:函数定义域为 x 0，xxxfln3)(3xxxxxxxxxf)1)(1(31333)(232x=1 为驻点

36、；x=0 为不可导点（但不在定义域内，舍去）；x)(xf)(xf)1,0(1),1(下结论：所以.2022-8-870 xxxf1)(221)(xxxf-1，0，1，增减减增，增减减增2022-8-8711.定义定义:P84(),f xa b设函数在有定义0(,),xa b且0(),xx,)()(0 xfxf(1)则称 为 的极大值点极大值点,0 x)(xf称 为函数的极大值极大值;)(0 xf,)()(0 xfxf(2)则称 为 的极小值点极小值点,0 x)(xf称 为函数的极小值极小值.)(0 xf极大值与极小值统称为极值极值,极大值点与极小值点统称为极值点极值点.00 xxx点处连续,若

37、对附近的所有点()f x 在2022-8-872极大值极大值oxyab1x2x3x4x5x)(xfy )(),(21xfxf极小值极小值)(),(),(543xfxfxf统称为统称为极值极值。是极值点是极值点54321xxxxx,极值是一个极值是一个局部局部的概念！的概念！极大值极大值 relative maximum极小值极小值 relative minimum极值极值 relative extrema2022-8-873是极值点是极值点 2.极值的条件极值的条件0 x是是驻点驻点或或不可导点不可导点 0 xxyoxyo0 x0 x增增减减增增减减函数单调区间的分界点一定是极值点。函数单调区

38、间的分界点一定是极值点。函数的极值点恰好是函数f(x)在其左右附近由单调增加（减少）变为单调减少（增加）的转折点。2022-8-874是极值点是极值点 2.极值的条件极值的条件0 x是是驻点驻点或或不可导点不可导点 0 xyox3xy 3231113)(,/xyxy2022-8-875函数极值函数极值(relative extrema)求法求法(1)确定函数定义区确定函数定义区 间间；(3)用临界点划分函数定义区间为部分区间用临界点划分函数定义区间为部分区间；(2)求导数求导数 确定确定临界点（可疑点）临界点（可疑点）；(4)在各部分区间内判断导数的正负性，得出函数的在各部分区间内判断导数的正

39、负性，得出函数的 单调性；单调性；，)(xf(5)检查检查 在临界点左右的符号（即判断函数在临界点左右的符号（即判断函数 在临界点左右单调性的变化）：在临界点左右单调性的变化）：)(xf左左正正右右负负极大值左左负负右右正正极小值左右同号左右同号不是极值2022-8-876例例1.求函数 的极值极值。3/2223）（xxy331211)2(1)(xxxf解：令0211)(3xxf得3x(驻点驻点)当 时，不存在。则2x)(xf2x(不可导点不可导点)（1）定义域为）定义域为R，23)2,(),3()3,2(x)(xf)(xf+_+（3）划分区间讨论：）划分区间讨论：（2）求导数，解临界点：）求

40、导数，解临界点：2x是极大值点，极大值为是极大值点，极大值为2)2(f3x是极小值点，极小值为是极小值点，极小值为2/3)3(f不存在不存在023/22022-8-877练习（1）函数xxxf3)(3的极值极值.解解：函数定义域为R，33)(2xxf)1)(1(3xx令,0)(xf得1,1xxx)(xf)(xf)1,(11)1,1(),1(002-21x是极大值点，极大值为是极大值点，极大值为2)1(f1x是极小值点，极小值为是极小值点，极小值为2)1(f2022-8-878（2）函数31292)(23xxxxf的极值极值.12186)(2xxxf)2)(1(6xx令,0)(xf得2,1xxx

41、)(xf)(xf)1,(21)2,1(),2(12xoy12解解:函数定义域为R，00211x是极大值点，极大值为是极大值点，极大值为2)1(f2x是极小值点，极小值为是极小值点，极小值为1)2(f79练习练习.求函数求函数31()443f xxx的极值的极值.解解:1)求导数2()4,fxx2)求驻点令,0)(xf得122,2.xx 3)列表判别x)(xf)(xf0022极大值极小值(,2)(2,2)(2,)2x 是极大值点，其极大值为28(2)3f；是极小值点，其极小值为2x 4(2).3f(,)x 2022-8-880证：证：000 xxxfxfxx)(lim)(同号，同号，与与，据极限

42、的保号性，据极限的保号性，若若 0 100 xxxfxf)()()(/;)(/00 xfxx时，时，当当同理可证同理可证(2)是极小值点；是极小值点；0001xxf,)()(有，且可二在：若函定理则0)(导阶处 驻点)(数7.20 0 xfxxf是极大值点；是极大值点；0002xxf,)()(00)(/xf;)(/00 xfxx时，时，当当的的极极小小值值点点。是是函函数数)0 xfx(定理定理 2.7(函数极值判别法函数极值判别法)2022-8-881是极小值点；是极小值点；0001xxf,)()(有，且可二在：若函定理则0)(导阶处 驻点)(数7.20 0 xfxxf是极大值点；是极大值点

43、；0002xxf,)()(定理定理 2.7(函数极值判别法函数极值判别法)例、例、.)(的极值的极值求函数求函数29323xxxxf2022-8-882解解:9632xxxf)(,1321xx可疑点只有驻点可疑点只有驻点)(133xx,)(66 xxf0123)(/f523)(f函数有极大值函数有极大值0121)(/f71)(f函数有极小值函数有极小值注意注意:点左右是否变号。在方法失效，必须考察时0/0)(,0)(xxfxf 3/2223）（xxy3211xy34)2(31 xy2022-8-8832022-8-884oxyoxybaoxyabab1 1、函数的最大值（最小值）是在所考察的范

44、围内所有函数值、函数的最大值（最小值）是在所考察的范围内所有函数值 中最大（最小）的一个，相应的自变量是最值点。中最大（最小）的一个，相应的自变量是最值点。最值是整体概念最值是整体概念最值最值 absolute extrema最大值最大值 absolute maximum最小值最小值 absolute minimum2022-8-885定义定义2.4 若曲线弧位于其每一点处的切线的上方，称此曲线是若曲线弧位于其每一点处的切线的上方，称此曲线是上凹上凹的；的；若曲线弧位于其每一点处的切线的下方，称此曲线是若曲线弧位于其每一点处的切线的下方，称此曲线是下凹下凹的；的；上凹上凹(concave up

45、ward)下凹下凹(concave downward)2022-8-886定义定义2.4 若曲线弧位于其每一点处的切线的上方，称此曲线是若曲线弧位于其每一点处的切线的上方，称此曲线是上凹上凹的；的；若曲线弧位于其每一点处的切线的下方，称此曲线是若曲线弧位于其每一点处的切线的下方，称此曲线是下凹下凹的；的；上凹上凹(concave upward)下凹下凹(concave downward)2022-8-887abcOxyABC 一、一、函数曲线的凹向（函数曲线的凹向（concavity）2022-8-888二、函数曲线的拐点二、函数曲线的拐点（inflection point）OxyABC 20

46、22-8-889yOxABCabc 三、凹向的判断三、凹向的判断2022-8-890的凹向。例：判别曲线xxfy1)(211)(xxxf解：3221)(xxxf0)(,00)(,0 xfxxfx时时内是上凹的。内是下凹的，在在曲线),0()0,(1)(xxf2022-8-891(1 1)先先求求出出)(xf ，找找出出在在),(ba内内使使0)(xf的的点点和和)(xf 不不存存在在的的点点；(2)(2)用上述各点按照从小到大依次将用上述各点按照从小到大依次将),(ba分成小分成小区间区间,再在每个小区间上考察再在每个小区间上考察)(xf 的符号；的符号；(3 3)若若)(xf 在在某某点点

47、ix两两侧侧近近旁旁异异号号，则则(,()iixf x是是曲曲线线y=)(xf的的拐拐点点，否否则则不不是是 二阶导数为二阶导数为0的点的点不一定为其拐点不一定为其拐点！四、四、如何求拐点如何求拐点2022-8-892例：求函数 的凹性和拐点。8344)(23xxxxf解:(1)3812)(2xxxf)13(8824)(xxxf0)31(f(2)划分区间)31,(),31()(xf (3)判断符号+)(xf下凹上凹拐点：)27197,31(注意“点”310271972022-8-893练习练习 求曲线求曲线 的凹向区间与拐点的凹向区间与拐点.1234xxy解解 函数的定义域为函数的定义域为),

48、(2364xxy)1(1212122 xxxxy 令令 ，解得，解得 0 y1,021xx 把定义域分成三个区间，列表如下：把定义域分成三个区间，列表如下：1,021xx)0,()1,0(),1(01x)(xf )(xf0001因此因此,该曲线的拐点为该曲线的拐点为 和和)1,0()0,1(2022-8-894例例 求曲线求曲线 的拐点的拐点3xy 解解函数的定义域为函数的定义域为),(3231xy 3292xxy 显然显然 时时,不存在不存在0 xy xy y)0,(),0(00不不存存在在所以该曲线的拐点为所以该曲线的拐点为)0,0(2022-8-895。的单调性，凹向和拐点、讨论函数练习

49、)1ln()(22xxf0,012)(02xxxxf1,10)1(12)1(212)(212222222xxxxxxxxf)1,()1,0(),1(01x)(xf )(xf000)(xf1)0,1(拐点拐点拐点拐点2022-8-896小结：小结：函数的单调区间函数的单调区间 函数的极值最值函数的极值最值 函数的凹向拐点函数的凹向拐点 x)(xf)(xf)(xf2022-8-897作业作业 极值：P106/9(1)(3)(5)(7)单调区间：P106/10 2022-8-8982022-8-899.点2)(讨论32的凹性与拐xxxf2716)(,320)(,64)(,34)(.002xfxxfx

50、xfxxxf解x)(xf)(xf)32,(3/2),32(上凹）()2716,32(拐点：下凹）(课堂练习：课堂练习：02022-8-81002022-8-8101(k 为某一常数)例例.铁路上 AB 段的距离为100 km,工厂C 距 A 处20AC AB,要在 AB 线上选定一点 D 向工厂修一条 已知铁路与公路每公里货运价之比为 3:5,为使货D 点应如何选取?20AB100C解解:设,(km)xAD x则,2022xCD)100(320522xkxky)1000(x,)34005(2xxky23)400(40052xky 令,0 y得,15x又,015 xy所以 为唯一的15x极小点,