42应用留数定理计算实变函数定积分课件.ppt
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- 42 应用 定理 计算 函数 积分 课件
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1、4.2 应用留数定理应用留数定理 计算实变函数定积分计算实变函数定积分在自然科学中常常需要计算一些实积分,特别是计在自然科学中常常需要计算一些实积分,特别是计算一些在无穷区间上的积分。例如:光学问题中需算一些在无穷区间上的积分。例如:光学问题中需要计算菲涅尔积分要计算菲涅尔积分 ;热传导问;热传导问题中需要计算题中需要计算 ;阻尼振动问题中需要;阻尼振动问题中需要计算积分计算积分 等。我们在高等数学中已经知等。我们在高等数学中已经知道这些实变函数的积分需要特殊的技巧才能计算,道这些实变函数的积分需要特殊的技巧才能计算,有的很难,甚至不能计算。原因在于被积函数往往有的很难,甚至不能计算。原因在于
2、被积函数往往不能用初等函数的有限形式表示,因而就不能用牛不能用初等函数的有限形式表示,因而就不能用牛顿顿莱布尼兹公式计算。莱布尼兹公式计算。0202)sin()cos(dxxdxx,0)cos(2dxbxeax0/)(sinxdxx可是通过本节的学习我们会发现,这些实积分可可是通过本节的学习我们会发现,这些实积分可以转化为复变函数的环路积分以转化为复变函数的环路积分(注意到当积分路注意到当积分路径沿实轴时,径沿实轴时,z z=x即对应于实积分即对应于实积分),再利用留数,再利用留数定理,则积分显得方便易求。定理,则积分显得方便易求。利用留数定理计算实积分利用留数定理计算实积分 一般可采用如下一
3、般可采用如下步骤:步骤:(1)添加辅助曲线,使积分路径构成闭合曲线;添加辅助曲线,使积分路径构成闭合曲线;(2)选择一个在曲线内除了一些孤立奇点外都解选择一个在曲线内除了一些孤立奇点外都解析的被积函数析的被积函数F(z z),使得满足,使得满足F(x)=f(x),通常,通常选用选用F(z z)=f(z z),只有少数例外;,只有少数例外;dxxf)(3)计算被积函数计算被积函数F(z z)在闭合曲线内的每个孤立在闭合曲线内的每个孤立奇点的留数,然后求出这些留数之和;奇点的留数,然后求出这些留数之和;(4)计算辅助曲线上函数计算辅助曲线上函数F(z z)的积分值,通常选的积分值,通常选择辅助线使
4、得积分简单易求,甚至直接为零。择辅助线使得积分简单易求,甚至直接为零。设法将实积分设法将实积分 与复变函数回路积分相联与复变函数回路积分相联系。系。基本思想:基本思想:(1)补上一段补上一段l2,使得,使得l2上上 的积分容易计算;的积分容易计算;badxxf)(2)自变数变换,把自变数变换,把l1变成变成 另一复平面上的回路。另一复平面上的回路。类型一:类型一:条件:条件:被积函数是三角函数的有理式;被积函数是三角函数的有理式;区间是区间是 0,2 变数代换令变数代换令z z=eix,x 0,2,作作变换变换20)sin(cosdxxxRI,dzizdxzzixzzx1)(21sin)(21
5、cos111|1122zizdzizzzzRI,izzzzRizzf221)(11,令令由留数定理得:由留数定理得:z zk为为f(z z)在单位圆内的奇点在单位圆内的奇点例例1:计算计算 该积分在力学和量子力学中很重要该积分在力学和量子力学中很重要 nkkzsfidxxxR120)(Re2)sin(cos,)10(cos120 xdxI1|12/)(1/zzzizdzI1|222zzzdzi221212ii例例2:计算计算 解:令解:令z z=eix,则,则 f(z z)有两个有两个2阶极点,阶极点,其中其中 在在|z z|=1内,则内,则z z1 处的留数为处的留数为)10()cos1(2
6、1202xdxI1|212/)(1/21zzzizdzI)11(12z)11(121z1|21|22)(2)1/2(21zzdzzfizzzdzi2/3222)1(4)11(1Resf2/3212)1(1)(Re22zsfiiI例例3:计算计算 解:令解:令z z=eix,则,则 在在|z z|=1内,内,)10(cos21202xdxIzzzx)1)(cos2121|)1)(1zzzdziI)1)()(zzdzzf ,以,以z z=为一阶极点为一阶极点例例4:求求 的值的值解:令解:令z z=ei,则,则21111)(Rezzsf20cos2dI1|21|214122121zzdzzziiz
7、dzzzI22121121 iiI被积函数被积函数 在在|z z|=1内只有单极内只有单极点点 ,故,故类型二类型二:(反常积分反常积分)条件:条件:区间区间(-(-,);f(z z)在实轴上无奇点,在上半平面上在实轴上无奇点,在上半平面上141)(2zzzf32z32 141)32(lim4 )32(Re22232zzzsfiiIzdxxfI)(除有限个奇点外是解析的;除有限个奇点外是解析的;当当z z在上半平面和实轴上在上半平面和实轴上时,时,z zf(z z)一致地一致地00 若若 ,和和 为互质多为互质多 项式,上述条件意味着项式,上述条件意味着 无实的零无实的零 点,点,的次数至少比
8、的次数至少比 高两阶。高两阶。所求积分通常理解为下列极限:所求积分通常理解为下列极限:)()()(xxxf)()(xx)(x2121)(lim)(RRRRdxxfdxxfI)()(xx若上述极限存在,这一极限便称为若上述极限存在,这一极限便称为 的值。的值。而当而当R1=R2时极限存在的话,该极限称为积分时极限存在的话,该极限称为积分 的的主值,记为:主值,记为:P 上下限相等并同时上下限相等并同时本类型积分计算的是本类型积分计算的是积分主值积分主值,如,如何计算?作如图所示半圆形回路何计算?作如图所示半圆形回路ldxxf)(RRRdxxfdxxf)(lim)(RCRRldzzfdzzfdzz
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