2019年高考数学一轮复习课时分层训练47利用空间向量求空间角（理科）北师大版.doc

1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 课时分层训练 (四十七 ) 利用空间向量求空间角 A 组 基础达标 一、选择题 1在正方体 A1B1C1D1ABCD 中， AC 与 B1D 夹角的大小为 ( ) A. 6 B. 4 C. 3 D 2 D 建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体边长为 1，则 A(0,0,0)， C(1,1,0)，B1(1,0,1)， D(0,1,0) AC (1,1,0)， B1D ( 1,1， 1)， AC B1D 1( 1) 11 0( 1) 0， AC B1D ， AC 与 B1D 的夹角为 2. 2. (2017 西安调研 )如图 7720，在空间直角坐标系中有直三棱

2、柱 ABCA1B1C1， CACC1 2CB，则直线 BC1与直线 AB1夹角的余弦值为 ( ) 图 7720 A. 55 B 55 C.2 55 D 2 55 A 不妨设 CB 1，则 B(0,0,1)， A(2,0,0)， C1 (0,2,0)， B1(0,2,1)， BC1 (0,2， 1)， AB1 ( 2,2,1) =【 ;精品教育资源文库 】 = cos BC1 ， AB1 BC1 AB1|BC1 | AB1 | 0 4 153 55 . 3 (2017 郑州调研 )在正方体 ABCDA1B1C1D1中， BB1与平面 ACD1夹角的正弦值为 ( ) 【导学号： 79140255】

3、 A. 32 B 33 C.35 D 25 B 设 正方体的棱长为 1，以 D 为坐标原点， DA， DC， DD1所在直线分别为 x 轴、 y 轴、z 轴，建立空间直角坐标系，如图所示则 B(1,1,0)， B1(1,1,1)， A(1,0,0)， C(0,1,0)，D1(0,0,1)， 所以 BB 1 (0,0,1)， AC ( 1,1,0)， AD 1 ( 1,0,1) 令平面 ACD1的法向量为 n (x， y， z)，则 n AC x y 0， n AD 1 x z 0，令x 1，可得 n (1,1,1)，所以 sin |cos n， BB 1 | 131 33 . 4已知正三棱柱

4、ABCA1B1C1的侧棱长与底面边长相等，则 AB1与侧面 ACC1A1夹角的正弦值等于 ( ) A. 64 B 104 C. 22 D 32 A 如图所示建立空间直角坐标系，设正三棱柱的棱长为 2，则 O(0,0,0)， B( 3， 0,0)，=【 ;精品教育资源文库 】 = A(0， 1,0)， B1( 3， 0,2)，所以 AB1 ( 3， 1,2)，由题知 BO ( 3， 0,0)为侧面 ACC1A1的法向量即 sin |AB1 BO |AB1 |BO | 64 .故选 A. 5在正方体 ABCDA1B1C1D1中，点 E 为 BB1的中点，则平面 A1ED 与平面 ABCD 所成的锐

5、二面角的余弦值为 ( ) A.12 B 23 C. 33 D 22 B 以 A 为原点建立如图所示的空间直角坐标系 Axyz，设棱长为 1，则 A1(0,0,1)， E? ?1， 0， 12 ， D(0,1,0)， A1D (0,1， 1)， A1E ? ?1， 0， 12 . 设平面 A1ED 的一个法向量为 n1 (1， y， z)， 有? A1D n1 0，A1E n1 0，即? y z 0，1 12z 0， 解得? y 2，z 2. n1 (1,2,2) 平面 ABCD 的一个法向量为 n2 (0,0,1) cos n1， n2 231 23， 即所成的锐二面角的余弦值为 23. 二、

6、填空题 6在长方体 ABCDA1B1C1D1 中， AB 2， BC AA1 1，则 D1C1 与平面 A1BC1 夹角的正弦值为_ 13 =【 ;精品教育资源文库 】 = 以 D 为原点， DA 为 x 轴， DC 为 y 轴， DD1为 z 轴，建立空间直角坐标系，设 n (x， y，z)为平面 A1BC1的法向量， 则 n A1B 0， n A1C1 0， 即? 2y z 0， x 2y 0， 令 z 2，则 y 1， x 2， 于是 n (2,1,2)， D1C1 (0,2,0) 设所 求线面角为 ，则 sin |cos n， D1C1 | 13. 7如图 7721 所示，二面角的棱上

7、有 A， B 两点，直线 AC， BD 分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于 AB.已知 AB 4， AC 6， BD 8， CD 2 17，则该二面角的大小为_ 图 7721 60 CD CA AB BD ， | CD | (CA AB BD )2 36 16 64 2CA BD 116 2CA BD 2 17. CA BD |CA | BD |cos CA ， BD 24. cos CA ， BD 12. 又所求二面角与 CA ， BD 互补， 所求的二面角 为 60. 8在一直角坐标系中，已知 A( 1,6)， B(3， 8)，现沿 x 轴将坐标平面折成 60 的二面角，则折叠后

8、A， B 两点间的距离为 _. 【导学号： 79140256】 2 17 如图为折叠后的图形，其中作 AC CD， BD CD， =【 ;精品教育资源文库 】 = 则 AC 6， BD 8， CD 4， 两异面直线 AC， BD 夹角为 60. 故由 AB AC CD DB ， 得 |AB |2 |AC CD DB |2 68， 所以 |AB | 2 17. 三、解答题 9 (2018 合肥一检 )如图 7722，在四棱台 ABCDA1B1C1D1中， AA1 底面 ABCD，四边形 ABCD为菱形， BAD 120 ， AB AA1 2A1B1 2. 图 7722 (1)若 M 为 CD 的

9、中点，求证： AM 平面 AA1B1B； (2)求直线 DD1与平面 A1BD 夹角的正弦值 解 (1)证明： 四边形 ABCD 为菱形， BAD 120 ，连接 AC，则 ACD 为等边三角形， 又 M 为 CD 的中点， AM CD， 由 CD AB 得 AM AB. AA1 底面 ABCD， AM 底面 ABCD， AM AA1，又 AB AA1 A， AM 平面 AA1B1B. (2) 四边形 ABCD 为菱形， BAD 120 ， =【 ;精品教育资源文库 】 = AB AA1 2A1B1 2， 得 DM 1， AM 3， AMD BAM 90 ， 又 AA1 底面 ABCD， 以点

10、 A 为原点，分别以 AB， AM， AA1所在直线为 x 轴、 y 轴、 z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系 Axyz， A1(0,0,2)， B(2,0,0)， D( 1， 3， 0)， D1? ? 12， 32 ， 2 ， DD 1 ? ?12， 32 ， 2 ， BD ( 3， 3， 0)， A1B (2,0， 2) 设平面 A1BD 的法向量为 n (x， y， z)， 则有? n BD 0，n A1B 0，? 3x 3y 0，2x 2z 0， 令 x 1，则 n (1， 3， 1) 直线 DD1与平面 A1BD 夹角 的正弦值 sin |cos n， DD 1 |?n DD 1|

11、n|DD 1| 15. 10 (2017 江苏高考 )如图 7723，在平行六面体 ABCDA1B1C1D1中， AA1 平面 ABCD，且 AB AD 2， AA1 3， BAD 120. 图 7723 (1)求异面直线 A1B 与 AC1夹角的余弦值； (2)求二面角 BA1DA 的正弦值 解 在平面 ABCD 内，过点 A 作 AE AD，交 BC 于点 E. =【 ;精品教育资源文库 】 = 因为 AA1 平面 ABCD，所以 AA1 AE， AA1 AD. 如图，以 AE ， AD ， AA1 为正交基底， 建立空间直角坐标系 Axyz. 因为 AB AD 2， AA1 3， BAD

12、 120 ， 则 A(0,0,0)， B( 3， 1,0)， D(0,2,0)， E( 3， 0,0)， A1(0,0， 3)， C1( 3， 1， 3) (1)A1B ( 3， 1， 3)， AC1 ( 3， 1， 3)， 则 cos A1B ， AC1 A1B AC1|A1B |AC1 | ( 3， 1， 3) ( 3， 1， 3)7 17， 因此异面直线 A1B 与 AC1夹角的余弦值为 17. (2)平面 A1DA 的一个法向量为 AE ( 3， 0,0) 设 m (x， y， z)为平面 BA1D 的一个法向量， 又 A1B ( 3， 1， 3)， BD ( 3， 3,0)， 则?

13、m A1B 0，m BD 0，即 ? 3x y 3z 0， 3x 3y 0.不妨取 x 3，则 y 3， z 2， 所以 m (3， 3， 2)为平面 BA1D 的一个法向量 从而 cos AE ， m AE m|AE |m| ( 3， 0， 0) (3， 3， 2)34 34. 设二面角 BA1DA 的大小为 ，则 |cos | 34. 因为 0 ， ，所以 sin 1 cos2 74 . =【 ;精品教育资源文库 】 = 因此二面角 BA1DA 的正弦值为 74 . B 组 能力提升 11 (2017 河南百校联盟联考 )已知斜四棱柱 ABCDA1B1C1D1的各棱长均为 2， A1AD

14、60 ， BAD 90 ，平面 A1ADD1 平面 ABCD，则直线 BD1与平面 ABCD 夹角的正切值为 ( ) 【导学号： 79140257】 A. 34 B 134 C. 3913 D 393 C 取 AD 中点 O，连接 OA1，易证 A1O 平面 ABCD.建立如图所示的空间直角坐标系， 得 B(2， 1,0)， D1(0,2， 3)， BD1 ( 2,3， 3)，平面 ABCD的一个法向量为 n (0,0,1)，设 BD1与平面 ABCD 的夹角为 ， sin |BD1 n|BD1 | n| 34 ， tan 3913 . 12已知点 E， F 分别在正方体 ABCDA1B1C1

15、D1的棱 BB1， CC1上，且 B1E 2EB， CF 2FC1，则平面 AEF 与平面 ABC 所成的二面角的正切值等于 _ 23 延长 FE， CB 相交于点 G，连接 AG，如图所示 设正方体的棱长为 3，则 GB BC 3，作 BH AG 于点 H，连接 EH，则 EHB 为所求二面角的平面角 BH 3 22 ， EB 1， tan EHB EBBH 23 . 13 (2017 全国卷 ) 如图 7724，四棱锥 PABCD 中，侧面 PAD 为等边三角形且垂直于底=【 ;精品教育资源文库 】 = 面 ABCD， AB BC 12AD， BAD ABC 90 ， E 是 PD 的中点 图 7724 (1)证明：直线 CE 平面 PAB； (2)点 M 在棱 PC 上，且直线 BM 与