-Ch6线性离散系统卡尔曼滤波课件.ppt

1、最优估计第第6 6章章 线性离散系统卡尔曼滤波线性离散系统卡尔曼滤波l 线性离散系统卡尔曼滤波器的推导线性离散系统卡尔曼滤波器的推导l 带有控制项和测量系统偏差时的卡尔曼滤波器带有控制项和测量系统偏差时的卡尔曼滤波器 l 系统干扰和测量噪声相关时的卡尔曼滤波器系统干扰和测量噪声相关时的卡尔曼滤波器l 有色噪声下的卡尔曼滤波器有色噪声下的卡尔曼滤波器 l 卡尔曼滤波器稳定性和鲁棒性卡尔曼滤波器稳定性和鲁棒性 l 线性离散系统的最优预测与平滑线性离散系统的最优预测与平滑 36.1 引引 言言1960年卡尔曼（Kalman）将状态空间分析方法引入滤波理论，得到时域上的递推滤波算法，即卡尔曼滤波。(1

2、)要求随机过程是平稳的，要求太强；(2)以单入单出系统推导出的，难以推广到高维的情况；(3)维纳-霍夫方程很难求解，在工程上难以实现；(4)是批处理方法，不能满足在线快速处理大量数据的需要。维纳滤波的不足：与维纳滤波相比，卡尔曼滤波不仅适用于非平稳随机过程，而且可以递推实现。系统和量测的数学模型系统和量测的数学模型噪声及初值统计特性噪声及初值统计特性状态和估计方差初值状态和估计方差初值量测数据系统状态的最优估值系统状态的最优估值Kalman Filter:40),(),(0),(0jkRRjkRvEQjkRwEwvkjkvvkkjkwwk，噪声和初值的统计特性噪声和初值的统计特性：0000)v

3、ar(PxxEx，0),0(0),0(00TkxvTkxwvExkRwExkRkkkkkkkkkkkvxHzwxx11,11,离散模型离散模型：已知：已知：。态计算当前时刻的最优状，和上一时刻的估计值利用现有观测值kkkkkkxxzzzz|1|1121,要求：要求：零均值，方差阵为对角阵过程噪声和观测噪声不相关初值和过程噪声、观测噪声均不相关离散卡尔曼滤波器公式推导离散卡尔曼滤波器公式推导的线性函数。是1211|1,kkkzzzx5预测预测/时间更新时间更新(利用系统方程对状态及观测做一步预测利用系统方程对状态及观测做一步预测)：校正校正/测量更新测量更新(利用新观测对预测状态进行校正利用新观

4、测对预测状态进行校正)：KF公式2：观测预测1|1|1|1|kkkkkkkkkkkkkzzKxxzzxKF公式3：状态估计待定校正增益阵l 如何求如何求？kK最小。估计误差方差增益矩阵求取原则：使|kkTkkxxEkkkkkxxx|KF公式1：状态预测6.2 直观推导法直观推导法推导基本步骤：预测，校正。1|11,1|kkkkkkxx01kwE1|1|kkkkkxHz0kvE1|1|1|1|TkTkkkkkTkkTkkkkTkTkkkTkkTkkkkkkKvxHKIHKIxvKKvvKHKIxxHKIE)(1|1|kkkkkkkkkkkkzzKxxxxx001|1|TkkkTkkkxEvvxE

5、，TkkkTkkkkkkTkkkkKRKHKIPHKIxxE1|估计误差：估计误差：kkkkkkvKxHKI1|)(1|1|kkkkkkkkkkxHvxHKxx11|kkkkkxxx1|1|kkkkkkkvxHKx估计误差方差：估计误差方差：TkTkTkkTkkkkkkkkTkkkkKvHKIxvKxHKIExxE)(1|1|TkkkTkkkkkkKRKHKIPHKI1|TkkkTkkkkkkkkKRKHKIPHKIP1|11|1|)(kTkkkkTkkkkRHPHHPK0kkKJ（2）将 Jk 对 Kk 的偏导数为零，即 1|1|11|1|1|)(kkkkkkkkTkkkkTkkkkkkkP

6、HKIPHRHPHHPPPKF公式5：增益矩阵估计误差方差矩阵，与KF公式4等价KF公式4：估计误差方差矩阵kkkPJ|trace为了求得 Kk，（1）选择代价函数：ABABAtrAT2)(利用公式：以下求1|kkP1|1|kkkkkxxx01,11|11,TkkTkkkkkwxE01,1|111,TkkTkkkkkxwETkkkkkTkkkkkkTkkkkkkkkkkkkkkkkQPwxwxEP1,11,1,1|11,11,1|11,11,1|11,1|KF公式6：预测误差方差矩阵11,1|11,kkkkkkkwx1|11,11,11,kkkkkkkkkkxwx预测误差：预测误差：Tkkkk

7、kkkkkkkkkkTkkkkwxwxExxE11,1|11,11,1|11,1|1|预测误差方差：预测误差方差：TkkTkkkkkTkkTkkkkkTkkTkkkkTkkTkkkkkkwxExwEwwExxE1,11|11,1,1|111,1,111,1,1|11|11,9卡尔曼滤波的实质卡尔曼滤波的实质递推估计的过程；递推估计的过程；预测预测+校正的过程。校正的过程。时间更新zKK=k+1测量更新初始状态和方差10111,1kkkkkkxx状态预测TkkkkkTkkkkkkkkQPP1,11,1,111,1方差预测111kTkkkkTkkkkRHPHHPK增益矩阵11|kkkkkkkzKx

8、x状态估值方差估值1kkkkkkPHKIP预测预测/时间更新：时间更新：校正校正/观测更新：观测更新：11kkkkkkxHzz新息序列离散卡尔曼滤波器推算方程离散卡尔曼滤波器推算方程11离散卡尔曼滤波公式公式汇总离散卡尔曼滤波公式公式汇总12卡尔曼滤波器结构图卡尔曼滤波器结构图延时一步1,kkkz+-1|kkzkKkx+当前估计值上一步估计值1|kkxkH一步预测1kx131.滤波递推实现，必须给定初值（状态和方差）；几点说明：几点说明：2.当前状态最优估值：11|kkkkkkkzKxx。最优预测值，即则最优估值，即无新息，若1|10kkkkkkxxz4.KF是反馈校正过程，其校正项：，比例因

9、子：1kkkzKkK111kTkkkkTkkkkRHPHHPK5.增益：。，反比于正比于 RPKkkkk1TkkkkkTkkkkkkkkQPP1,11,1,111,16.预测方差：。正比于11kkkQ P初始估值可由经验给定，方差需经测量，由统计方法给出；若滤波是稳定的，滤波将不依赖于初值。3.估计方差 的作用：计算增益，但给出了误差分析。kk P14最小二乘估计和卡尔曼滤波估计都是无偏估计，都能在得到系统最优状态估计值的同时，还得到估计误差的方差；均适用于状态为向量的情况。维纳滤波和卡尔曼滤波都是最小方差估计。维纳滤波要求系统的输入是平稳过程，最小二乘和卡尔曼滤波无此要求。最小二乘估计法可行

10、的条件是只需要系统的测量方程和测量误差方差的信息，有递推算法，最优解是状态值；维纳滤波需要知道系统的输入和噪声的功率谱密度，以及输入和噪声的互谱密度，属于批处理方法，最优解是滤波器的传递函数或是冲激响应，对状态为向量的情况不容易实现；卡尔曼滤波可行的条件是不仅需要系统的测量方程，还需要系统的状态方程以及系统干扰和测量误差的均值和方差信息，递推方法，可以实时实现，最优解是系统的状态。卡尔曼滤波卡尔曼滤波&最小二乘最小二乘&维纳滤波维纳滤波卡尔曼滤波的直观解释卡尔曼滤波的直观解释卡尔曼滤波的基本思想与舰船卡尔曼滤波的基本思想与舰船组合导航人员作业中对船位推组合导航人员作业中对船位推算的逻辑思维方法

11、是吻合的。算的逻辑思维方法是吻合的。基本思想都可以归结为基本思想都可以归结为“预测预测+修正修正”。卡尔曼滤波过程是：每隔一个滤波周期，通过量测传感器得到量卡尔曼滤波过程是：每隔一个滤波周期，通过量测传感器得到量测船位测船位C，同时经过状态转移得到预测船位，同时经过状态转移得到预测船位 B，在量测船位和预测，在量测船位和预测船位之间根据增益船位之间根据增益 Kk 进行折衷，从而获得最佳估计船位进行折衷，从而获得最佳估计船位 D，依此，依此过程不断循环下去。过程不断循环下去。)()()1|()()(kkKBDkkxkzkBC：对预测的修正：新息93332112001xx和滤波误差方差阵。、试求卡

12、尔曼滤波估值，并已知)1()1(100015.0)1(100433)0()0()()()()(2)()1()()()(2)1(110212212211xxRQzPxxEkvkxkzkxkxkxkwkxkxkxkk代入滤波公式，得和、将，解：由给定模型知kkRQPxxH02133)0()0(01102112例例6.2 已知离散型线性系统的状态方程和观测方程如下8661800012112100421120001TTQPP86911108661810108661811110|1110|11RHPHHPKTT21993105.00|1111xHzz9/510/386919310|11110|11zxH

13、zKxx9/83/23/2148661810869110010|1111PHKIP18应用实例应用实例1 舰船导航舰船导航状态向量：状态向量：状态方程：状态方程：7654321sincos,KSVVVVKSVKSVWtXfXNNEEENTENKSVVX43214321vKvSvvzzzz观测方程：观测方程：1.1.系统模型系统模型2.2.初始条件初始条件3.3.仿真仿真仿真结果(1)仿真结果(2)仿真结果(3)236.3 带有控制项和测量偏差的卡尔曼滤波器带有控制项和测量偏差的卡尔曼滤波器kkkkkkkkkkkkkkkkkvyxHzwuxxyu11,11,11,时，模型为：和测量偏差考虑控制项

14、两项。和的差别主要在于，因此滤波方程与之前状态方程和观测方程中由于这两项分别出现在1|1|kkkkzx1|1,11,1,1|11,1|11|1|1|1|11,1|11,1|1|1|kkkkkkTkkkkkTkkkkkkkkkTkkkkTkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkPHKIPQPPRHPHHPKxHyzzuxxzKxx滤波方程：246.4 系统噪声和测量噪声相关时的卡尔曼滤波系统噪声和测量噪声相关时的卡尔曼滤波kkkkkkkkkkkkkkvxHzwuxx11,11,11,系统模型：系统模型：kjkwvSjkR),(相关噪声：相关噪声：其他条件与6.2中相同。相关！条件改

15、变，不符合Kalman基本方程，前面的结果不能直接套用，需要对方程作形式上的修改，化为符合条件的形式，再利用之前结果。方法：方法：引入类似于 Lagrange 乘子的待定常数矩阵，适当选取这个矩阵，变非约束方称为约束方程，将约束条件纳入方程，变成符合基本假设条件的形式。1111kkkkvxHz01111kkkkvxHzkkkkvxHz已知在动态方程右端增加一个恒为零的项：)(1111111,11,11,kkkkkkkkkkkkkkkvxHzJwuxx1111,1111,1111,)(kkkkkkkkkkkkkkkvJwzJuxHJ 1111,kkkkkwux 待定矩阵1111,11111,11

16、11,1,kkkkkkkkkkkkkkkkkkvJwwzJuuHJ其中，kjkkkkkTjkkkkkkkRJSvvJwEvw),cov(,1,1基本方程条件。，即满足只需使，这里，KFvwwEkkk0),cov(00),cov(*1,1,1kkkkkkkkkkkkvwRSJRJS，则有，即只需令注意到模型中只有系统方程不同，所以与前相比，只有预测方程不同。1111,1|11,1|kkkkkkkkkkkzJuxx一步预测：一步预测：)(111,1,kkkkkkHJ1|111111,1|11,kkkkkkkkkkkkxHzJux一步预测误差：一步预测误差：1111,1|11111|111,1|1|

17、kkkkkkkkkkkkkkkkkkkkvJwxxHJxxxxxTkkTkkkTkTkkkkTkkTkkkkTkTkkkTkkkkTkkkkkkTkkkkkkwvEJJvwEwwEJvvEJHJxxEHJxxEP1,1111111,1,111,1111111,11111,1|1|1|预测误差方差：预测误差方差：1111,1111,)(kkkkkkkkkkvJwxHJ)(1|111kkkkxxx TkkTkkTkkkkTkkkTkkkkkTkkkkkkkkkkSJJSJRJQHJPHJ1,11111,1111,11,111,1|1111,1|1|kkkkkkkkkxHzKxx噪声噪声 wk 和和

18、 vk 相关时的卡尔曼滤波递推方程：相关时的卡尔曼滤波递推方程：1|111111,1|11,1|kkkkkkkkkkkkkkxHzJuxx11|1|kTkkkkTkkkkRHPHHPK1|kkkkkkPHKIP RSJkkkkk1,1TkkTkkTkkkkTkkkTkkkkkTkkkkkkkkkkkkSJJSJRJQHJPHJP1,11111,1111,11,111,1|1111,1,286.5 有色噪声下的卡尔曼滤波器有色噪声下的卡尔曼滤波器若有色噪声可以用白噪声激发的线性系统得到，可通过增广状态增广状态向量向量的方法，将噪声作为状态向量的一部分进行估计。)1()1()1()1()(),1(

19、)(),1()1(1111kvkykHkzkwkkkykkky系统模型：系统模型：w1 和 v 为有色噪声，分别对应一个成型滤波器：成型滤波器：)(),1()(),1()1()(),1()(),1()1(23312121kkkkvkkkvkkkkwkkkw白噪声只是一种理想噪声，实际的噪声总有一定的相关性，只有在相关性较弱时，才可以近似看作白噪声序列。当噪声的相关性不可忽略时，要考虑有色噪声有色噪声下的卡尔曼滤波。非白噪声白噪声rmmmqpppnmHpnnnrqmvzpwny：；：；：；：；：；：；：；：；：；：、；：332211121111111jkTjkTjkTkNkjEkNkjEkNkj

20、EkEkEkk)()()()()()()()()(0)()()()(2222111112212121，满足：和其中，)()()(122211rqkNrrkNqqkN：；：；：且有：都是零均值高斯序列，和，)0()0()0(1vwy)0()0()0()0()0()0()0()0()0(11wvTyvTywTPvwEPvyEPwyE),0(,0)0(),0(,0)0(),0(,0)0(1vvwwyyPNvPNwPNy()()()x ty tj 白色 有色 成型滤波器成型滤波器（forming filter、shaping filter）：有色噪声 白噪声通过线性系统的输出，白化白化。)1()1()

21、1()1(1kvkwkykx n+p+m 维增广状态向量：维增广状态向量：),1(000),1(00),1(),1(),1(3211kkkkkkkkkk其中，),1(00),1(00),1(32kkkkkk)()()(21kkkw增广状态方程：增广状态方程：)(),1()(),1()1(kwkkkxkkkx-(6.5.7)0()0()0()0()0()0()0()0()0()0()0(vvwvyvwvwwywyvywyypppppppppPx的协方差矩阵：w(k)为维的零均值高斯白噪声序列，其协方差矩阵为：jkjkTkNkNkNkNkQkwjwE)()()()()()()(22121211)1

22、()1(1IkHkH 测量方程：测量方程：)1()1()1(kxkHkz-(6.5.8)(6.5.7)和(6.5.8)构成的增广状态系统的卡尔曼滤波方程为：kkkkkkTkkkkkTkkkkkkkkTkkkkTkkkkkkkkkkkkkkkPHKIPQPPHPHHPKxHzKxx|1111|1,1,1,1|,1|111|111|11|,1111|11|100|00|00PPx，初始条件：增广状态方程：增广状态方程：)(),1()(),1()1(kwkkkxkkkx-(6.5.7)两点说明：两点说明：（1）对状态向量扩维，会增加滤波的运算量；（2）在计算增益矩阵 时，求逆矩阵中可能会因为 过小而

23、产生奇异。为避免这种情况，可在有色中分离出一个白噪声分量 ，其中 对任意 k 都正定。测量方程变为：)1()1()1()1()1(31kkvkykHkz11|111|11TkkkkTkkkkHPHHPK Pkk|1),0()(3kRNkkR336.6 卡尔曼滤波器的稳定性和鲁棒性卡尔曼滤波器的稳定性和鲁棒性卡尔曼滤波是递推算法，必需有初值。若初值选取不当，是否会对滤波产生影响？卡尔曼滤波要求已知系统模型。若模型不准，对滤波的影响有多大？滤波的稳定性问题滤波的稳定性问题初值选取对滤波的影响滤波的鲁棒性问题滤波的鲁棒性问题模型误差对滤波的影响346.6.1 卡尔曼滤波的稳定性 1.滤波的稳定性问题

24、及稳定性定理滤波的稳定性问题及稳定性定理知识回顾：三个稳定性概念（稳定、渐进稳定、一致渐进稳定）知识回顾：三个稳定性概念（稳定、渐进稳定、一致渐进稳定）三种稳定性之间的关系：三种稳定性之间的关系：一致渐近稳定性渐近稳定性稳定性-(6.6.3)l 滤波方程：滤波方程：kkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkzKxzKxHKIxHzKxx1|11,1|11,1|11,1|11,|kkkkkkkkkkkvxHzwxx11,11,l 随机线性离散系统：随机线性离散系统：-(6.6.2)系统输入。转移矩阵；kkkkkkzKHKI1,利用李雅普诺夫第二法则，有结论：若的。稳定的，则滤波是稳定

25、所描述系统是一致渐进1|11,|kkkkkkxx-(6.6.5)离散系统的情况，二者对应的解为：和有两个不同初值：若证明：*0|00|0)5.6.6(xx*0|00,|*0|00,|xxxxkkkkkk，)(*0|00|00,*|xxxxkkkkk相减*0|00|00,*|xxxxkkkkk取范数则滤波是稳定的。，时，当系统是渐进稳定的，即由稳定性定义知，只要00,kk，即滤波稳定。，还可证明，则，若当*|*|0,0kkkkkkkkkPPxxk，则滤波是稳定的。时，必有当，满足使得对任意若存在上述条件进一步加强：出。输入必须得到有界的输可实现，要求：有界的若使滤波系统在物理上00,0,00,)

26、(2,211kttclkkeclkcclk连续系统的情况l 连续系统滤波方程：连续系统滤波方程：-(6.6.9)()()()()()()(txtHtztKtxtAtx)()()()(tHtKtAtA)()()(txtAtx对应齐方程：-(6.6.10)的解为：和两个初值假设对应齐方程)()()10.6.6(0*0txtx)(),()()(),()(0*0*00txtttxtxtttx(6.6.10)的状态转移矩阵)()(),()()(0*00*txtxtttxtx相减取范数并利用Schwarz不等式)()(),()()(0*00*txtxtttxtx滤波稳定。即若滤波系统稳定，则，同时，则，若

27、当)()()()(0),(*0tPtPtxtxttk，则滤波是稳定的。时，必有当，满足使得对任意存在常数系统是一致渐进稳定：的输出。因此要求滤波的输入必须得到有界上可实现，要求：有界为了使滤波系统在物理0),(),(0,0,00)(2002101ttkecttttccttc)()(),()()(0*00*txtxtttxtx,1,HKIkkkk由)()()()(tHtKtAtA),)(),(00tttAItt用。法稳定性判定方法不实解析形式，所以上述方，而增益阵一般无和中分别含有和可知，)(),(01,tKKttkkk判定一个最优滤波系统是否一致渐近稳定，只需考察这个系统本身是否一致完全能控和

28、一致完全能观，如果满足，则滤波初值和可以任意选取。滤波方程由系统方程和观测方程推出，滤波的稳定性应该与随机线性系统的结构和参数有关。卡尔曼等的结论：如果随机线性系统是一致完全能控和一致如果随机线性系统是一致完全能控和一致完全能观的，那么其线性最优滤波系统是一致渐进稳定的。完全能观的，那么其线性最优滤波系统是一致渐进稳定的。（这实际上就是稳定性定理）kkkkkkkkkkkvxHzwxx11,11,随机线性系统：kjkTjkkkjkTjkkRvvEvEQwwEwE)(0)()(0)(，且且，0),1(11,1,kNkjkjjjTjTkjOHRHkNkWNk，使时刻，若存在正整数对任）完全能观（Ik

29、NkWINkNO2222),1(02，有使得对所有，及正整数若存在）一致完全能观（随机线性系统的能观性：随机线性系统的能观性：随机线性系统的能控性：随机线性系统的能控性：IkNkWINkNC1111),1(02，有：，使得对所有和若存在正整数）一致完全能控（0),1(11,1,11,kNkiTikTiiiiiikCQkNkWNk，使时刻，如果存在正整数对任意）完全能控（滤波的稳定性定理滤波的稳定性定理IkNkWIIkNkWINkNvxHzwxxOCkkkkkkkkkkk2211221111,11,),1(),1(，有，使得对于所有的和正整数、数完全能观的，即存在正是一致完全能控和一致果离散随机

30、线性系统滤波的稳定性定理：如)(2,211|11,1|11,|1000)(lkclkkkkkkkkkkkkkkeclkccxHzKxx，都有，使得对所有的，存在常数是一致渐进稳定的。即则滤波式结论结论1：对于一致完全能控和一致完全能观的线性系统，当时间充分长以后，其卡尔曼最优滤波值将渐近地不依赖于滤波初值的选取，而且有界的测量输入必有有界的滤波输出。结论结论2：0000)1(0)2(02)1()2()1()2()(2)1()2(21)2()1()2(0)1(011PPebPPkPPebPPlkbbkPPPPkbkklllkbkkkk时，系统，当和一致完全能观的线性即，对于一致完全能控，有，使得

31、对所有的，则存在常数时刻的滤波误差方差阵的第分别为从它们出发计算和方差阵，而是两个不同的初始误差和若当时间充分长以后，它的滤波误差方差阵及滤波增益阵将渐近地不依赖于初始方差阵的选取。结论结论3：。恒有时，出发，当，使得从任意的方差阵一个唯一的正定阵能观，则存在系统为完全能控和完全对于线性定常系统，若PPkPPk0线性定常系统的能控能观性线性定常系统的能控能观性kkkkkkvHxzwxx11线性定常系统：时当满足：nkRRQQHHkkkkkkk,0,0,1,1,101)()(),1(NlTlTlkNkiTikTikCQQknkW1101111)()()(),1(NNllTTlTNkNkjkjTT

32、kjOHRHHRHknkW由上面两式，可以推出线性定常系统一致完全能控与一致完全能观的充要条件为：0)(,0)(1010NllTTlNlTlTlHH例：例：系统的状态方程和观测方程如下)()()(01)()(2/)()(101)1()1(2122121kvkxkxkzkwTTkxkxTkxkxkjkjTkjkjTrRjvkvEqQjwkwEkvEkwEkvkw22)()()()(0)()()()(不相关，且都是零均值的白噪声，和判定卡尔曼滤波的稳定性。012/1012,1,1kkkkkHTTT，解：解：由系统方程和观测方程知 10)(1,Tikik定性得证。如果二者均正定，则稳，和能观性矩阵以

33、下求能控性矩阵),1(),1(kNkWkNkWOC1031101102110211011012,11,12,11,11,1TTTTTTkkkkkkkkkkkk首先求得：kNkjkjjjTjTkjOkNkiTikTiiiiiikCHRHkNkWQkNkW1,1,1,1,11,),1(),1(由于1)(2)(2)()(41)(0122/10)(1222222222,1,21,TikTTikTTikTikTTqTikTTqTTTikqTikTiiiiik0221231)(2)(2)()(4),1(222232212222221,1,11,NTNTNTNTNTqTikTTikTTikTikTTqQkN

34、kWkNkikNkiTikTiiiiiikC系统一致完全能控！2222,1,)()()(1110)(1011011)(01TkjTkjTkjrTkjrTkjHRHkjjjTjTkj0)12)(1(61)1(21)1(211)()()(11),1(2212221,1,TNNNTNNTNNNrTkjTkjTkjrHRHkNkWkNkjkNkjkjjjTjTkjO系统一致完全能观！结论：滤波是稳定的。2.稳态卡尔曼滤波稳态卡尔曼滤波当滤波达到稳态后，滤波误差方差阵将趋向于一个确定的正定阵，并且可以离线计算，从而避免了大量的在线计算，易于工程实现。kkkkkkvHxzwxx11线性定常系统：0)(0)

35、(1010nllTTlnlTlTlHH，若满足：。也将趋于确定的增益阵，都将趋于唯一的正定阵充分长，开始，当时间，从任意的。无论如何选取则系统的滤波是稳定的KKPPPxkkk|0)0(TTkkkkkkTkkTkkkkkkQPPHPRHHPHPPP|11|11|1|1|)(TTkkTkkTkkkkkkQHPRHHPHPPP)(1|11|1|1|1TTkkTkkTkkkkkkQHPRHHPHPPP)(1|11|1|1|1它决定着增益矩阵：11|1|)(RHHPHPKTkkTkkk黎卡提差分方程黎卡提差分方程 MPPKKPPkkkkkk|11|，当滤波达到稳态时，有TTTTQHMRHMHMHMM)(

36、1方程：黎卡提方程退化为代数稳态卡尔曼滤波增益阵和滤波误差方差阵：HMRHMHMHMPRHMHMHKTTTT11)()(稳态卡尔曼滤波方程：1|11|1|kkkkkkkxHzKxx50对卡尔曼滤波的稳定性进行研究的前提是：精确已知系统的数学模型和噪声统计特性。但实际则不然。由系统建模误差或者系统参数变化而使卡尔曼滤波器保持其稳定的性能称为卡尔曼滤波器的鲁棒性。为研究卡尔曼滤波的鲁棒性，要研究系统模型存在误差时得到的状态估计值与真实值的误差。6.6.2 卡尔曼滤波的鲁棒性 1.卡尔曼滤波器模型误差分析卡尔曼滤波器模型误差分析真实模型：真实模型：含误差模型：含误差模型：kkkkkkkkkkkvxH

37、zwxx11,11,kkkkkkkkkkkvxHzwxx11,11,-(6.6.39)-(6.6.40)0000var0),(0),(0),(),(0),(0 xPxExjkRjkRjkRRjkRvEQjkRwEvxwxvwkjkvvkkjkwwk，如下：噪声及初值的统计特性由含误差的模型得到的滤波递推方程：由含误差的模型得到的滤波递推方程：1|1|1,11,1,1|11,1|11|1|1|11,1|1|1|kkkkTkkkTkkkkkkkkTkkkkkTkkkkkkkkkTkkkkTkkkkkkkkkkkkkkkkkkkPHKIKRKHKIPHKIPQPPRHPHHPKxxxHzKxx之间的

38、误差及方差。和需考察为了衡量滤波的优劣，kkkxx|1|1|1|1,1,1,1|1|TkkkkkkTkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkxxEPxxEPHHHxxxxxx，首先定义：1|1|kkkkkkkkkkkkkkxHvxHxHxHKxx)(1|1|kkkkkkkkkkkkkvxHxHxxHKxxkkkkkkkkkvKxHKxHKI1|TkkkkkTkkkxExBxExA1|1|)(1|1|kkkkkkkkkkkkkkxHvxHKxxxxx偏差：TkkkkkkTkTkTkkkkTkkkTkTkkkkTkkkkkkTkkkHKIBHKKHBHKIKRKKHAHKHKIPHKIxxEP1

39、|1|1|偏差的方差：11,11,1|11,11,11,1|1|kkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkxxxwxxxx预测偏差：11,11,1,1|111,)()(kkkkkkkkkkkkkwxxx11,11,11,kkkkkkkkkwxxTkkkxExBTkkkkkTkkTkkkTkkkkkTkkkkkTkkkkkkkBBQAPP1,11,1,11,1,11,1,11,1,11,1|预测偏差方差：递推初值：TTTxxExBxExAxxxxEP)(000000000000TkkkkkTkkkkkkkTkkkTkkkkkkkkkkkkkkkkkkkQPPKRKHKIPHKIPHHRQPx1,

40、11,1,11,1|1|1,1,1,1,00，则，假定的误差，即和及噪声方差、初始方差只考虑初值若TkkkTkkkkkkkTkkkkkTkkkkkkkKRKHKIPHKIPQPP1|1,11,1,11,1|计误差方差为：这时预测误差方差和估TkkkkkkTkkkkkkkTkkkkTkkkkkkkkkkkkkkkkkQQPPKRRKHKIPHKIPPPPPPP1,111,1,11,1|1|1|1|1|，则由以上几式得：，定义：kkkkkkkkkkkkkkkkPPPPPPPPPRRQQ1|1|111|1000即：，则：，若几个结论：几个结论：。均有，则对所有的，选取，且对所有的若误差时，差阵和噪声

41、协方差阵有在初始滤波值、初始方kkkkkkPPkRRQQkPP00结论结论1 1：。均有，则对所有的，选取，且对所有的若误差时，差阵和噪声协方差阵有在初始滤波值、初始方kkkkkkPPkRRQQkPP00结论结论2 2：。，则，控能观性，且若模型具有一致完全能IPPRRQQPPkkkkkk00结论结论3 3：对于一致完全能控能观系统，其方差有上界。1.卡尔曼滤波的鲁棒性卡尔曼滤波的鲁棒性kkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkvxHzuwxxvxHzuwxx11,11,11,11,11,11,采用模型：真实模型：kxxkkk,|当系统中的参数参数在一定范围内发生摄动摄动或模型化

42、系统具有建模建模误差误差，卡尔曼滤波器的滤波值仍能保持不发散不发散，即 则称该系统的卡尔曼滤波器具有鲁棒性鲁棒性。一般模型：含控制项-(6.6.56)-(6.6.57)引理引理 若系统(6.6.56)和系统(6.6.57)为一致完全能控和一致完全能观，则有如下结论：)1()()(3,2,1|kxxExxEkxxxxkxxxxkkkkkkkkkkkkkkk）（当）（当）（证：证：kxxkkk，当观）系统一致完全能控能（|1）（当），则有（当可知，若由kxxkxxxxxxxxkkkkkkkkkkkkk|得证。）（当），则有（当可知，若另一方面，由kxxkxxxxxxxxkkkkkkkkkkkkk|

43、得证。）得证。（于是估计可知的最优估计，也是无偏为）由（3)()(3|xxExxExExExxkkkkkkkkkkk（2）的证明与（1）类似。根据此引理，有如下5个结论：性。的卡尔曼滤波具有鲁棒则系统，使得，稳定，即存在，且渐进均为一致完全能控能观和若系统)56.6.6(000)57.6.6()56.6.6()(2,211lkeccclkclk结论结论1 1：证：证：kkkkkkkkkkkkkkkkkkxxEExxxExxEExExxxxExEExExxxxtrVartrVar于由kiTikTiiiiiikTkkkQxx1,1,11,0,00,VarVarkiikTikTiiiiikTkkQx

44、x1,1,11,0,0,0)tr(trVartrVar可得020,00,0,0,0,00,0,0trVartrVar)(max)Var(trVarxxxxkkTkiikTkkTk均为非负定的，可知和由2 2范数矩阵特征值注意注意:取方差，取方差，控制项消失。控制项消失。kiTiiiiiikkkQxx11,11,2,020,)tr(trVartrVarkecxVarQcTiiiiii,1)(tr),(trmax122201,11,kiTiiiiiikckcQececx11,11,)(2222220)tr(trVar11由系统的渐进稳由系统的渐进稳定性，即定性，即(6.6.59)kxk,trVar

45、同理可证：kexExEuC kc,1)()(,max100max2项消失。两侧取均值，注意：wkiiiiiiiikkkkuuxEExxEEx111,11,000,kiikckcueCxEExeC1max)(200211kiiiiiiiikkkkuuxEExxEEx111,11,000,)()(此外，kkkkkkxxEExxxxtrVartrVar)(trVarkxk)(trVarkxk)(kxEExkk)(k xxkk引理(1)(|k xxkkk即：系统的卡尔曼滤波具有鲁棒性。结论结论2 2：kkkkkkkvHxzuwxx111线性定常系统具有参数摄动的模型为)(111kkkkkkkkkvHx

46、vxHzuwxx若两个系统完全能控能观，则系统具有抗参数摄动鲁棒性。，即若1)(max1Tii结论结论3 3：若两个系统完全能控能观，且若1kxxxxxxxEExkkkk,VarVar0000则有，kxEExuuuuuuxEExkuxEExxEExkkTiikkTii,01)(max2,01)(max10000为常向量，则有，且）若（，使得没有摄动，则存在一个，且若）（结论结论5 5：结论结论4 4：若两个系统完全能控能观，kxEExuuukkkkii,1)(max，则有，且若656.7 线性离散系统的最优预测与平滑线性离散系统的最优预测与平滑 6.7.1 线性离散系统的最优预测 进行估计。）

47、时刻的状态（，对系统在条件下，据观测数据的最优预测，即在给定线性离散随机系统kjkkkkkkkkkkkxjkkzzzvxHzwxx,2111,11,-(6.7.1)0)0,(,0)0,(,0),(),0(),0(kRkRjkRRNvQNwvxwxwvkkkk足：系统中，噪声和初值满,|21|jkjkjkzzzxExx，即以下推导最优预测1,111,jkwxxkjiiiiikjjkk由系统模型方程：11,11,kkkkkkkwxx，得：将其代入,|21|jkjkzzzxEx,|,|21111,21,jkjiiiiikjjjkzzzwEzzzxE,|21111,|jkjiiiiikjjkjkzzz

48、wxEx）（,|,|21111,21,jkjiiiiikjjjkzzzwEzzzxE-最优预测方程以下推导预测误差的协方差矩阵。jjkjjjkjkxzzzxEx,|,21,|kjiiiiikjjjkwxx111,)(jjkkjiiiiikjjkjkkjkxwxxxx,111,|预测误差：预测误差：kjiiiiikjjkwx111,)(jjjxxx)(111,111,|TkjiiiiikjjkkjiiiiikjjkjkwxwxEP预测误差方差：预测误差方差：kjiTikTiiTiiiiikTjkTjjjkwwExxE1,1,111,jkjkRwx,0),(kjiTikTiiiiiikTjkjjk

49、QP1,1,11,-最优预测方差不带求和号的形式：不带求和号的形式：TkkkkkTkkjkkkTkkkjkkkkkkjkkkTjkjkjkQPwxwxExxEP1,11,1,11,11,|11,11,|11,|)(1111,11,11,111,|kjiiiiikkkkkkjjkkkkjiiiiikjjkjkwwxwxxIkk,1111,11,11,11,kjiiiiikkkkkkjjkkkwwx11,1111,1,11,kkkkjiiiiikjjkkkwwx11,|11,kkkjkkkwxjjkjjjkjkxzzzxEx,|,21,|TkkkkkTkkjkkkjkQPP1,11,1,11,|最

50、优预测：最优预测：最优预测误差方差：最优预测误差方差：706.7.2 线性离散系统的最优平滑 进行估计。）时刻的状态（，对系统在件下，据观测数据最优平滑，即在给定条kjxkjjzzz,21根据 k 和 j 的具体变化情况，最优平滑分为如下三类：固定点平滑，固定区间平滑，固定滞后平滑。1.固定点平滑固定点平滑,.,10,2|1|21jjjjjkTkkxxxjkZkzzzZ平滑的输出为：的平滑问题。状态向量中某固定时刻估计利用值组的向量。时刻所获得的所有观测：应用：通过观测人造卫星轨道数据来估计其进入轨道时的初始状态。2.固定区间平滑固定区间平滑。平滑的输出为。状态估计区间中每个时刻的利用中得到的