配套课件-数字信号处理.ppt

1、第一章 时间离散信号与系统 1.1 引言引言 1.2 时间离散信号时间离散信号序列序列 1.3 线性移不变系统线性移不变系统 1.4 系统的稳定性与因果性系统的稳定性与因果性 1.5 线性常系数差分方程线性常系数差分方程 1.6 离散时间系统与信号的频域表示离散时间系统与信号的频域表示 1.7 傅里叶变换的一些对称性质傅里叶变换的一些对称性质 1.8 时间连续信号的采样时间连续信号的采样 1.1 引引 言言 信号是信息的载体，它承载和传递着存在于自然界的各种纷繁复杂的信息。根据信号本身的特点，它常可以由一个或多个独立变量来描述，在数学上则可以表示成这些变量的不同函数。例如，语音信号在数学上可表

2、示成时间的函数，而图像信号又可以表示成一个二元或多元空间变量的亮度函数。不过，人们经常将此类数学表示式中的独立变量看作时间。我们也遵循这个传统，尽管实际上有时它并不代表时间。以时间变量表示的信号常被分成时间（或时域）连续信号和时间（或时域）离散信号。时间连续信号的幅度一般不再量化。时间和幅度都连续的信号就是我们十分熟悉的模拟信号。离散时间信号的幅度通常也有连续和离散之分。时间为离散变量而幅度仍是连续变化的信号常叫作序列，而时间与幅度均已离散的信号则为数字信号。数字信号处理，实际上就是对幅度和时间都离散的信号的变换或滤波。似乎可以这么说，在几乎所有科学和技术领域，为了实现信息的提取，都得对有关信

3、号进行必要的处理。信号处理技术与相应系统的发展，对科学本身的进步，一直起着十分重要的作用。需要说明的是，为了不影响主要理论的论述，本书只研讨时间离散的信号与系统，而不专门讨论幅度量化问题。或者说，我们实际讨论的将是一种幅度连续而时间离散的信号，而不直接讨论数字信号本身。这在原理上并无什么问题，因为随着电子技术的飞速发展，幅度量化的精确实现已越来越方便，读者如确因需要而必须探讨幅度量化方面的内容时，可以参阅有关文献。通常，时间离散信号可以通过对时间连续信号的采样获取，也可以由某些时间离散处理方法直接产生。无论时间离散信号的来源如何，数字信号处理系统都具有一系列令人向往的特点。它们能用数字计算机十

4、分灵便地运作，也可用数字专用设备实现。它不仅可以模仿模拟系统，更可以用来实现模拟器件无法实现的诸多十分重要的信号变换。因此，在作复杂的信号处理时，常要用到信号的数字化表示。1.2 时间离散信号时间离散信号序列序列 时间离散信号只在离散时间点上标有数值，离散时间的时间间隔T通常是均匀的，可用x(nT)表示其在nT处的信号值，并以x(n)表示第n个离散时间点的序列值。事实上，在具体论述中，我们又常以x(n)直接代表序列x(n)。时间离散信号（序列）也常用图1.1那样的图形表示。尽管横坐标是一条连续的直线，但是需要特别说明，这里的x(n)仅对n为整数时才有定义,对于非整数的n，x(n)没有意义，把它

5、理解为零也不正确。图1.1 时间离散信号 x(4)x(3)x(2)x(1)x(0)x(1)x(2)x(3)x(4)x(5)x(6)x(7)x(8)n4 3 2 1012345678x(n)1.2.1 1.2.1 常用序列举例常用序列举例1.单位采样序列单位采样序列 0001)(nnn(1-1)单位采样序列如图1.2所示。它在时间离散信号与系统中所起的作用与模拟信号与系统中的单位冲激函数(t)相仿，但在数学上没有冲激函数(t)那么复杂，其定义如式（11）所示，十分明确和简单。图1.2 单位采样序列 1n32 101234(n)图1.3 单位阶跃序列 1n0123u(n)2.单位阶跃序列单位阶跃序

6、列 0001)(nnnu(1-2)单位阶跃序列如图1.3所示,它与单位采样序列的关系为 nkknu)()(（1-3）类似地，单位采样序列与单位阶跃序列的关系为)1()()(nunun（1-4）3 矩形序列矩形序列 nNnnRN其他0101)(（1-5）图1.4所画的是样本点为N的矩形序列。它与u(n)及(n)的关系分别为 RN(n)=u(n)-u(n-N)及 10)()1()1()()(NmNmnNnnnnR(1-6)(1-7)图1.4 矩形序列 1n0123RN(n)N 1图1.5 实指数序列 a11an2101234.实指数序列实指数序列 x(n)=an(1-8)实指数序列是一个其值为an

7、的任意序列,当这里的a为实数,且a值小于1时,实指数序列如图1.5所示。5.5.正弦序列正弦序列正弦序列如图1.6所示,其表达式为)sin()(nAnx(1-9)式中的代表正弦序列的数字角频率，A是幅度，则为起始相位。设正弦序列是模拟信号采样所得,而模拟信号的表达式为)sin()(atAtx则)sin()(anTAtxnTt(1-10)图1.6 正弦序列 1 0123Ax(n)Asin(n)n式中的为模拟角频率，T为采样周期。对比式(1-10)与式(1-9),可见序列的值与采样值相等,也就意味着=T(1-11)式(1-11)表明了采样所得的正弦序列的数字角频率与原先的正弦信号的模拟角频率间的对

8、应关系。模拟角频率的单位为弧度/秒,而数字角频率的单位为弧度,它代表采样序列相邻样本间的转角。6.复指数序列复指数序列 nnx)j(e)(1-12)当=0时,x(n)=ejn (1-13)1.2.2 序列的周期性序列的周期性 如果对所有的n，具有一个最小的正整数N，使x(n)=x(n+N),则x(n)为周期序列，而周期就是N。我们以正弦序列为例，讨论序列的周期性。此时)(sin)()sin()(NnANnxnAnx(1-14)(1-15)比较式（1-14）与式（1-15），只要N=2k/（N，k为整数），则该序列就是周期序列。这里有必要讨论下面所列的几种情况：(1)当为整数时，只需取k=1，即

9、为其周期。(2)当虽非整数，但它是个有理数时，即可表示成一种分数：，N与k为互素的整数，则最小的整数就是它的周期，也就是此时的周期将是的k倍。(3)当不是有理数时（例如等于8），则任何整数k都无法使N成为整数，因而该正弦序列将不具备周期性。222kN2k222于是我们不难知道，尽管正弦模拟信号始终是一种周期信号，但是正弦序列，即使它是由相应的模拟信号采样所得，也不一定总是周期性信号,这是因为时间离散时，n又要以整数定义带来的结果,讨论时应该注意。1.2.3 序列的能量序列的能量有时候，引用序列的能量会带来某些方便。序列x(n)的能量E通常定义为该序列所有序列值的平方和，即 NnxE2|)(|（

10、1-16）1.2.4 任意序列的任意序列的(n)表示表示我们知道，将单位采样序列(n)作k步位移的表达式为(n-k),其中k0时为延迟，k0时为导前。于是，任何序列都可以表示成各延迟单位采样序列的幅度加权和。例如图1.7所示的序列x(n)可表示成 x(n)=x(-3)(n+3)+x(0)(n)+x(2)(n-2)更一般地，对于任意序列可以表示成 kknkxnx)()()(（1-17）即任意序列x(n)均可表示成(n)的移位加权和。n3210123x(n)图1.7 可表示成各延迟的单位采样的序列幅度加权和1.3 线性移不变系统线性移不变系统 一个离散时间系统如图1.8所示，它被定义为将输入序列x

11、(n)转换成输出序列y(n)的一种运算或变换，即 y(n)=Tx(n)变换T的不同特性，反映了系统的不同性质。由于线性移不变系统在数学上易于表征，尤其是它们可以比较方便地用来实现各种信号处理功能，因此本书将重点讨论这种系统。图1.8 将x(n)转换成y(n)的变换表示 T x(n)y(n)我们先考虑线性系统。所谓线性系统，实际上就是我们熟知的满足线性叠加原理的系统，此时，如果系统对输入序列x1(n)及x2(n)的输出分别为y1(n)与y2(n)，即 y1(n)=Tx1(n)与 Y2(n)=Tx2(n)则当输入为ax1(n)+bx2(n)时，线性系统的输出一定为ay1(n)+by2(n),这里的

12、a、b为任意常数,即此时的)()()(T)(T)()(T212121nbynaynxbnxanbxnax(1-18)移不变系统的主要特征是：如果y(n)是系统对x(n)的响应，那么y(n-k)将是系统对x(n-k)的响应。或者说输入作多大移位，输出也将作同样的移位，而k则是可正可负的整数。如果n描述的是时间，则移不变系统也就是我们熟悉的时不变系统。对于同时兼有线性与移不变特性的线性移不变系统，它对输入是的响应将是。为此，我们引入一个新的变量h(n)，称作单位采样响应，即 kkknxa)(kkknxa)()(T)(nnh（1-19）它是系统对单位采样序列的响应。对于线性移不变系统，其输入x(n)

13、依式（1-17）可表示成 kknkxnx)()()(于是，系统的输出 kkkknhkxknkxknkxny)()()(T)()()(T)(（1-20）这就是卷积和表示式，而且经常表示成式（1-21）所示的形式：)()()(nhnxny（1-21）线性移不变系统输入输出的卷积和关系如图1.9所示。图1.9 线性移不变系统的输入输出的卷积和表示 h(n)x(n)y(n)x(n)h(n)*上述讨论表明，对一个线性移不变系统，如果把加于它的输入序列写成由式（1-17）所示的移位的单位采样序列的加权和的话，系统所得的输出则可用式（1-20）所示那样由其对应的单位采样响应作同样的加权和获取。如果对式（1-

14、20）作变量替换，则可得另一种卷积表达式，即)()()()()(nxnhknxkhnyk（1-22）这表明卷积结果与进行卷积的两个序列的书写次序无关，也即输入为x(n),单位采样响应为h(n)的线性移不变系统与输入为h(n)，单位采样响应为x(n)的线性移不变系统具有同样的输出。卷积和是一种十分重要的表达式,它不仅与模拟系统中的卷积积分具有完全相当的理论意义，尤其是其只需求和而无需积分运算，这在工程上更有重要价值。实现卷积和计算的软硬件方法也已十分成熟。例例 如果一个系统的单位采样响应h(n)及其输入x(n)如图1.10所示，试求系统对该输入的响应。图1.10 系统的输入及单位采样响应举例 x

15、(n)10123nh(n)10123n从式（1-20）可以看到，为了得到y(n)的第n个序列值，我们需要计算x(n)与h(n-k)的乘积,并作相应的累加。为此我们先将x(n)与h(n)改为以k表示的形式，并将h(k)卷折至零点的左边，成为h(-k),h(-k)也可写作h(0-k)。不同的n，则有不同的h(n-k)。于是如图1.11所示,我们不难求得最终的y(n)输出。图1.11 线性卷积和求解举例x(k)10123kh(0k)kh(1k)13210132104h(3k)10123kkh(6k)图1.11 线性卷积和求解举例10123456k401234563213217kkknhkxny)()

16、()(此外，两个线性移不变系统的级联，依旧是一个线性移不变系统；其单位采样响应将是原先的两个单位采样响应的卷积；而且，由于两个序列的卷积与序列的次序无关，因此这个新线性移不变系统的单位采样响应与它们级联的次序没有关系。图1.12概括了这种特性，三个系统将有相同的单位采样响应及相同的输出。从式（1-20）或式（1-22）还可以看出，两个并联的线性移不变系统也可以等效成一个系统，其单位采样响应将等于原来两个系统的单位采样响应之和，如图1.13所示。图1.12 具有相同单位采样响应的三个线性移不变系统 h1(n)*h2(n)h1(n)x(n)y(n)h2(n)h2(n)x(n)y(n)h1(n)x(

17、n)y(n)图1.13 线性移不变系统的并联组合及其等效系统 h1(n)h2(n)h1(n)x(n)y(n)h2(n)x(n)y(n)1.4 系统的稳定性与因果性系统的稳定性与因果性 1.4.1 1.4.1 稳定系统稳定系统对于每个有界输入都产生有界输出的系统被定义为稳定系统。线性移不变系统稳定的充分和必要条件为该系统的单位采样响应绝对可和，即 kkh|)(|(1-23)下面我们对此作简要的证明：(1)充分性：只要 kkh|)(|则当x(n)有界，即 nMnx|)(|kkkhMknxkhny|)(|)()(|)(|也定有界。(2)必要性：假设 kkh|)(|我们考虑一有界输入 0)(10)(1

18、)(nhnhnx那么只要观察n=0的一个输出样本y(0),即可证明 kkh|)(|应该是系统稳定的必要条件,因为这时的 hkkkhkhkhkxy|)(|)(|)()(|)0(|即当系统的单位采样响应不是绝对可和时其输出序列将是无界的。1.4.2 因果系统因果系统因果系统是指其输出变化不会发生在输入变化之前的系统,也就是某一时刻n0的输出y(n0)只取决于n n0时的输入x(n)的系统。如果系统当前的输出还有赖于未来的输入，那就是非因果系统，按传统的说法也就是所谓不可实现系统。线性移不变系统是因果系统的充分与必要条件为 h(n)=0 nn0时，h(n0k)=0。我们不妨观察n0时刻的输出 000

19、)()()()()()()()()(010000nknknkkknhkxknhkxknhkxknhkxny这表示y(n0)只与kn0时的x(k)有关，而与kn0时的x(k)无关，因而证明了n0时,h(n)=0是因果系统的充分条件。(2)必要性：如果n0时，h(n)0，则在n0时刻的输出 001000)()()()()(nknkknhkxknhkxny即此时的y(n0)不仅与kn0时的x(k)有关，从而表明它与未来的输入也有关系，这显然与因果性条件相矛盾。因而n0时,h(n)=0也是其必要条件。按照习惯，我们也将n0,h(n)=0的序列称作因果序列。此外，因频率特性是理想矩形的低通滤波器及理想微

20、分器等都是非因果的不可实现系统,人们也将非因果系统称作不可实现系统。事实上，只要可以存储，这种称谓就不甚确切。例如我们把一个人的讲话用磁带记录下来，然后将它倒过来播放，这时虽然我们已经听不出讲话的内容，作为一个系统，它也已成了非因果系统，但是它毕竟是一个具体实现了的系统，而且我们不难构思出把这种输出转换成能够重现原先讲话内容的具体途径。更有价值的是只要不十分强调实时处理要求，或者虽有此要求但仍允许一定的时间延迟，我们总可以把“将来”的输入值存储起来备用，然后用具有足够延时的因果系统去逼近非因果系统，这是数字系统远较模拟设备优越的重要因素之一。1.5 线性常系数差分方程线性常系数差分方程 与用集

21、中参数构成的线性时不变系统可用常系数微分方程描述一样，以延迟元件、加法器及作常系数加权的乘法器等构成的线性移不变系统，其输入输出关系则可用一N阶的常系数差分方程表示，即 NkMrrkrnxbknya00)()(（1-25）NkMrrkrnxbknyanya100)()()(（1-26）式中,ak、br为常系数。如将式（1-25）写成 NkMrrkrnxbknyany10)()()(且进而设a0=1,则式（1-26）可以表示成输入与输出之间的显式关系，即（1-27）当然，不设a0=1也行，因为只需将式（1-26）中的每一项除以a0，并将各系数重新标注即可得到式（1-27）的表示式。式（1-27）

22、所示的N阶差分方程表明，系统输出的第n个样本可以从此前N个输出的过去值（N阶）、当前的输入值以及过去的M个输入值计算得到。与卷积和相仿，差分方程不仅可以从理论上表征系统，而且也能方便地完成系统的具体实现。下面先看N=0 的情况，此时式（1-27）可表示成 Mrrrnxbny0)()(如果设 为其他rMrbrhr00)(（1-29）（1-28）这时不难理解，式（1-28）实际上就是系统的卷积表示式。而且可以进一步看到，该系统的输出只与输入有关，而与输出本身无关，因而从结构考虑的话，又常将它称作非递归型系统。不过，如从系统单位采样响应的长度考虑，因其h(n)为有限长序列，所以又常被称作有限冲激响应

23、（FIR）系统。例例设M=1，b0=1，b1=0.5，此时的y(n)=x(n)+0.5x(n-1),其输入输出关系如图1.14所示。图1.14 简单FIR系统框图 y(n)x(n)单位延迟0.5如果再设n0时，y(n)=0，即满足初始静止条件,则当x(n)=(n)时，y(n)=h(n),而且n0时,h(n)=0,于是有 h(n)=(n)+0.5(n-1)而且其 h(0)=(0)+0.5(-1)=1h(1)=(1)+0.5(0)=0.5h(2)=(2)+0.5(1)=0 即此例是一个因果的有限冲激响应系统。如果N0，我们将式（1-27）重列于下：NkkMrrknyarnxbny10)()()(这

24、时从结构考虑的话，输出不仅与输入有关，而且还与过去的输出有关；或者说，此时存在着输出的某种反馈，因而常被称作递归系统。从单位采样响应的长度考虑，此类系统的h(n)的长度往往是无限长的，故又常称为无限冲激响应（IIR）系统。例例设N=1，a1=-a,M=0,b0=1,此时的一阶差分方程为y(n)=x(n)+ay(n-1),相应的关系如图1.15所示。同样设系统满足初始静止条件，即时n0时，y(n)=0,于是当x(n)=(n)时,有 h(n)=(n)+ah(n-1)以及n0时的h(n)=0。具体地，将有 h(0)=(0)+ah(-1)=1h(1)=(1)+ah(0)=ah(2)=(2)+ah(1)

25、=a2h(3)=(3)+ah(2)=a3 h(n)=anu(n)图1.15 简单IIR系统框图 y(n)x(n)单位延迟a 通常，FIR系统常以非递归的结构来实现，而具有IIR特性的系统则用递归结构比较方便，因而经常将非递归系统等同为FIR系统，而将递归系统视作IIR系统。其实这是两种分类概念，一种是以结构来区分，而另一种则是以单位采样响应的长度来衡量的。事实上，无论是FIR系统还是IIR系统都是有可能用非递归的结构或用递归的结构具体实现或逼近的。1.6 离散时间系统与信号的频域表示离散时间系统与信号的频域表示 线性移不变系统具有这样的基本特性：当输入正弦或复指数序列时，系统的稳态响应是与输入

26、为相同频率的正弦或复指数序列，只是此时的幅度与相位取决于系统的特性。为了进一步理解时间离散系统的这一特性，我们假设输入一角频率为的复指数序列：x(n)=ejn -n/T时，X(ej)将有如图1.19（b）所示的结果。在图1.19（b）中，我们可以看到，当采样周期过大时，Xa(j)平移后得到的诸相关图形将发生重叠。此时Xa(j)的高频分量将混入X(ej)的低频范围，出现Xa(j)的高频分量与低频分量的混叠。当然，参阅图1.19（c），假如0/T，则在-的区间内，X(ejT)将与Xa(j)相同。在这种情况下，就可以用相关的内插公式，从采样信号xa(nT)恢复原信号xa(t)。事实上，表示其采样率，

27、即此时至少以二倍于Xa(j)的最高频率进行采样。这也就是我们熟悉的所谓奈奎斯特(Nyquist)采样率。0T000s221ffTf图1.19 时间连续信号的傅里叶变换与采样序列的对应关系（a）某一连续时间信号的傅里叶变换;（b）经周期性采样所得的时间离散信号的傅里叶变换;(c)时间连续信号的傅里叶变换周期性重复时不发生混叠 1Xa(j)000(a)图1.19 时间连续信号的傅里叶变换与采样序列的对应关系（a）某一连续时间信号的傅里叶变换;（b）经周期性采样所得的时间离散信号的傅里叶变换;(c)时间连续信号的傅里叶变换周期性重复时不发生混叠 X(e j),X(e jT)T13200 2TT2T0

28、T00(b)图1.19 时间连续信号的傅里叶变换与采样序列的对应关系（a）某一连续时间信号的傅里叶变换;（b）经周期性采样所得的时间离散信号的傅里叶变换;(c)时间连续信号的傅里叶变换周期性重复时不发生混叠 T1X(e j),X(e jT)2 00T0T00T2T2(c)1.8.2 1.8.2 内插公式内插公式为了得到内插公式，假设0/T,即此时没有发生频谱混叠，如图1.17(c)所示，而且其)j(1)e(jaTXTXTT（1-66）按连续时间信号的傅里叶关系：de)j(21de)j(21)(aaatjTTtjXXtx（1-67）将式（1-66）与式（1-67）一并考虑，可得 de)e(21)

29、(tjTTTjaTXtx由于 Tj-aje)()e(kkTkTxX因而 de e)(2)(jj-aatTTkTkkTxTtx)()(sin)()(jee2)(de2)()(a)(Tj-)(Tja)(jaakTtTkTtTkTxkTtTkTxTkTxtxkt-kTt-kTkTTt-kTk交换积分与求和次序，可得（1-68）式（1-68）为由xa(t)的采样序列恢复其连续时间信号xa(t)提供了一个内插公式。该公式仅对带限信号成立，而且T要选得足够小，以保证采样后的频谱不产生混叠。第二章第二章 Z Z 变变 换换 2.1 引言引言 2.2 Z变换变换2.3 2.3 Z反变换反变换2.4 Z2.4

30、Z变换的部分定理和基本性质变换的部分定理和基本性质 2.5 2.5 系统函数系统函数 2.1 引引 言言 在时间连续系统理论中，拉普拉斯变换经常被视为傅里叶变换的一种十分有意义的推广。同样，在时间离散信号及系统中，也可按类似的方法将傅里叶变换适当推广，得到相应的Z变换运算。Z变换在分析与计算时间离散线性移不变系统时起着十分重要的作用。这一章我们先定义序列的Z变换表达式，再讨论序列与其Z变换特性间的一系列关系。在用到复变函数理论的部分结论时，我们主要是应用，不再作过多的严格求证。2.2 Z 变变 换换2.2.1 Z2.2.1 Z变换定义变换定义序列x(n)的Z变换定义为 nnznxzX)()(（

31、2-1）式中z为复变量。有时也将序列x(n)的Z变换记作Zx(n)。式（2-1）所示的Z变换常被称作双边Z变换，而将 0)()(nnznxzX定义为单边Z变换。十分明显，如果n1，则u(n)r-n绝对可和，因而单位阶跃序列的Z变换在1|z|a时，级数收敛，。该多项式之比表明，X(z)在z=0处有一个零点，在z=1处有一个极点。我们把此时的零、极点分布情况画于图2.1中，而且以表示零点，以表示极点。图中打斜线的区域就是收敛域,它包括了Z平面上|z|a的整个区域。序列的性质决定了Z变换的收敛域。为了进一步搞清这种关系，我们专门讨论几种特殊序列的情景。111)(azzX图2.1 序列anu(n)的Z

32、平面上的零、极点与收敛域Re收敛域Z平面Ima1 1有限长序列有限长序列 假设该序列只有有限多个序列值不为零，因而 21)()(nnnnznxzX（2-5）对这个Z变换而言，z=0及z=有可能是它的极点，这要视n的具体取值而定。首先，如果n10，x(n)为因果序列,此时z=将不再是极点，因而其收敛域应该是0|z|，即z=也在其收敛域内。其次，如果n20（即n0），这时z=0已不是极点，收敛域将是0|z|，Z平面的原点也处于其收敛域内。最一般的情况可能是n10，这时z=0与z=都是极点，都不在其收敛域之内，因而Z变换的收敛域为0|z|z1|时，中的每一项都比式（2-7）中与之对应的项要小，所以有

33、 1|)(|1nnnznx1)(nnnznx|z|z1|为此，我们专门将其写成X(z)在Rx-|z|的范围内收敛。这里的Rx-实际上是代表最外面一个极点到Z平面原点的距离，z=也在其收敛域内。这时级数的收敛域将是Z平面的以Rx-作半径的圆的整个外部。Rx-的下标以x-表示的原因是因为级数中z-n的幂始终为负幂之故。如果n10，我们可将级数改写成 101)()()(nnnnnznxznxzX（2-8）z取有限值（0|z|）时，上式中等式右边的第一项将是有限的，而第二项在Rx-0，则x(n)为因果序列,Z变换在z=处收敛；如果n10，序列的Z变换将如式（2-8）所示，z=将不再包括在收敛域内，因而

34、总的收敛域将不再是Rx-|z|,而是Rx-|z|。反过来也一样，如果一个序列Z变换的收敛域是一个圆的外部，那它应该是一个右边序列；而且，当其收敛域还包括z=时，它将是一个因果序列。3.左边序列左边序列左边序列是n 大于某一个数值（如n2）时，x(n)=0的序列。其Z变换 2)()(nnnznxzX（2-9）假设X(z)在z=z2处绝对收敛，即 22)(nnnznx我们先看n20的情况，此时对于所有|z|z2|的z值，将有 2)(nnnznx所以此左边序列的收敛域为0|z|Rx+，也即处于以Rx+为半径的一个圆的里边。Rx+是Z平面上最里边的极点到原点的距离。因为此时级数中z-n的幂为正幂，所以

35、Rx+的下标以x+表示。如果n20，同样可以将级数表示成 2)(nnnznx102)()()(nnnnnznxznxzX等式右边第一项的收敛域为0|z|Rx+，第二项的收敛域为0|z|，所以X(z)的收敛域为0|z|Rx+，同样处于以Rx+为半径的一个圆的里边，但Z平面的原点已不包括在收敛域之内。4.4.双边序列双边序列双边序列是从n=-延伸到n=的序列，通常可写成 01)()()()(nnnnnnznxznxznxzX（2-10）等式右边第一个级数的收敛域为0|z|Rx+，第二个级数的收敛域为Rx-|z|，因而X(z)的收敛域将是一个环状带，其范围是 xxRzR|（2-11）当然，如果Rx+

36、Rx-，则没有公共的收敛域，式（1-10）将不收敛。如果Rx-1|a|利用式（2-18），我们不难确定它的Z反变换 CnCnzazzzzaznxdj21d11j21)(11特别是，当n0时，只有z=a一个极点，此时x(n)=anu(n),若n0，在z=0处将有一个多阶极点，其阶数取决于n。而在z=a处则仍有一个极点。于是，当n=-1时，z=0 处的极点为一阶极点，其 aazz1)-(1Res0z另外还有一个z=a处的极点，并有 aazza1)-(1Resz因此，两者之和为零，即 x(-1)=0 n=-2时，2020021)(1)(1dd)!12(1)(1Resaazazzazzzzz而 202

37、1)(1Resaazzz因而x(-2)=0，依此类推，可得此例在n0时的x(n)=0。当然具体运算时，随着n变得相当负后，对z=0处的留数计算将越来越不便。此时，通常可作变量替换，从而使式（2-17）在n0时的留数计算较为简便。为此，令z=p-1，这样，原来Z平面上围线C内的极点将被转换成P平面上围线C之外的极点；而围线C外的极点将被转换成围线C之内的极点。如果C是Z平面上半径为r的圆，则C将是P平面上半径为1/r的圆。于是式（2-17）将被替换成 ppppXnxnCd1j21)(21（2-22）我们知道，式（2-17）中的围线是反时针方向的，而这里的围线方向是顺时针的。将式（2-22）的右边

38、乘上-1，并将围线方向颠倒过来，可得 ppppXnxnCd1j21)(21（2-23）再看所举之例，其 azazzX|11)(1当n0时，将有 appX11)(所以此时的 1d1j21)(Cnpappnx（2-24）现在的收敛域为，而积分围线C则为半径小于1/|a|的圆。由于n0时，围线C之内没有极点，因此可以方便地推得此时的x(n)=0。当然利用此时的式（2-24）来计算n0时的x(n)同样会十分麻烦（虽然该式仍然成立），因为在原点会出现多阶极点。这跟式（2-17）在计算n0时的x(n)很不方便一样（尽管公式也同样成立）。|1|ap 2.3.2 列表法列表法 表表2.1 几种序列的几种序列的

39、Z变换与收敛域变换与收敛域 2.3.3 2.3.3 幂级数法幂级数法如果所得的Z变换本身就像Z变换定义所示的z的幂级数形式：nnznxzX)()(那就可以直接看出，序列x(n)就是幂级数中z-n项的系数。假如所给的X(z)是一种函数形式，通常可以推导出它的幂级数展开式或者直接借用已知的幂级数展开式。对于有理Z变换，此时可利用长除法得到相应的幂级数展开式。如仍以为例。由于其收敛域为某个圆的外部，因此它对应的应该是右边序列，且因其收敛域包括z=，x(n)还应是因果序列。这时的长除法为|,11)(1azazzX于是可得此时的 2211)(zaazzX因此)()(nuanxn作为另一个例子，如果此时的

40、不变，其收敛域改为|z|0 时此序列为零。为此，我们可作如下除法：111)(azzX因此)1()(nuanxn2.3.4 部分分式展开法部分分式展开法对有理Z变换，常用的另一种方法是先将其作部分分式展开，进而识别出这些相对简单的分式的Z反变换，然后按线性叠加原理相加，即可获得欲求的Z反变换序列。例如求解下列Z变换所对应的右边序列，其 abzbazzzX)()(22|z|max(|a|,|b|)此时，可将该Z变换表示成 11112111)1)(1(1)()(bzaabbazbaabzazbzazzzX由于我们假定了它对应的是右边序列，因此式中的两项都对应于右边序列。根据前面讨论的有关例题，可以看

41、出它们都是一阶Z变换的形式，可得其)()()(nubabbnuabaanxnn2.4 2.4 Z Z变换的部分定理和基本性质变换的部分定理和基本性质 1.线性线性对于Z变换分别为X(z)与Y(z)的序列x(n)与y(n)，即)()()()(zYnyZzXnxZ则)()()()(zbYzaXnbynaxZ R|z|a|z|a|这时 1111)()()()(azazzYzXnynxZ收敛域为|z|a|。而)()()()(zYzXnynxZ其收敛域已是整个Z平面。2.序列的位移序列的位移序列x(n)的Z变换)()(zXnxZRx-|z|Rx+这是因为 则对于序列x(n-n0)，将有)()(00zXz

42、nnxZnRx-|z|Rx+（2-26）nnznnxnnxZ)()(00如作n-n0=m的变量替换，即可得)()()(000zXzzzmxnnxZnnmm一般情况下，x(n-n0)的Z变换之收敛域与X(z)的收敛域相同，但在z=0或z=处也有可能出现例外。例如Z(n)在整个Z平面收敛，而(n-1)的Z变换在z=0处就不收敛，而(n+1)的Z变换又在z=处不收敛。3.乘以指数序列乘以指数序列设Zx(n)=X(z)，Rx-|z|Rx+，如果x(n)乘以指数序列an（a不限定为实数），则 xxnRazRazaXnxaZ|)()(1（2-27）这是因为)()()()(11zaXzanxznxanxaZ

43、nnnnnn又因Rx-|a|-1|z|Rx+，所以有|a|Rx-|z|a|Rx+。4.序列乘以序列乘以n设Zx(n)=X(z)，Rx-|z|Rx+，则 xxRzRzzXznnxZ|d)(d)(（2-28）因为 nnnnnnnnnnznnxzzznnxnznxzznxzznxzzX)()()(dd)(d)(dd)(d111所以 zzXznnxZd)(d)(5.复序列的共轭复序列的共轭 xxRzRzXnxL|)()(*（2-29）因为)()()()()(*zXzXznxznxnxLnnnn6.6.初值定理初值定理设x(n)是因果序列，即n0时，x(n)=0，则)(lim)0(zXxz（2-30）这

44、是因为)0()2()1()0(lim)(lim)(lim210 xzxzxxznxzXznnzz7.序列的卷积序列的卷积如果w(n)是序列x(n)与y(n)的卷积，则w(n)的Z变换是x(n)与y(n)的Z变换之乘积。即当存在 kknykxnw)()()(时，其)()()(zYzXzW因为 nnnzknykxzW )()()(变换求和次序)()()()()()()(zYzXzYzkxzknykxzWnknnn收敛域则为两者的重叠部分，但有零、极点相消时，也会使收敛域有所扩大。8.复卷积定理复卷积定理上面我们证明了序列卷积的Z变换为各序列Z变换的乘积。在1.6节中曾经论述过，序列乘积的傅里叶变换

45、为各序列的傅里叶变换的卷积，事实上，序列乘积的Z变换也有与之形式上十分类似的卷积结果。为此，我们设)()()(nynxnw于是有 nnznynxzW)()()(因为 1d)(j21)(1CnvvvYny式中C1为Y(v)收敛域内反时针方向旋转的围线，所以 111d)(j21d)()(j21d)(j21)()(111CCnnCnnvvvYvzXvvYvvznxvvvzvYnxzW(2-31a)利用同样的方法，也可得到W(z)的另一种表示式，即 2d)(j21)(1CvvvzYvXzW（2-31b）式中的C2则是X(v)与两者收敛域重叠部分内的封闭围线。为了确定W(z)的收敛域，我们先看X(z)与

46、Y(z)的收敛域，它们是 vzYyyxxRzRzYRzRzX|:)(|:)(于是式（2-31a）中的与Y(v)的收敛域将为 vzXxxRvzR及 yyRvR合并这两个表示式，可得 yxyxRRvRRd)e(e21)e(j)(jjXrYrW在某些特别情况下，收敛域可能会大于此重叠区域，但总是包含了这个区域，并向内或向外扩大到与之最近的极点为止。为了说明式（2-31b）确实具有卷积的形式，我们设积分围线C2是一个圆，而且v=ej和z=rej,于是式（2-31b）可表示为（2-32）这显然是一种卷积积分形式。9.9.帕斯维尔（帕斯维尔（ParsvalParsval）定理）定理对于序列x(n)与y(n

47、)，其帕斯维尔关系式为 vvvYvXnynxCnd1)(j21)()(1*（2-33）式中的积分围线处于X(v)和 的收敛域的重叠部分。根据复卷积定理，如果w(n)=x(n)y(n)，则其*1vYCvvvzYvXzWd)(j21)(1（2-34）收敛域为Rx-Ry-|z|Rx+Ry+。考虑到Zy*(n)=Y*(z*)，所以对于)()()(*nynxnw其Z变换将满足 vvvzYvXzWCd)(j21)(1*（2-35）的关系式。于是可得出 vvvYvXznynxnynxCznnnd1)(j21|)()()()(1*1*这就是帕斯维尔关系式。特别是，如果式（2-36）中的序列y(n)也是x(n)

48、的话，则可构成信号能量与频谱能量的关系式，这是因为 vvvXvXznxnxnxnxnxCnnznnd1)(j21|)()()()()(1*1*2*(2-37)如果X(v)在单位圆上收敛，则当选择v=ej时，dv=jejd，即可在单位圆上积分，从而得到 d)(e21)d(e)(e21deee1)(e21)(2-jj*-jjj-*j*-j2XXXXXnxn(2-38)10.Z变换的定理及性质小结变换的定理及性质小结 以上我们讨论了Z变换的部分定理和性质，有些在计算及分析Z变换时十分有用。为此，我们将上面讨论过的以及其它一些比较有用的性质一并列于表2.2中。表内所列区域为Z变换的收敛域。需要说明的是

49、，有的时候，即在某些特殊情况下，收敛域可以大于所示收敛区域。表表2.2 Z变换的一些基本性质变换的一些基本性质 2.5 系统函数系统函数 在第一章里我们研究过用系统的单位采样响应的傅里叶变换来表示线性移不变系统的途径。事实上，单位采样响应的傅里叶变换也就是系统的频率响应。我们进而也知道，在频域中，系统的输出就等于输入的傅里叶变换与该系统的频率响应的乘积。如果再推广一步，我们更可以用单位采样响应的Z变换来描述线性移不变系统，因为从2.4节的讨论中我们不难得出以下的关系：由于)()()(nhnxny因此)()()(zHzXzY（2-39）同傅里叶变换相似，线性移不变系统输出的Z变换也等于输入及单位

50、采样响应的Z变换之积。系统的单位采样响应的Z变换通常被称作该系统的系统函数。而在单位圆（|z|=1）上表征的系统函数就是系统的频率响应。在第一章中我们也曾讨论过，系统稳定的充分和必要条件是单位采样响应h(n)绝对可和。可以想像，Z变换的收敛域实际上将由使h(n)z-n绝对可和的所有z值来定义。而且其收敛条件也有可能比h(n)绝对可和更宽。综上所述，我们可以清楚地看到，一个稳定系统的系统函数的收敛域应该包括单位圆。考虑到一个因果系统的系统函数的收敛域为Rx-|z|，所以对于实践中广泛用到的稳定的因果系统，其收敛域将是包括单位圆和单位圆之外的整个平面，也包括z=。或者也可以这么说，即一个稳定因果系