高等机构学第二章-高等机构学的数学基础课件.ppt

1、本章引言本章引言:一切问题可化为数学问题一切问题可化为数学问题,一切数学问题可化为代数问题一切数学问题可化为代数问题,一切代数问题可化为方程组的求解问题。一切代数问题可化为方程组的求解问题。_ R.Descartes_ R.Descartes一切机械运动都可用矩阵运算来描述一切机械运动都可用矩阵运算来描述,机构学是研究机构运动的科学机构学是研究机构运动的科学,矩阵运算是机构学的重要工具。矩阵运算是机构学的重要工具。第二章第二章 高等机构学的数学基础高等机构学的数学基础 机构学中的位置、位移、速度、加速度、角速度、机构学中的位置、位移、速度、加速度、角速度、角加速度、力等物理量，都可以用矢量表示

2、。由于矢角加速度、力等物理量，都可以用矢量表示。由于矢量可代表多个物理量，故本书中抽去其物理意义，把量可代表多个物理量，故本书中抽去其物理意义，把空间的有向线段看作矢量，就产生了经常使用的几何空间的有向线段看作矢量，就产生了经常使用的几何矢量的概念。矢量的概念。第一节第一节 矢量与其运算矢量与其运算如矢量如矢量A A在直角坐标系中的表示如下图在直角坐标系中的表示如下图可表示为可表示为 A=A=a ax x,a ay y,a az z B B矢量可用矢量可用 B=B=b bx x,b by y,b bz z 表示。表示。A(ax,ay,az)xyzoB(bx,by,bz)zzyyxxbababa

3、abBAcos,TzyxzyxaaaaaaA,TzyxzyxbbbbbbB矢量也可以用矩阵形式表达矢量也可以用矩阵形式表达,zyxaaaA 一、矢量运算一、矢量运算(1)(1)两个矢量的点积两个矢量的点积设矢量设矢量 ,zyxbbbB zzyyxxTTbababaABBA ABBABATT222zyxaaaAA 222zyxTaaaAA AAAAT.AAAAT若若A=BA=B BBBBT或或该方程说明该方程说明Aj点到点到A0之距相等，之距相等，j=1，2n，称为定杆，称为定杆长约束方程，是机构综合中的最常用方程。长约束方程，是机构综合中的最常用方程。222ozjzoyjyoxjxoTojaa

4、aaaaAAjAA,jzjyjxjaaaA,ozoyoxoaaaA 若矢量若矢量：令矢量令矢量 A=AA=Aj j-A-A0 0，代入，代入 AATAj(ajx,ajy,ajz)xyzo(a0 x,a0y,a0z)A0zyxzyxbbbaaakjiBA2 2、矢量的叉积矢量的叉积zyxzyxzyzbbbaaaaaaBA000该行列式的展开式与下列矩阵运算等值该行列式的展开式与下列矩阵运算等值 矢量的叉积也可以用矩阵方式表达，该方程也是机构综矢量的叉积也可以用矩阵方式表达，该方程也是机构综合中的常用方程（含有移动构件的机构综合）合中的常用方程（含有移动构件的机构综合）3 3、矢量常用运算、矢量常

5、用运算1)A1)AB=0 B=0 说明说明A A矢量垂直矢量垂直B B矢量矢量 （常用）（常用）2)A2)AB=0 B=0 说明说明A A矢量平行矢量平行B B矢量矢量 （常用）（常用）3)A3)A(B(BC)=(AC)=(AC)C)B-(AB-(AB)B)C C4)(A4)(AB)B)C=(CC=(CA)A)B-(CB-(CB)B)A A5)5)(A(AB)B)B=0B=06)6)A A(B(BC)=BC)=B(C(CA)=CA)=C(A(AB)=-AB)=-A(C(CB)B)上述矢量运算在角速度、角加速度的矢量运算中应用。上述矢量运算在角速度、角加速度的矢量运算中应用。jreR 4 4、矢

6、量的复数表示法、矢量的复数表示法jer r为矢量的模，为矢量的模，为幅角，表示矢量的方向。为幅角，表示矢量的方向。该矢量也可以用极坐标简化表示，该矢量也可以用极坐标简化表示，R R=rr。用复。用复数表示矢量时，其运算更加方便。数表示矢量时，其运算更加方便。由由EulerEuler公式可知公式可知：sincosjejEulerEuler公式是复数运算中的最基本公式公式是复数运算中的最基本公式jjej009090sin90cos0当幅角当幅角0902211221121sinsincoscosrrjrrRR212121jerrRR5 5、复数表示的矢量运算、复数表示的矢量运算212121jjere

7、rRR矢量加法矢量加法矢量乘法矢量乘法212121jjererRR2211221121sinsincoscosrrjrrRR矢量减法矢量减法212121jerrRRdtjdreerdtreddtdRjjj90jjererdtdR矢量除法矢量除法矢量微分矢量微分90jej jjjererdtdRcossinsincos221221yxyyxx第二节第二节 常用坐标变换常用坐标变换写成矩阵形式写成矩阵形式一、一、平面坐标变换平面坐标变换1 1、平面坐标旋转变换：、平面坐标旋转变换：P P点在坐标系中的旋转也可以看点在坐标系中的旋转也可以看 作点作点P P不动，坐标系旋转不动，坐标系旋转 角角，到达

8、，到达x x2 2O Oy y2 2P点坐标在两个坐标系中变点坐标在两个坐标系中变换关系为：换关系为：11000cossin0sincos12211yxyxy1x1y1x1y2Py2x2x2 Oy1x1Ox1P1(x1,y1)y1y2P2(x2,y2)x2 X y2、平面坐标平移变换、平面坐标平移变换yyyxxx1212点点P P由由P P1 1移动到移动到P P2 2，表达式为：，表达式为：写成矩阵形式写成矩阵形式1100100111122yxyxyx 二、常用空间坐标变换二、常用空间坐标变换1 1、坐标平移变换、坐标平移变换110001000100011111zyxzyxPPPzyxPPP

9、xx、yy、zz为沿坐标轴的移动量。为沿坐标轴的移动量。1001001yxD简写为：简写为：P=P=D Dp p 二维空间中二维空间中Z zyxP1(P1X,P1Y,P1Z)P(PX,PY,PZ)x2 2、共原点的坐标旋转变换、共原点的坐标旋转变换（1 1）绕）绕Z Z轴的旋转变换轴的旋转变换坐标系坐标系oxoxi iy yi iz zi i绕绕z zi i轴逆时针转过轴逆时针转过 角，到达角，到达oxoxj jy yj jz zj j位置位置jzijirRr 1000cossin0sincosijRxiyiziojxzjyj rp（2)2)绕绕 y y 轴转轴转角的旋转变化角的旋转变化jyi

10、jirRr cos0sin010sin0cosyijR r ri i及及r rj j为同一点为同一点p p在坐标系在坐标系oxoxi iy yi iz zi i和新系和新系oxoxj jy yj jz zj j中中 的坐标变换的坐标变换 xi iyi izi ioj jxzj jyj j r rp（3)3)绕绕X X轴旋转轴旋转 的坐标变换的坐标变换jxijirRrcossin0sincos0001xijRxiyiziojxzjyj rp（4)4)坐标系坐标系 i i先绕先绕Z Zi i转过转过 角角后到后到 k,k,再再 绕绕x xk k转转 角角jzxijjxkjzikirRrRRrjxk

11、jkkzikirRrrRr,xiyiziokxzjyk rp yj1000cossin0sincoszikRcossin0sincos0001xkjRcossin0cossincoscossinsinsinsincoscoszxijR jzxijirRr 上式中：上式中：坐标系坐标系 i i先绕先绕Z Zi i转过转过 角角，得到坐标系得到坐标系 k k,k k绕绕y yk k转过转过角后，角后，得到坐标系得到坐标系 L,L 绕绕X XL L转过转过 角，角，到到 j。（5)5)i i先绕先绕Z Z 转过转过 角，绕角，绕y y转转角，再绕角，再绕X X 转转 角。角。jxLjykLzikir

12、RRRrkzikirRr LykLkrRr jxLjLrRr jzyxijirRr1000cossin0sincoszikRcos0sin010sin0cosykLRcossin0sincos0001xLjRcoscossincossincossinsinsincossinsinsincoscossincossincossinsinsinsincoscossincoscossosRzyxij xyzzyxijRRRR（6)6)绕空间任意轴绕空间任意轴u u的旋转变化的旋转变化 绕绕u u轴转过轴转过 角的过程可按下述变换角的过程可按下述变换来实现。来实现。u u轴绕轴绕y y轴转过轴转过-，到

13、达，到达uu位位置。置。u u轴绕轴绕X X轴转过轴转过 角，到达角，到达uu位置，位置，uu与与Z Z重合。重合。u u轴绕轴绕Z Z轴转过轴转过 角。角。u u轴绕轴绕X X轴转回轴转回-角，返回角，返回uu位置。位置。u u轴绕轴绕y y轴转回轴转回角，返回角，返回u u原原位。位。设设u轴上单位向量为轴上单位向量为u u，在，在x,y,zx,y,z三个轴上三个轴上的投影为的投影为u ux x、u uy y、u uz z。-zyx（4）uzu uyuxU轴轴uu（3）（2）（1）（5）22yxuu yxzxyuRRRRRR为绕为绕u u轴转过轴转过 角的旋转矩阵。角的旋转矩阵。xR zR

14、xRyRuR 为绕为绕y y轴转过轴转过-角的旋转矩阵角的旋转矩阵。为绕为绕X X轴转过轴转过 角的旋转矩阵角的旋转矩阵。为绕为绕z z轴转过轴转过 角的旋转矩阵。角的旋转矩阵。为绕为绕x x轴转过轴转过-角的旋转矩阵。角的旋转矩阵。为绕为绕y y轴转过轴转过 角的旋转矩阵。角的旋转矩阵。yRcossinsinsincossinsinsincos222VuuVuuuVuuuVuuVuuVuuuVuuuVuuVuRzxzyyzxxzyxzyxyzxzyxxuyuVsin,cos1222222cos,cos,sinyxzzxzxxuuuuuuuujuirRr绕绕U U轴的坐标变换可表示为：轴的坐标

15、变换可表示为：uR为为 矩阵矩阵绕绕z z、y y、x x轴的变换可以看作绕轴的变换可以看作绕u u轴变换的特例轴变换的特例1,0,0zyxuuu当当u u与与z z轴重合时轴重合时,1000cossin0sincoszuRR当当u u与与z z轴重合时轴重合时,绕绕u轴的变换与绕轴的变换与绕z轴的变换轴的变换结果完全一致。结果完全一致。100zyxuuuxiyiziou当当u u轴与轴与y y轴重合时轴重合时0,1,0zyxuuuxiyiziou010zyxuuucos0sin010sin0cosyuRR当当u u与与y y轴重合时轴重合时,绕绕u轴的变换与绕轴的变换与绕y轴的变换轴的变换结

16、果完全一致。结果完全一致。将将0,1,0zyxuuu代入绕代入绕U轴的转动矩阵中轴的转动矩阵中:xiyiziou001zyxuuu0,0,1zyxuuu当当u u轴与轴与x x轴重合时轴重合时当当u u与与x x轴重合时轴重合时,绕绕u轴的变换与绕轴的变换与绕x轴的变换轴的变换结果完全一致。结果完全一致。0,0,1zyxuuu将将cossin0sincos0001xuRRuR代入代入上述坐标旋转变化都是通过坐标原点，当坐标系上述坐标旋转变化都是通过坐标原点，当坐标系 i i首先移动一距离，即坐标原点由首先移动一距离，即坐标原点由O Oi i到到O Oj j，然后以，然后以O Oj j 为为共原

17、点发生旋转变化。共原点发生旋转变化。3.3.空间不共原点的坐标变换空间不共原点的坐标变换坐标系坐标系 i i的原点为的原点为O Oi i，j j的的原点为原点为O Oj j,P P点在点在 i i中向量为中向量为r ri i，在，在 j j中向量中向量r rj j。R Rijij为方向余弦矩阵为方向余弦矩阵 ojijijirrRrxiyizioprjzjxjyjojriojirjijijijijijijijijiijzzyzxzzyyyxyzxyxxxRcoscoscoscoscoscoscoscoscos11000)cos()cos()cos()cos()cos()cos()cos()cos

18、()cos(1jjjjijijijijijijijijiiiizyxczzyzxzbxxyyxyazxyxxxzyx11jijirMrTjiojicbaoor,ziyixioi ix iy jxiy iz ojjyjzriprjyixiois1jxiy iz oja1 在不共原点的坐标变换中，经常用到以下情况在不共原点的坐标变换中，经常用到以下情况:j j中的中的X Xj j沿着沿着Z Zi i和和Z Zj j的公垂线方向的公垂线方向 设设Z Zi i和和Z Zj j之公垂线距离为之公垂线距离为a a1 1，X Xi i和和X Xi i之间距离为之间距离为S S1 1。i i到到 j j的变换

19、过程如下的变换过程如下 izi绕绕转转1ajojx沿沿移动移动 到到jxj绕绕转转到到jijirRr jx与与重合重合ix i沿沿Z Zi i平移平移S S1 1到到iziyixioi ix iy jxiy iz ojjyjzriprjyixiois1jxiy iz oja11000cossin0sinsincoscoscossincossinsincossincos111saaRijTjjjijTiiizyxRzyx1,1,jijirRr 改写改写为下式：为下式：Hartenberg-DenavitHartenberg-Denavit Matrix MatrixijR为著名的为著名的又称又称

20、 H-D H-D 变换变换第三节第三节 常用矩阵运算常用矩阵运算 (1)(1)平面刚体位移矩阵平面刚体位移矩阵 1.1.刚体位移矩阵刚体位移矩阵ppqRq11 11pqRpq刚体由位置刚体由位置 运动到位置运动到位置 ，其运动，其运动过程可以看作过程可以看作p p点的移动和绕点的移动和绕p p点的转动的合成。点的转动的合成。)(111qpE)(pqE1pq再平动到再平动到pq绕绕p转过转过角角,到达到达 11qpp1q1pqq1 xy0E1E11000cossin0sincos11111yyxxyyxxpqpqpqpq 100)cossin(cossin)sincos(sincos1111yx

21、yyxxppppppD写成分量形式写成分量形式:1100)cossin(cossin)sincos(sincos1111111yxyxyyxxyxqqppppppqq 100)cossin(cossin)sincos(sincos1111yxyyxxppppppD 100111pRpRDijj由位置由位置1 1到位置到位置j j的刚体位移矩阵可简写为的刚体位移矩阵可简写为空间刚体位移矩阵空间刚体位移矩阵11pqRpquppqRqu11111qDqu10001pRpRDuuuuD空间刚体位移矩阵空间刚体位移矩阵,为为4 4 4 4矩阵矩阵1100011111zyxuuzyxqqqpRpRqqq写

22、成分量形式：写成分量形式：空间刚体位移矩阵空间刚体位移矩阵刚体由位置刚体由位置运动运动 到位置到位置E E，可用刚体上可用刚体上的标线的标线p1q1和标线和标线pq pq 表示该刚体的运动。表示该刚体的运动。2.2.螺旋矩阵螺旋矩阵 平动到平动到 ，然后绕过，然后绕过 点的某个点的某个u轴转过轴转过 角度，到达角度，到达 。11qp1qppqpoyupq1q p1q1suzx11pqRpqu111)(pqRsupqu)(111suppqRquoyupq1q p1q1suzxsupp1u u为u轴上单位矢量轴上单位矢量 1000(11pRsupRRuuH称螺旋矩阵称螺旋矩阵 HR 1qRqH整理

23、并简化后整理并简化后1000(1pRpRRuuH110001111111111zyxzyxuzzyyxxuzyxqqqpppRsupsupsupRqqq写出其分量形式写出其分量形式有限螺旋位移矩阵为有限螺旋位移矩阵为4 44 4阶矩阵阶矩阵 3.3.数值位移矩阵数值位移矩阵 为解决这一矛盾，可对给定刚体上点的坐标值进为解决这一矛盾，可对给定刚体上点的坐标值进行数据处理，构成与行数据处理，构成与 等阶的数值位移矩阵等阶的数值位移矩阵，然后根据数值位移矩阵中的已知元素求出螺旋矩阵中然后根据数值位移矩阵中的已知元素求出螺旋矩阵中的运动参数。即求的运动参数。即求 uRxuyuzuxp1yp1zp1 螺

24、旋矩阵可方便地描述刚体的空间运动，但是，螺旋矩阵可方便地描述刚体的空间运动，但是，工程中给出的刚体运动参数通常不是螺旋运动参数，工程中给出的刚体运动参数通常不是螺旋运动参数，而是给出刚体上不共面的几个点的直角坐标值。而是给出刚体上不共面的几个点的直角坐标值。设刚体设刚体E E在坐标系在坐标系中作有限位移运动，刚体上中作有限位移运动，刚体上不共面的四个点不共面的四个点A A、B B、C C、D D可决定刚体在空间的位可决定刚体在空间的位置。刚体上置。刚体上A A、B B、C C、D D四个点与它们在前一个位置四个点与它们在前一个位置1 1的坐标关系，可利用刚体位移矩阵求解。的坐标关系，可利用刚体

25、位移矩阵求解。oyzxDCBAEA（Ax，Ay，Az）B（Bx，By，Bz）C（Cx，Cy，Cz）D（Dx，Dy，Dz）TzyxTzyxAAADAAA1,1,11112112ADA TzyxTzyxBBBDBBB1,1,11112112BDB TzyxTzyxCCCDCCC1,1,11112112CDC TzyxTzyxDDDDDDD1,1,11112112DDD 11111111111111111111zzzzyyyyxxxxzzzzyyyyxxxxDCBADCBADCBADDCBADCBADCBA 111111111111111111111zzzzyyyyxxxxzzzzyyyyxxxxD

26、CBADCBADCBADCBADCBADCBAD把上述四个方程写成矩阵形式，则有把上述四个方程写成矩阵形式，则有 44434241343332312423222114131211aaaaaaaaaaaaaaaaD把把A A、B B、C C、D D四点坐标值代入上式，可求数值位四点坐标值代入上式，可求数值位移矩阵移矩阵的各元素值。的各元素值。数值位移矩阵和螺旋矩阵均为数值位移矩阵和螺旋矩阵均为4 44 4阶矩阵，二矩阵阶矩阵，二矩阵均用来描述刚体的有限位移，当位移相同时，它们的矩均用来描述刚体的有限位移，当位移相同时，它们的矩阵元素必定对应相等。因此，可以按照已知数值的位移阵元素必定对应相等。因

27、此，可以按照已知数值的位移矩阵求解螺旋矩阵中的有关参数。矩阵求解螺旋矩阵中的有关参数。由数值位移矩阵求解螺旋矩阵的参数由数值位移矩阵求解螺旋矩阵的参数oyzxR1R 1RRR 角速度矩阵角速度矩阵 向量向量R R 的旋转可通过坐标旋转来实现的旋转可通过坐标旋转来实现。R可以是平面旋转矩阵，也可以是空间旋转矩阵可以是平面旋转矩阵，也可以是空间旋转矩阵 TRRRRR11 1RRR 由由 R为正交矩阵。为正交矩阵。11RRRRR 1RRRRRRT01R RWRRRRRT,向量向量R R 的位置变化可通过以下式来实现的位置变化可通过以下式来实现称角速度矩阵称角速度矩阵 TRRR 1 TRRRRR11由

28、于由于 cossinsincosR sincoscossinR cossinsincosTR对二维空间对二维空间 00TRRW对于三维空间，可以用对于三维空间，可以用 旋转矩阵代替旋转矩阵代替 RuR代入旋转运动矩阵方程，为求解方便，令：代入旋转运动矩阵方程，为求解方便，令：uuuuuQpppRsincos000 xyxzyzuuuuuuup222zzyzxzyyyxzxyxxuuuuuuuuuuuuuuuuQ uuQIpp100010001I，TRRW将三维空间的将三维空间的 R TR可求出空间角速度矩阵。可求出空间角速度矩阵。，代入其角速度矩阵：代入其角速度矩阵：uxyxzyzpuuuuu

29、uW000角加速度矩阵角加速度矩阵 RWR 对于二维空间：对于二维空间：22 W 1RRR 进行二次微分，可求解角加速度进行二次微分，可求解角加速度把旋转矩阵把旋转矩阵矩阵矩阵对于三维空间对于三维空间：22222222222)1()1()1(zxxzyyyzxxxzyyzzyxyyzxzzyxxuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuW微分位移矩阵微分位移矩阵 1RRR 1RWR 由前面已经讨论的刚体旋转矩阵由前面已经讨论的刚体旋转矩阵和角速度矩阵和角速度矩阵 ，写出刚体上任意点的关，写出刚体上任意点的关系式：系式：pWp qWq 设刚体上有一点设刚体上有一点 p 和另一点和另一

30、点 q，可按上述公式写出下式：，可按上述公式写出下式：整理上式，则有整理上式，则有 qpWqp pqpWq写成矩阵方程：写成矩阵方程：11001qVqpWpWq 00pWpWVV称之为速度矩阵称之为速度矩阵二维空间中，二维空间中，V为为33阶矩阵，三维空间中，阶矩阵，三维空间中，为为44阶矩阵。阶矩阵。加速度矩阵可从下式求出。加速度矩阵可从下式求出。pWp qWq qpWqp 11001qAqpWpWq 00pWpWA 为角加速度矩阵为角加速度矩阵A称之为加速度矩阵称之为加速度矩阵二维空间中，二维空间中，A为为33阶矩阵；三维空间中阶矩阵；三维空间中A为为44阶矩阵。阶矩阵。第三节第三节 非线

31、性方程的解法非线性方程的解法一、一、Newton-RaphsonNewton-Raphson 法法非线性方程组的基本形式为：非线性方程组的基本形式为：nixxxxfni,3,2,10),(321写成一般形式为：写成一般形式为：000),(),(),(32132123211nnnnxxxxfxxxxfxxxxf 为书写简便，也可记作为书写简便，也可记作:Tnixxxxxf,0)(21设该方程组的待求根为设该方程组的待求根为:Tnxxxx,21*假定在待求根假定在待求根 x x*附近任选一值附近任选一值x xk k，方程组的初值为，方程组的初值为x xk kTnkkkkxxxx,21则则x x*=

32、x xk k+，为误差矢量。为误差矢量。)(kixf趋近零，则有下式。趋近零，则有下式。nniiiikkixfxfxfxfxfxf332211)()(把方程把方程 在在 x xk k 处按处按TaylorTaylor级数展开，级数展开，并略去二阶偏导数及以后各项，使并略去二阶偏导数及以后各项，使:0)(xfi为误差矢量为误差矢量，Tn,21当当:0)()(*xfxfiki可获得一线性方程组可获得一线性方程组)(iiixfxf写出分量方式如下：写出分量方式如下：nnnnnnnnnfffxfxfxfxfxfxfxfxfxfxfxfxf.212132123222121312111简记为简记为:fJJ

33、 J称为称为JacobianJacobian矩阵。矩阵。当赋初值当赋初值kix时，即把赋定的初值时，即把赋定的初值 nkkkxxx,21分别代入上述方程中，可求出时方程右边的分别代入上述方程中，可求出时方程右边的if的值。的值。JacobianJacobian矩阵的各值，可通过对求偏导数获得。因此，矩阵的各值，可通过对求偏导数获得。因此，利用求解线性方程组的方法可求出校正矢量利用求解线性方程组的方法可求出校正矢量。令令 ，再代入方程组，又一次求出再代入方程组，又一次求出校正矢量校正矢量，反复进行多次，直到，反复进行多次，直到小于规定的数小于规定的数值，可求出该方程组的迭代近似解。值，可求出该方

34、程组的迭代近似解。kkxx1Nweton-RaphsonNweton-Raphson方法的的致命缺点是对初值的要求方法的的致命缺点是对初值的要求非常严格，如果取值不当，导致计算失败。另外，非常严格，如果取值不当，导致计算失败。另外，迭代过程中，必须计算雅可比矩阵，当函数迭代过程中，必须计算雅可比矩阵，当函数f f（x x）很复杂时，需要改善雅可比矩阵。很复杂时，需要改善雅可比矩阵。二、求解非线性方程组的其他解法简介二、求解非线性方程组的其他解法简介:1、Sylvester结式消元法简介结式消元法简介:)2(0.)1(0.012211012211bxbxbxbxbaxaxaxaxammmmmmn

35、nnnnn设有方程组设有方程组方程方程1 1两边乘两边乘xxxmm.,21方程方程2 2两边乘两边乘xxxn.,221得到得到m-1个方程个方程得到得到n-1个方程个方程联立求解，写成矩阵方程：联立求解，写成矩阵方程：00.321011011011011011011xxxxbbbbbbbbbbbbaaaaaaaaaaaanmnmnmmmmmmmnnnnnn可按齐次方程组解法求解变量可按齐次方程组解法求解变量xxxnmnm.,212、Dixon结式消元法简介结式消元法简介:在消元过程中，构造一个行列式在消元过程中，构造一个行列式)(),(),(fxfx0)(),(),(xfxfx当当x=时，时，

36、行列式的值恒为零。该行列式能被行列式的值恒为零。该行列式能被X-整除，可有下式：整除，可有下式：当当x取公共根时取公共根时，第一列为零，无论第一列为零，无论 取何值，取何值，该行该行列式值均为零。这样列式值均为零。这样 的的各级幂系数为零。各级幂系数为零。而而 的各的各级幂系数是关于级幂系数是关于x x的多项式方程，构成方形结式，称的多项式方程，构成方形结式，称Dixon结式。结式。3、Groebner法简介法简介:将非线性方程组的多项式环进行变量多项式排序将非线性方程组的多项式环进行变量多项式排序,进行约简和消元进行约简和消元,生成一个与原系统等价的标准基生成一个与原系统等价的标准基.4、同

37、伦连续法简介、同伦连续法简介:若方程组若方程组A的解已知的解已知,将其参数做微小变化将其参数做微小变化,则其则其解也做微小变化解也做微小变化;当方程组当方程组A A的参数变化为方程的参数变化为方程组组B B的参数时的参数时,其解也变化为方程组其解也变化为方程组B B的解的解.5 5、吴方法、吴方法利用逐次消元，得到一个高次方程并求解的过程。利用逐次消元，得到一个高次方程并求解的过程。第六节第六节 常微分方程的数值解法常微分方程的数值解法一、微分方程一、微分方程表示未知函数、未知函数的导数与其自变量关系表示未知函数、未知函数的导数与其自变量关系的方程，称之为微分方程。的方程，称之为微分方程。为一

38、阶微分方程为一阶微分方程为二阶微分方程。为二阶微分方程。如果方程中的未知函数仅含有一个自变量，称为常如果方程中的未知函数仅含有一个自变量，称为常微分方程微分方程0),(yyyxF0),(yyxF02 ayy如果方程中出现多元函数的偏导数，称为偏微分方程，如果方程中出现多元函数的偏导数，称为偏微分方程，如如 为偏微分方程。为偏微分方程。02222yzaxz常微分方程的一般式为：常微分方程的一般式为：0),.,(nyyyyxF)(.2211xfypypypynnnn在微分方程中在微分方程中若：若：npppp,.,321均为自变量均为自变量 x x 的函数，该方程的函数，该方程为线性微分方程为线性微

39、分方程f f(x x)=0)=0，称之为齐次线性微分方程。称之为齐次线性微分方程。f f(x x)0)0，称之为非齐次线性微分方程。称之为非齐次线性微分方程。称常系数非齐次线性方程。称常系数非齐次线性方程。oxfcpcpcpcpnn)(,.,332211oxfcpcpcpcpnn)(,.,332211称常系数齐次线性方程。称常系数齐次线性方程。机构学中出现的常微分方程中，一般有常系数线机构学中出现的常微分方程中，一般有常系数线性微分方程组和非线性微分方程组。性微分方程组和非线性微分方程组。对于非线性微分方程组，一般不易直接积分求解。对于非线性微分方程组，一般不易直接积分求解。常用常用Euler

40、Euler法和法和Runge-kutta-MersonRunge-kutta-Merson法。法。本节介绍本节介绍Runge-Kutta-MersonRunge-Kutta-Merson法法。二、二、Runge-Kutta-MersonRunge-Kutta-Merson法法设微分方程为设微分方程为ytfdxdyy,给定初值为给定初值为t=tt=t，y=yy=y，则可用四阶，则可用四阶Runge-KuttaRunge-Kutta法法直接写出求解公式：直接写出求解公式：432112261kkkkyyiiiiythfk,11221,21kyhthfkii2321,21kyhthfkii34,kyh

41、thfkii上述方程为上述方程为RungeRungeKuttaKutta法的古典形式，其中的法的古典形式，其中的h h为步长为步长 432113381kkkkyyiiiiythfk,11231,31kyhthfkii21331,32kkyhthfkii324,kkykthfkii上述方程为上述方程为Runge-KuttaRunge-Kutta法的法的KuttaKutta式式本节只对古典本节只对古典4 4阶阶Runge-KuttaRunge-Kutta法进行说明。法进行说明。例：用四阶例：用四阶Runge-KuttaRunge-Kutta法对下列微分方程进行数值求解。法对下列微分方程进行数值求解

42、。1)0(,ytyytfy 1000tyy 0 0 t t 0.50.5解：因解：因 t t 的范围为的范围为0 0 t t 0.50.5，取步长，取步长h h=0.1=0.1t t=0=0时，时，y y(0)=1,(0)=1,432112261kkkkyyii由由1.0(1.0,00001tyythfk11.0)05.005.1(1.021,2112kyhthfkii1105.0)05.0055.1(1.021,22003kyhthfk115.0)05.11.0(1.0,3004kyhthfk1104.112105.01105.0211.021.06101 yyt=0时，时，y(0)=1,1210.0)1.0110.1(1.0(1.0,11111tyythfk1321.021,211112kyhthfk1326.021,22113kyhthfk1433.0,3114kyhthfki=1时，时，t1=0.1,4321122261kkkkyy由由2429.12y1443.0)2429.12.0(1.0,221ythfk1565.021,211222kyhthfk1571.021,22223kyhthfk17000.0,3224kyhthfki=2时，时，t2=0.24321232261kkkkyy由由3998.13y同理可求同理可求y4本章完本章完