高等数学-极限与连续课件.pptx
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- 高等数学 极限 连续 课件
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1、1第二章 极限与连续第二章Advanced mathematics极限与连续高等数学2第二章 极限与连续内容导航第二章第二节 函数的极限定义与计算第三节 两个重要极限第四节 无穷小与无穷大第五节 函数的连续性及其性质第一节 数列的极限定义与计算3课 前 导 读3极限的概念是在求某些实际问题的精确解答而产生的.有许多某些实际问题的精确解,仅仅通过有限次的算术运算是求不出的,而需要通过考察一个无限变化过程的变化趋势而得到,由此产生了极限的理论与方法.我们这一节要介绍数列极限的定义,怎样用定义来证明极限,以及数列极限的计算方法.在正式介绍极限之前,需要回忆有关数列的相关知识.4第二章 极限与连续一、
2、数列的概念.数列的定义数列 :我们把这无穷多个数排成的序列称为数列,其中 称为数列的首项,称为数列的第 n 项,或称为数列的一般项(通项).nx123,nx x xx1xnx112131n,;1,;32313n1,;111n1,;2124311nnn(2)(1)(4)(3)5第二章 极限与连续一、数列的概念112131n,;1,;32313n1,;111n1,;2124311nnn(2)(1)(4)(3)它们的一般项依次为1n,13n,11n,11nnn.6第二章 极限与连续一、数列的概念在几何上,数列 可看作数轴上的一个动点,如图2-1所示,nx1x2x3xnx它依次取数轴上的点 ,x3x2
3、x1x4x5x6xnx图2-1按函数的定义,数列 可看作自变量为正整数 的函数,即 ,它的定义域是全体正整数,当自变量 依次取 时,对应的函数值就排列成数列 .nxn nxf nn1,2,3,nx7第二章 极限与连续练习一、数列的概念8第二章 极限与连续一、数列的概念2.等差与等比数列9第二章 极限与连续一、数列的概念2.等差与等比数列10第二章 极限与连续一、数列的概念2.等差与等比数列11第二章 极限与连续练习一、数列的概念12第二章 极限与连续一、数列的概念例解2311117(123)102222nnSnn 11122(1)7101212nn nn17(1)110.22nn nn 13第
4、二章 极限与连续二、数列极限的概念一尺之棰,日取其半,万世不竭.庄子 天下篇一尺长的木棍,每天截掉一半,每天截取的长度按照天数可排成一个数列:.数列极限的引入数列的通项为 ,12n 当 无限增大(记作 ,读作 趋于无穷大)时,nn n 12n在数学上称这个确定的数 0 是数列 当 时的极限.12nn 无限接近一个确定的数0.14第二章 极限与连续()给定一个数列后,该数列的变化趋势如何?随着 的无限增大,能否无限接近某个常数?()如果能无限接近某个确定的数,则该常数是多少?nnx现在我们所关心的问题是:二、数列极限的概念15第二章 极限与连续 数列()的一般项 将无限接近于常数1.11111n
5、nnnxnn 可以看出,在前面所列的4 个数列中,当 时,n 数列()的一般项 将无限接近于常数0.1nxn 而数列()的一般项 却在无限增大,它不接近于任何确定的数值.13nnx 数列()的一般项 始终交替地取值为1 和-1,不接近于任何确定的数值.11nnx 据此,我们可以认为,数列()和()是“有极限”的,而数列()和()是“无极限”的.112131n,;1,;32313n1,;111n1,;2124311nnn(2)(1)(4)(3)二、数列极限的概念16第二章 极限与连续 从上述各例观察可以看到,数列的一般项变化趋势有两种情况:无限接近于某个确定的常数和不接近于任何确定的常数.这样就
6、可以得到数列的描述性定义.如果当数列 的项数 无限增大时,nx n 它的一般项 无限接近于一个确定的常数 ,nxa记作 或limnnxa()nxa n 则称 为数列 的极限.a nx此时也称数列 收敛于 ,nxa例如,.11lim1nnnn 二、数列极限的概念17第二章 极限与连续 如果当数列 的项数 无限增大时,nxn 它的一般项 不接近于任何确定的常数,则称数列 没有极限,或称数列 发散,nx nx nx 习惯上记作 不存在.例如,不存在.limnnx1lim1nn 例如 .1lim3nn 当数列 的项数 无限增大时,如果 也无限增大,nxnnx 则数列 没有极限.nx此时,习惯上也称数列
7、 的极限是无穷大,nx记作 .,limnnx 二、数列极限的概念18第二章 极限与连续练习二、数列极限的概念19第二章 极限与连续在上述极限的描述性定义中,我们都是用“无限增大”和“无限接近”来描述极限概念的.为了给极限一个精确的定义,关键是要给予“无限增大”和“无限接近”以定量的刻画.一般来说,两个数 a、b 的接近程度可用 b-a 来度量.11111nnnnxnn 我们以数列 为例.二、数列极限的概念20第二章 极限与连续考虑 ,显然,越大,就越“接近”1.1111nnxnnnnx 只要 足够大,就可以小于任何给定的正数.n10001x10002x1110000nx 这时 ,均能使不等式
8、成立.11100nx 11100n100n 如果要求 ,即 ,只要 ,101x102x11100nx 这时 ,均能使不等式 成立.1110000nx 同样,如果要求 ,1110000n10000n 即 ,只要 ,二、数列极限的概念这个数1 就是 的极限.nx一般地,不论给定的正数 多么小,N总存在一个正整数 ,nNn 使得对于 时的一切 ,1nx不等式 均成立,11nnnxn n 这就是数列 当 时无限“接近”于1 的精确刻画,21第二章 极限与连续若在数轴上标出 ,及 ,1x2xnxa下面给出“数列 的极限为 ”的几何解释.nxa再作 的 邻域 (见图),a,aa就会发现,当 时,点 均落在
9、 内,至多有有限个(个)落在 外.nN nx,aaN,aaa-2a+2x1xa图二、数列极限的概念22第二章 极限与连续例2已知 ,证明 .110nnx lim0nnx证明二、数列极限的概念23第二章 极限与连续例2已知 ,证明 .110nnx lim0nnx证明二、数列极限的概念24第二章 极限与连续练习二、数列极限的概念25第二章 极限与连续三、数列极限的计算 极限的定义只能用来验证极限,而不能计算数列的极限,所以下面给出数列极限的运算法则.定理(数列极限的运算法则)若 ,则limnnxalimnnyb ;(加减法则)limlimlimnnnnnnnxyxyab(1);(乘法法则)(2)l
10、imlimlimnnnnnnnxyxya b ;(交换法则)(3)limlim(0,0)nnnnnxxa xa ;(除法法则)(4)limlimlim0limnnnnnnnnnxxaybyyb26第二章 极限与连续三、数列极限的计算例3求下列函数的极限:(1)(3)(5)(2)(4)(6)2247lim3nnn2123.limnnn 1limnnn1111lim.1 22 33 4(1)nnnlim1nnn 21111lim 1.333nn27第二章 极限与连续三、数列极限的计算解2247=lim31nnn()将分子、分母同时除以 ,则有2n2247lim3nnn07=1 07(1)2247l
11、im3nnn题28第二章 极限与连续三、数列极限的计算(2)利用等差数列求和公式,可得2123.limnnn 2(1)2limnn nn2(1)1lim22nn nn解(2)2123.limnnn 题29第二章 极限与连续三、数列极限的计算解(3)1=lim 1nn1limnnn(3)1limnnn题利用数列的交换法则,可得1 0130第二章 极限与连续(4)三、数列极限的计算题1111111lim1.223341nnn1111lim.1 22 33 4(1)nnn(4)1111lim.1 22 33 4(1)nnn解1lim 11nn31第二章 极限与连续三、数列极限的计算解(5)lim1n
12、nn 11lim1nnnnnnn (5)lim1nnn 题先将分子有理化,再利用数列极限的运算法则,可得1lim01nnn 32第二章 极限与连续三、数列极限的计算题11 13lim113nn21111lim 1.333nn(6)21111lim 1.333nn(6)解利用等比数列求和公式,可得313lim 1232nn33第二章 极限与连续练习三、数列极限的计算34第二章 极限与连续四、数列极限的性质定理2(极限的唯一性)数列 不能收敛于两个不同的极限.nx定理 3(收敛数列的有界性)如果数列 收敛,则该数列一定有界.nx如果数列无界,则其一定发散;1n1nx 数列 有界 ,但发散.如果数列
13、有界,则其未必收敛.数列 有界是指存在 ,使一切 满足 .nx0M nxnxM35第二章 极限与连续四、数列极限的性质定理 4(收敛数列的保号性)如果 且 (或 ),则存在 ,当 时,均有 (或 ).()nxa n 0a 0a 0N nN0nx 0nx 推论如果 满足:,当 时,(或 ),且 ,则 (或 ).nx10N1nN0nx 0nx limnnxa0a 0a 36第二章 极限与连续练习四、数列极限的性质37第二章 极限与连续内容导航第二章第一节 数列的极限定义与计算第三节 两个重要极限第四节 无穷小与无穷大第五节 函数的连续性及其性质第二节 函数的极限定义与计算38课 前 导 读38 这
14、一节介绍函数极限的定义.在前一节,我们探讨了数列的极限.数列的通项可以看成一类特殊的函数 ,()nxf n 本节将介绍自变量趋于无穷大()和自变量趋于固定值()时的两种函数的极限.x 0 xx 那么数列极限就变成了 ,这里 .limlim()nnnxf naZnxRlim()xf xa 如果我们把函数的定义域扩充到 ,那么就变成了函数的极限 .39第二章 极限与连续一、自变量趋于无穷大时的极限自变量趋于无穷大,包括三种情况:且 无限增大,则记作 ;且 无限增大,则记作 ;如果 既可以取正值,又可以取负值且 无限增大,则记作 .我们先观察函数 ,和 的图像.0 x xx 0 x xx xxx 1
15、yxarctanyx对于函数 的图像(见图2-2),1yxy1O1x(1,1)y1xyxO1arctanyx 无限增大时,曲线无限接近于 x 轴,即 .xarctanyx对于 函数的图像(见图2-3),arctanyx当 且 无限增大时,曲线无限接近于0 x x直线 ,而当 且 无限增大时,曲线无限接近于直线 .2y 0 x x2y 图2-2图2-340第二章 极限与连续一、自变量趋于无穷大时的极限 一般地,我们假设函数 在 (为某一正数)时有定义,f xxXX ,或 .limxf xA()f xA x 定义 如果在 过程中,对应的函数值 无限接近确定的常数 ,x f xA 则称 为函数 当
16、时的极限,也称函数 收敛于A.记作A f xx f x41第二章 极限与连续一、自变量趋于无穷大时的极限 定义2 42第二章 极限与连续练习一、自变量趋于无穷大时的极限43第二章 极限与连续一、自变量趋于无穷大时的极限 定义344第二章 极限与连续一、自变量趋于无穷大时的极限下面看一下极限 的几何解释.limxf xA对任意给定的 ,作直线 及 ,0yAyA总存在 ,0X 当 时,的图形必位于这两直线之间.xX yf x-XoXxyA yf x45第二章 极限与连续一、自变量趋于无穷大时的极限显然可以得到下面的结论.定理 且 .limlimxxf xAf xA limxf xA注一般地,如果
17、或 ,limxf xA limxf xA同理,不存在,因为 .limarctanxxlim arctan2xx2y 很容易看出,.111limlimlim0 xxxxxx直线 称为函数 图形的水平渐近线.0y 1yx2y arctanyx直线 和 称为函数 图形的水平渐近线.那么称直线 为函数 图形的水平渐近线.yA yf x46第二章 极限与连续练习47第二章 极限与连续二、自变量趋于有限值时的极限我们先看两个实例,再给出当 (为有限值)时函数极限的定义.0 xx0 x()1f xx()1f xx()1f xx()1f xx()1f xx()1f xx x11O-12x1O-112图2-4图
18、2-548第二章 极限与连续二、自变量趋于有限值时的极限0 xx f xAA f x0 xx综上所述,得到 时函数极限的定义.0 xx49第二章 极限与连续二、自变量趋于有限值时的极限综上所述,得到 时函数极限的定义.0 xx定义2或 .0limxxf xA 0()f xA xx记作 f x0 x设函数 在点 的某一去心邻域内有定义,A则称 为函数 f x0 xx在 时函数的极限,50第二章 极限与连续二、自变量趋于有限值时的极限的几何解释如下.0limxxf xA任意给定一正数 ,作平行于 轴的两直线:及 .存在 ,当 时,曲线 位于两条直线 及 之间.xyAyA0000,xxxxx f x
19、yAyAxOA函数极限的几何解释(趋于定点)51第二章 极限与连续例1解;lim)1(00 xxxx 0(2)lim().xxCC C为为常常数数(1)当自变量x趋于0 x时,xy 也趋于,0 x故;lim00 xxxx(2)当自变量x趋于0 x时,Cy 取相同的值,C故.lim0CCxx 二、自变量趋于有限值时的极限52第二章 极限与连续练习二、自变量趋于有限值时的极限53第二章 极限与连续二、自变量趋于有限值时的极限54第二章 极限与连续练习二、自变量趋于有限值时的极限55第二章 极限与连续二、自变量趋于有限值时的极限上述 中的“”是指 可以取 左侧的点()而趋于 ,也可以取 右侧的点()
20、而趋于 .有时我们只需考虑 从 的一侧(左侧或右侧)趋于 ,这时就需要将上述情况分别讨论.0limxxf xA0 xxx0 x0 xx0 x0 x0 xx0 xx0 x0 x如果 仅从 的左侧趋于 (记作 )时,趋于 ,则称 为 在 时的左极限,记作 .x0 x0 x f xAA f x0 xx0 xx 0000limlimxxxxx xfxfxfxA如果 仅从 的右侧趋于 (记作 )时,趋于 ,则称 为 在 时的右极限,记作 .x0 x0 x0 xx f xAA f x0 xx 0000limlimxxxxx xfxfxfxA显然有 .因此如果 、中有一个不存在,或两个虽存在但不相等,则 不
21、存在.000limxxfxAfxfxA0fx0fx 0limxxf x56第二章 极限与连续二、自变量趋于有限值时的极限例如,函数 1,00,01,0 xxf xxxx由于 ,000lim()lim11xxff xxyy=x-1y=x+1-1-111xO则 不存在(见图2-6所示);0limxf x图2-6000lim()lim11xxff xx,00limlim1xxxxxx,0limxxx再比如,不存在,因为00limlim1xxxxxx.57第二章 极限与连续二、自变量趋于有限值时的极限例 2设,0,10,)(xxxxxf求).(lim0 xfx解因为)(lim0 xfx)1(lim0
22、xx,1)(lim0 xfx xx 0lim.0 即有)(lim0 xfx ),(lim0 xfx 所以)(lim0 xfx不存在.58第二章 极限与连续二、自变量趋于有限值时的极限例3解设,010,1)(2 xxxxxf求).(lim0 xfx0 x是函数的分段点,1)1(lim)(lim00 xxfxx.1)1(lim)(lim200 xxfxx故左右极限存在且相等,故.1)(lim0 xfx59第二章 极限与连续练习二、自变量趋于有限值时的极限60第二章 极限与连续三、函数极限的计算方法极限的定义只能用来验证函数的已知极限,那么如何计算(求)函数的极限呢?要讨论极限的求法,首先要建立相关
23、的一些运算规则,比如极限的四则运算法则、复合函数的极限运算法则等.61第二章 极限与连续三、函数极限的计算方法定理 (函数极限的四则运算法则)设 ,则 0limxxf xA 0limxxg xB(1)000limlimlimxxxxxxfxg xABfxg x 000limlimlimxxxxxxfxg xA Bfxg x 000limlim(0)limxxxxxxf xf xABg xBg x(2)(3)62第二章 极限与连续三、函数极限的计算方法推论若 ,存在,则 0limxxf x 0limxxg x上述极限中将“”改为“”,结论仍然成立.(证明过程有所差别)0 xxx(1)(2)(3)
24、;000limlimlimxxxxxxfxg xfxg x 00limlim()nnxxxxf xf xnZ若 ,则 .0fx 00limlimxxxxf xf x;63第二章 极限与连续三、函数极限的计算方法按照四则运算法则,计算下列极限.(1)1lim 21xx3221lim53xxxx3232342lim753xxxxx(3)(2)2 13 112limlim1xxx8 174 1033 3222222limlim1lim5lim3lim1xxxxxxxx3733423lim537xxxxx例4解64第二章 极限与连续三、函数极限的计算方法注 (1)设 ,则 12012nnnnnP xa
25、 xa xa xa 0012012limlimnnnnnxxxxPxa xa xa xa000012012limlimlimlim1nnnnxxxxxxxxaxaxaxa120010200nnnnna xa xa xaP x65第二章 极限与连续三、函数极限的计算方法(2)设 ,其中 、为多项式,则 nmPxf xQx nP x mQx 000limlimlimnxxxxmxxP xf xQx000nmP xf xQx66第二章 极限与连续练习67第二章 极限与连续三、函数极限的计算方法例 5求 .321lim221xxxx解 因为 ,即分母的极限为零,所以不能直接应用极限运算法则.221li
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