高等数学在数学建模中的应用举例课件.ppt
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- 高等数学 数学 建模 中的 应用 举例 课件
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1、 高等数学是现代各科知识的理论基础,在数高等数学是现代各科知识的理论基础,在数 学建模中有广泛的应用,极限、连续和积分学建模中有广泛的应用,极限、连续和积分等数学思想是建立数学模型的基本思想,抽等数学思想是建立数学模型的基本思想,抽象思维和逻辑思维能力是数学建模必备的能力。象思维和逻辑思维能力是数学建模必备的能力。在教学中,融入数学建模思想和方法,让学生在教学中,融入数学建模思想和方法,让学生养成数学建模的习惯。养成数学建模的习惯。暑假组织学生参加全国大学生数学建模竞赛,暑假组织学生参加全国大学生数学建模竞赛,培养他们建立数学模型和解决数学模型的能力。培养他们建立数学模型和解决数学模型的能力。
2、高等数学在数学建高等数学在数学建模中的应用举例模中的应用举例某航空母舰派其护卫舰去搜寻其跳伞的飞某航空母舰派其护卫舰去搜寻其跳伞的飞 行行员,护卫舰找到飞行员后,航母通知它尽快员,护卫舰找到飞行员后,航母通知它尽快 返回与其汇合并通报了航母当前的航速与方返回与其汇合并通报了航母当前的航速与方 向,问护卫舰应怎样航行,才能与航母汇合。向,问护卫舰应怎样航行,才能与航母汇合。例例1 舰舰艇的会合艇的会合12,11222aabrbaah令:令:则上式可简记成则上式可简记成:222rh-yx)(A(0,b)XYB(0,-b)P(x,y)O航母航母 护卫舰护卫舰 1 2)()(22222b-yx a b
3、yx即:即:22222222)1(411ababaayx可化为:可化为:记记v2/v1=a通常通常a1 222|AP|a|BP|则则汇合点汇合点 p必位于此圆上。必位于此圆上。bxy)(tan1(护卫舰的路线方程)(护卫舰的路线方程)bxy)(tan2(航母的路线方程(航母的路线方程)即可求出即可求出P点的坐标和点的坐标和2 的值。的值。本模型虽简单,但分析本模型虽简单,但分析极极清晰清晰且且易于实际应用易于实际应用 例例2 双层玻璃的功效双层玻璃的功效在寒冷的北方,在寒冷的北方,许多住房的许多住房的 玻璃窗都是双层玻璃窗都是双层玻璃的,现在我们来建立一个简单玻璃的,现在我们来建立一个简单 的
4、数学模的数学模型,研究一下双层玻璃到底有多型,研究一下双层玻璃到底有多 大的功效。大的功效。比较两座其他条件完全相同的房屋,它们比较两座其他条件完全相同的房屋,它们 的的差异仅仅在窗户不同。差异仅仅在窗户不同。不妨可以提出以下不妨可以提出以下 假设假设:1、设室内热量的流失是热传导、设室内热量的流失是热传导引起的,不存在户内外的空气对引起的,不存在户内外的空气对流。流。2、室内温、室内温 度度T1与户外温与户外温 度度T2均均为常数。为常数。3、玻璃是均匀的,热传导系数、玻璃是均匀的,热传导系数为常数。为常数。设玻璃的热传导系数设玻璃的热传导系数 为为k1,空气的,空气的热传导系数热传导系数
5、为为k2,单位时间通过单,单位时间通过单位面积由温度高的一侧流向温度低位面积由温度高的一侧流向温度低的一侧的热量为的一侧的热量为 ddl室室外外T2室室内内T1TaTb由热传导公式由热传导公式 =kT/d dTTklTTkdTTkbbaa21211)/()(21212121dklkTTdklkTa解得:解得:dklkdTTkddklkTTdklkTk212112121211122)1(此函数的图形为此函数的图形为dd室室外外T2室室内内T1dTTk2211)/()(2221dklk类似有类似有 321621kk一般一般dl/811故故记记h=l/d并令并令f(h)=181h0123456789
6、1000.10.20.30.40.50.60.70.80.91hf(h)考虑到考虑到美观美观和使用上和使用上 的的方便方便,h不必取得过大,例如,可不必取得过大,例如,可 取取h=3,即,即l=3d,此时房屋热量的损失不超过单层玻璃窗,此时房屋热量的损失不超过单层玻璃窗时的时的 3%。例例3 崖高的估算崖高的估算假如你站在崖顶且身上带着一只具有跑表功假如你站在崖顶且身上带着一只具有跑表功 能的计算器,你也许会出于好奇心想用扔下能的计算器,你也许会出于好奇心想用扔下 一块石头听回声的方法来估计山崖的高度,一块石头听回声的方法来估计山崖的高度,假定你能准确地测定时间,你又怎样来推算假定你能准确地测
7、定时间,你又怎样来推算 山崖的高度呢,请你分析一下这一问题。山崖的高度呢,请你分析一下这一问题。我有一只具有跑我有一只具有跑 表功能的计算器。表功能的计算器。方法一方法一假定空气阻力不计,可以直接利用自由落体运动的公式假定空气阻力不计,可以直接利用自由落体运动的公式来计算。例如,来计算。例如,设设t=4秒,秒,g=9.81米米/秒秒2,则可求得,则可求得h78.5米。米。221gth 我学过微积分,我可以做我学过微积分,我可以做 得更好,呵呵。得更好,呵呵。vKmgdtdvmF除去地球吸引力外,对石块下落影响最大的当除去地球吸引力外,对石块下落影响最大的当 属属空气阻空气阻力力。根据流体力学知
8、识,此时可设空气阻力正比于石块下。根据流体力学知识,此时可设空气阻力正比于石块下落的速度,阻力系落的速度,阻力系 数数K为常数,因而,由牛顿第二定律可为常数,因而,由牛顿第二定律可得:得:kgcevkt令令k=K/m,解得解得 代入初始条件代入初始条件 v(0)=0,得,得c=g/k,故有,故有 ktekgkgv再积分一次,得:再积分一次,得:cekgtkghkt2若设若设k=0.05并仍设并仍设 t=4秒,则可求秒,则可求 得得h73.6米。米。听到回声再按跑表,计算得到的时间中包含了听到回声再按跑表,计算得到的时间中包含了 反应时间反应时间 不妨设不妨设平均反应时间平均反应时间 为为0.1
9、秒秒,假如仍,假如仍 设设t=4秒,扣除反秒,扣除反应时间后应应时间后应 为为3.9秒,代入秒,代入 式式,求得,求得h69.9米。米。222)1(kgektkgkgekgtkghktkt多测几次,取平均多测几次,取平均值值代入初始条代入初始条 件件h(0)=0,得到计算山崖高度的公式:,得到计算山崖高度的公式:将将e-kt用泰勒公式展开并用泰勒公式展开并 令令k 0+,即可,即可得出前面不考虑空气阻力时的结果。得出前面不考虑空气阻力时的结果。还应考虑还应考虑回声回声传回来所需要的时间。为此,令石块下落传回来所需要的时间。为此,令石块下落 的真正时间的真正时间 为为t1,声音传回来的时间记,声
10、音传回来的时间记 为为t2,还得解一个,还得解一个方程组:方程组:933401212211.ttthkg)ekt(kghkt这一方程组是这一方程组是非线性非线性的,求的,求解不太容易,解不太容易,为了估算崖高为了估算崖高竟要去解一个竟要去解一个非线性主程组非线性主程组似乎不合情理似乎不合情理 相对于石块速度,声音速度要快得多,我们可相对于石块速度,声音速度要快得多,我们可 用方法二先求一次用方法二先求一次 h,令,令t2=h/340,校正,校正t,求石,求石块下落时间块下落时间 t1t-t2将将t1代入式代入式再算一次,得出再算一次,得出崖高的近似值。例如,崖高的近似值。例如,若若h=69.9
11、米,则米,则 t20.21秒,故秒,故 t13.69秒,求得秒,求得 h62.3米。米。例例4 录像带还能录多长时间录像带还能录多长时间录像机上有一个四位计数器,一盘录像机上有一个四位计数器,一盘 180分钟分钟的录像带在开始计数时为的录像带在开始计数时为 0000,到结束时计,到结束时计数为数为1849,实际走时为,实际走时为185分分20秒。我们从秒。我们从0084观察到观察到0147共用时间共用时间3分分21秒。若录像秒。若录像机目前的计数为机目前的计数为1428,问是否还能录下一个,问是否还能录下一个 60分钟的节目?分钟的节目?rRl由由vt)r(R22得到得到212rvtR又又 因
12、和因和 得得 Rl tvl tRv积分得到积分得到tdt)rvtv(d02120rrvt2rvt2t2212021)()(即即从而有从而有rrvtn212)(12我们希望建立一个录像带已录像时我们希望建立一个录像带已录像时 间间t与计数器计与计数器计 数数n之间的函数关系。为建立一个正确的模型,首之间的函数关系。为建立一个正确的模型,首 先必先必须搞清哪些量是常量,哪些量是变量。首先,录像须搞清哪些量是常量,哪些量是变量。首先,录像 带带的磁带的厚的磁带的厚 度是度是 常量,它被绕在一个半径常量,它被绕在一个半径 为为r的园的园盘上,见图。磁带转动中的线速盘上,见图。磁带转动中的线速 度度v显
13、然也是常数,显然也是常数,否则图象声音必然会失真。此外,计数器的读否则图象声音必然会失真。此外,计数器的读 数数n与与转过的圈数有关,从而与转过的角转过的圈数有关,从而与转过的角 度度成正比。成正比。rRlrrvtn212)(12 此式中的三个参数此式中的三个参数、v和和r均不易精确测得,均不易精确测得,虽然我们可以从上式解出虽然我们可以从上式解出t与与n的函数关系,的函数关系,但效果不佳,故令但效果不佳,故令 则可将上式简化为:则可将上式简化为:v v/r2tn故故nnnt21222令令21a b2上式又可化简记成上式又可化简记成 t=an2+bn t=an2+bn rRl上式以上式以a、b
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