2019年高考数学一轮复习第8章平面解析几何重点强化课4直线与圆学案（文科）北师大版.doc

1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 重点强化课 (四 ) 直线与圆 (对应学生用书第 119 页 ) 复习导读 1.本部分的主要内容是直线方程和两条直线的位置关系、圆的方程、直线与圆的位置关系 .2.高考对本部分的考查主要涉及直线的倾斜角与斜率的关系、两直线的位置关系的判断，距离公式的应用、圆的方程的求法以及直线与圆的位置关系，常与向量、椭圆、双曲线、抛物线的几何性质相结合考查 .3.另外，应认真体会数形结合思想的应用，充分利用直线、圆的几何性质简化运算 重点 1 直线方程与两直线的位置关系 (1)(2018 武汉模拟 )已知直线 l 将圆 C： x2 y2 x 2y 1 0 平分，且与直线 x

2、2y 3 0 垂直，则直线 l 的方程为 _ (2)若三条直线 l1： 3x my 1 0， l2： 3x 2y 5 0， l3： 6x y 5 0 不能围成三角形，则 m 的取值集合为 _. 【导学号： 00090282】 (1)2x y 2 0 (2) 2， 12， 2 (1)圆 C： ? ?x 12 2 (y 1)2 14，由题意知圆心 ? ? 12， 1在直线 l 上，因为直线 l 与直线 x 2y 3 0 垂直，所以设直线 l 的方程为 2x y c 0，把 ? ? 12， 1 代入得 2 ? ? 12 1 c 0，解得 c 2，所以直线 l 的方程为 2x y 2 0. (2)当

3、m 0 时，直线 l1， l2， l3可以围成三角形，要使直线 l1， l2， l3不能围成三角形，则 m0. 记 l1， l2， l3三条直线的斜率分别为 k1， k2， k3， 则 k1 3m， k2 32， k3 6. 若 l1 l2，或 l1 l3，则 k1 k2 32，或 k1 k3 6，解得 m 2 或 m 12； 若三条直线交于一点，由? 3x 2y 5 0，6x y 5 0 得 ? x 1，y 1， l2与 l3交 于点 (1， 1)，将点 (1， 1)代入 3x my 1 0，得 m 2.所以当 m 2 或 12时， l1， l2， l3不能围成三角形 规律方法 1.直线过定

4、点问题，可将直线中的参数赋值，解方程组得交点坐标 2直线方程常与直线垂直、平行、距离等知识交汇考查，考查直线方程的求法以及直线间的位置关系等注意数形结合思想、分类讨论思想的应用 对点训练 1 (2017 福建龙岩二模 )已知 m， n 为正数，且直线 2x (n 1)y 2 0 与直线 mx ny 3 0 互相平行，则 2m n 的最小值为 ( ) A 7 B 9 =【 ;精品教育资源文库 】 = C 11 D 16 B 直线 2x (n 1)y 2 0 与直线 mx ny 3 0 互相平行， 2n m(n 1)， m 2n mn，得 2m 1n 1. 又 m0， n0， 2m n (2m n

5、)? ?2m 1n 5 2nm 2mn 5 2 2nm 2mn 9.当且仅当 2nm 2mn时取等号 2m n 的最小值为 9. 重点 2 圆的方程 (1)若圆 x2 y2 ax 2y 1 0 与圆 x2 y2 1 关于直线 y x 1 对称，过点 C( a，a)的圆 P 与 y 轴相切，则圆心 P 的轨迹方程为 ( ) A y2 4x 4y 8 0 B y2 2x 2y 2 0 C y2 4x 4y 8 0 D y2 2x y 1 0 (2)(2015 全国卷 )过三点 A(1,3)， B(4,2)， C(1， 7)的圆交 y 轴于 M， N 两点，则 |MN| ( ) A 2 6 B 8

6、C 4 6 D 10 (1)C (2)C (1)由圆 x2 y2 ax 2y 1 0 与圆 x2 y2 1 关于直线 y x 1 对称，可知两圆半径相等且两圆圆心连线的中点在直线 y x 1 上，故可得 a 2，即点 C( 2,2) 过点 C( 2,2)且与 y 轴相切的圆的圆心的轨迹方程为 (x 2)2 (y 2)2 x2，整理得 y2 4x 4y 8 0. (2)设圆的方程为 x2 y2 Dx Ey F 0， 则? D 3E F 10 0，4D 2E F 20 0，D 7E F 50 0，解得? D 2，E 4，F 20. 圆的方程为 x2 y2 2x 4y 20 0.令 x 0，得 y

7、2 2 6或 y 2 2 6， M(0， 2 2 6)， N(0， 2 2 6)或 M(0， 2 2 6)， N(0， 2 2 6)， |MN| 4 6. 规律方法 求圆的方程时，应根据条件选用合适的圆的方程形式一般来说，求圆的方程有两种方法： (1)几何法，通过研究圆的性质进而求出圆的基本量确定圆的方程时，常用到的圆的三个性质： 圆心在过切点且垂直切线的直线上； 圆心在任一弦的中垂线上； 两圆内切或外切时，切点与两圆圆心三点共线 (2)代数法，即设出圆的方程，用待定系数法求解 对点训练 2 (2017 河北唐山二模 )直线 l： x4 y3 1 与 x 轴、 y 轴分别相交 于点 A， B，

8、 O=【 ;精品教育资源文库 】 = 为坐标原点，则 OAB 内切圆的方程为 _ (x 1)2 (y 1)2 1 由题意，设 OAB 的内切圆的圆心为 M(m， m)，则半径为 |m|. 直线 l 的方程 x4 y3 1 可化为 3x 4y 12 0， 由题意可得 |3m 4m 12|32 42 |m|，解得 m 1 或 m 6(不符合题意，舍去 ) OAB 内切圆的方程为 (x 1)2 (y 1)2 1. 重点 3 直线与圆的综合问题 角度 1 圆的切线 如图 1，已知圆 C 与 x 轴相切于点 T(1,0)，与 y 轴正半轴交于两点 A， B(B 在 A的上方 )，且 |AB| 2. (1

9、)圆 C 的标准方程为 _； (2)圆 C 在点 B 处的切线在 x 轴上的截距为 _ 图 1 (1)(x 1)2 (y 2)2 2 (2) 2 1 (1)由题意知点 C 的坐标为 (1， 2)，圆的半径 r 2. 所以圆的方程为 (x 1)2 (y 2)2 2. (2)在 (x 1)2 (y 2)2 2 中， 令 x 0，解得 y 21 ，故 B(0， 2 1) 直线 BC 的斜率为 2 1 20 1 1，故切线的斜率为 1，切线方程为 y x 2 1.令 y 0，解得 x 2 1，故所求截距为 2 1. 角度 2 直线与圆相交的弦长问题 (2018 沈阳模拟 )设 m， n R，若直线 l

10、： mx ny 1 0 与 x 轴相交于点 A，与 y轴相交于点 B，且 l 与圆 x2 y2 4 相 交所得弦的长为 2， O 为坐标原点，则 AOB 面积的最小值为 _ 【导学号： 00090283】 3 由题意知 A? ?1m， 0 ， B? ?0， 1n ，圆的半径为 2，且 l 与圆的相交弦长为 2，则圆心到弦所在直线的距离为 3. =【 ;精品教育资源文库 】 = 1m2 n2 3?m2 n2 13， S AOB 12? ?1m ? ?1n ? ?12mn 1m2 n2 3，即三角形面积的最小值为 3. 角度 3 直线、圆与相关知识的交汇 (2015 全国卷 )已知过点 A(0,1

11、)且斜率为 k的直线 l与圆 C： (x 2)2 (y 3)2 1 交于 M， N 两点 (1)求 k 的取值范围； (2)若 OM ON 12，其中 O 为坐标原点，求 |MN|. 解 (1)由题设可知直线 l 的方程为 y kx 1. 2 分 因为直线 l 与圆 C 交于两点，所以 |2k 3 1|1 k2 1， 解得 4 73 k4 73 . 所以 k 的取值范围为 ? ?4 73 ， 4 73 . 5 分 (2)设 M(x1， y1)， N(x2， y2) 将 y kx 1 代入方程 (x 2)2 (y 3)2 1， 整理得 (1 k2)x2 4(1 k)x 7 0. 所以 x1 x2

12、 k1 k2 ， x1x2 71 k2. 8 分 所以 OM ON x1x2 y1y2 (1 k2)x1x2 k(x1 x2) 1 4k k1 k2 8. 由题设可得 4k k1 k2 8 12，解得 k 1， 所以直线 l 的方程为 y x 1. 故圆心 C 在直线 l 上，所以 |MN| 2. 12 分 规律方法 1.研究直线与圆的位置关系最常用的方法为几何法，将代数问题几何化，利用数形结合思想解题 2 (1)圆与直线 l 相切的情形：圆心到 l 的距离等于半径，圆心与切点的连线垂直于 l. (2)过圆内一点的所有弦中，最短的是垂直于过这点的直径的那条弦，最长的是过这点的直径 (3)与弦长有关的问题常用几何法，即利用圆的半径 r，圆 心到直线的距离 d，及半弦长 l2，构成直角三角形的三边，利用其关系来处理