2019年高考数学一轮复习第8章平面解析几何第9节第2课时定点定值范围最值问题学案（理科）北师大版.doc

1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 第 2 课时 定点、定值、范围、最值问题 (对应学生用书第 151 页 ) 定点问题 (2018 郑州第二次质量预测 )已知动圆 M 恒过点 (0,1)，且与直线 y 1 相切 (1)求圆心 M 的轨迹方程； (2)动直线 l 过点 P(0， 2)，且与点 M 的轨迹交于 A， B 两点，点 C 与点 B 关于 y轴对称，求证：直线 AC 恒过定点 解 (1)由题意，得点 M 与点 (0,1)的距离始终等于点 M 到直线 y 1 的距离，由抛物线定义知圆心 M 的轨迹为以点 (0,1)为焦点，直线 y 1 为准线的抛物线，则 p2 1， p 2. 圆心 M 的

2、轨迹方程为 x2 4y. (2)证明：由题知，直线 l 的斜率存在， 设直线 l： y kx 2， A(x1， y1)， B(x2， y2)， 则 C( x2， y2)， 联立? x2 4y，y kx 2， 得 x2 4kx 8 0， ? x1 x2 4k，x1x2 8. kAC y1 y2x1 x2x214x224x1 x2x1 x24 ， 则直线 AC 的方程为 y y1 x1 x24 (x x1)， 即 y y1 x1 x24 (x x1) x1 x24 x x1(x1 x2)4 x214 x1 x24 x x1x24 . x1x2 8， y x1 x24 x x1x24 x1 x24

3、x 2， =【 ;精品教育资源文库 】 = 故直线 AC 恒过定点 (0,2) 规律方法 1.圆锥曲线中定点问题的两种解法 引进参数法：引进动点的坐标或动线中系数作为参数表示变化量，再研究变化的量与参数何时没有关系，找到定点 . 特殊到一般法：根据动点和动线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关 . 2.求直线方程过定点问题，要把直线方程表示出来，一般表示成点斜式或截距式 . 跟踪训练 (2018 呼和浩特一调 )已知椭圆 x2a2y2b2 1(a b 0)的离心率 e63 ，直线 y bx 2 与圆 x2 y2 2 相切 (1)求椭圆的方程； (2)已知定点 E(1,0)，若直线 y

4、kx 2(k0) 与椭圆相交于 C， D 两点，试判断是否存在实数 k，使得以 CD 为直径的圆过定点 E？若存在，求出 k 的值；若不存在，请说明理由 . 【导学号： 79140309】 解 (1) 直线 l： y bx 2 与圆 x2 y2 2 相切 2b2 1 2， b2 1. 椭圆的离心率 e 63 ， e2 c2a2a2 1a2 ?632， a2 3， 所求椭圆的方程是 x23 y2 1. (2)将直线 y kx 2 代入椭圆方程，消去 y 可得 (1 3k2)x2 12kx 9 0， 36k2 36 0， k 1 或 k 1. 设 C(x1， y1)， D(x2， y2)， 则有

5、x1 x2 12k1 3k2， x1x2 91 3k2. 若以 CD 为直径的圆过点 E， 则 EC ED EC (x1 1， y1)， ED (x2 1， y2)， ( x1 1)(x2 1) y1y2 0. (1 k2)x1x2 (2k 1)(x1 x2) 5 0， =【 ;精品教育资源文库 】 = (1 k2) 91 3k2 (2k 1) ? ? 12k1 3k2 5 0. 解得 k 76 1. 存在实数 k 76使得以 CD 为直径的圆过定点 E. 定值问题 (2017 全国卷 ) 在直角坐标系 xOy 中，曲线 y x2 mx 2 与 x 轴交于 A， B 两点，点 C 的坐标为 (

6、0,1)当 m 变化时，解答下列问题： (1)能否出现 AC BC 的情况？说明理由； (2)证明过 A， B， C 三点的圆在 y 轴上截得的弦长为定值 解 (1)不能出现 AC BC 的情况理由如下： 设 A(x1,0)， B(x2,0)，则 x1， x2满足 x2 mx 2 0， 所以 x1x2 2. 又点 C 的坐标为 (0,1)， 故 AC 的斜率与 BC 的斜率之积为 1x1 1x2 12， 所以不能出现 AC BC 的情况 (2)证明： BC 的中点坐标为 ? ?x22， 12 ，可得 BC 的中垂线方程为 y 12 x2? ?x x22 . 由 (1)可得 x1 x2 m， 所

7、以 AB 的中垂线方程为 x m2. 联立? x m2，y 12 x2? ?x x22 ，又 x22 mx2 2 0，可得? x m2，y 12.所以过 A， B， C 三点的圆的圆心坐标为 ? ? m2， 12 ，半径 r m2 92 . =【 ;精品教育资源文库 】 = 故圆在 y 轴上截得的弦长为 2 r2 ? ?m22 3， 即过 A， B， C 三点的圆在 y 轴上截得的弦长为定值 规律方法 求定值问题的常用方法 (1)从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关 (2)直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值 跟踪训练 (2018 石家庄质检 (二 )设 M， N

8、， T 是椭圆 x216y212 1 上三个点， M， N 在直线x 8 上的射影分别为 M1， N1. (1)若直线 MN 过原点 O，直线 MT， NT 斜率分别为 k1， k2.求证： k1k2为定值； (2)若 M， N 不是椭圆长轴的端点，点 L 坐标为 (3,0)， M1N1L 与 MNL 面积之比为 5，求 MN 中点 K 的轨迹方程 解 (1)证明：设 M(p， q)， N( p， q)， T(x0， y0)， 则 k1k2 y20 q2x20 p2， 又? p216 q212 1，x2016y2012 1，两式相减得 x20 p216 y20 q212 0， 即 y20 q2

9、x20 p234， k1k2 34. (2)设直线 MN 与 x 轴相交于点 R(r,0)， S MNL 12|r 3| yM yN|， S M1N1L 125| yM1 yN1|. 由于 S M1N1L 5S MNL且 |yM1 yN1| |yM yN|， 得 125| yM1 yN1| 5 12|r 3| yM yN|， 解得 r 4(舍去 )或 r 2. 即直线 MN 经过点 F(2,0) 设 M(x1， y1)， N(x2， y2)， K(x0， y0)， 当直线 MN 垂直于 x 轴时，弦 MN 中点为 K(2,0)； 当直线 MN 与 x 轴不垂直时，设 MN 的方程为 y k(x

10、 2)， =【 ;精品教育资源文库 】 = 则? x216y212 1，y k(x 2)，则 (3 4k2)x2 16k2x 16k2 48 0. x1 x2 16k23 4k2， x1x216k2 483 4k2 . x0 8k23 4k2， y0 6k3 4k2. 消去 k，整理得 (x0 1)2 4y203 1(y00) 综上所述，点 K 的轨迹方程为 (x 1)2 4y23 1(x 0) 范围问题 (2018 合肥一检 )已知点 F 为椭圆 E： x2a2y2b2 1(a b 0)的左焦点，且两焦点与短轴的一个顶点构成一个等边三角形，直线 x4 y2 1 与椭圆 E 有且仅有一个交点

11、M. (1)求椭圆 E 的方程； (2)设直线 x4 y2 1 与 y 轴交于 P，过点 P 的直线 l 与椭圆 E 交于两不同点 A， B，若 |PM|2 |PA| PB|，求实数 的取值范围 解 (1)由题意得 a 2c， b 3c， 则椭圆 E 为 x24c2y23c2 1. 由? x24 y23 c2，x4y2 1得 x2 2x 4 3c2 0. 直线 x4 y2 1 与椭圆 E 有且仅有一个交点 M， 4 4(4 3c2) 0?c2 1， 椭圆 E 的方程为 x24y23 1. (2)由 (1)得 M? ?1， 32 ， 直线 x4 y2 1 与 y 轴交于 P(0,2)， =【 ;

12、精品教育资源文库 】 = | PM|2 54， 当直线 l 与 x 轴垂直时， |PA| PB| (2 3)(2 3) 1， 由 |PM|2 |PA| PB|? 45， 当直线 l 与 x 轴不垂直时，设直线 l 的方程为 y kx 2， A(x1， y1)， B(x2， y2)， 由? y kx 2，3x2 4y2 12 0 ?(3 4k2)x2 16kx 4 0， 依题意得 x1x2 43 4k2，且 48(4k2 1) 0， k2 14， | PA| PB| (1 k2)x1x2 (1 k2) 43 4k2 1 13 4k2 54 ， 45? ?1 13 4k2 ， k2 14， 45

13、1， 综上所述， 的取值范围是 ? ?45， 1 . 规律方法 圆锥曲线中范围问题的求解方法 利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围 . 利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系 . 利用已知的 或隐含的不等关系，构建不等式，从而求出参数的取值范围 . 利用求函数的值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围 . 跟踪训练 (2018 江西师大附中 )已知椭圆 E： x2a2y2b2 1 的焦点在 x 轴上，椭圆 E 的左顶点为 A，斜率为 k(k 0)的直线交椭圆 E 于 A， B 两点，点 C

14、在椭圆 E 上， AB AC，直线 AC交 y 轴于点 D =【 ;精品教育资源文库 】 = (1)当点 B 为椭圆的上顶点， ABD 的面积为 2ab 时，求椭圆的离心率； (2)当 b 3， 2|AB| |AC|时，求 k 的取值范围 . 【导学号： 79140310】 解 (1)直线 AB 的方程为 y bax b， 直线 AC 的方程为 y ab(x a)， 令 x 0， y a2b. S ABD 12 ? ?b a2b a 2ab， 于是 a2 b2 4b2， a2 3b2， e ca 1 b2a263 . (2)直线 AB 的方程为 y k(x a)， 联立? x2a2y23 1，

15、y k(x a)，整理得 (3 a2k2)x2 2a3k2x a4k2 3a2 0， 解得 x a 或 x a3k2 3a3 a2k2 ， 所以 |AB| 1 k2? ? a3k2 3a3 a2k2 a 1 k2 6a3 a2k2， 同理 |AC| 1 k2 6a3k a2k， 因为 2|AB| |AC|， 所以 2 1 k2 6a3 a2k2 1 k2 6a3k a2k， 整理得 a2 6k2 3kk3 2 . 因为椭圆 E 的焦点在 x 轴， 所以 a2 3，即 6k2 3kk3 2 3， 整理得 (k2 1)(k 2)k3 2 0，解得3 2 k 2. =【 ;精品教育资源文库 】 = 最值问题 (2017 浙江高考 )如图 893，已知抛物线 x2 y，点 A? ? 12， 14 ， B? ?32， 94 ，抛物线上的点 P(x， y)? ? 12x32 .过点 B 作直线 AP 的垂线，垂足为 Q. 图 893 (1)求直线 AP 斜率的取值范围； (2)求 |PA| PQ|的最大值 解 (1)设直线 AP 的斜率为 k， kx2 14x