2019年高考数学一轮复习第7章立体几何第7节第1课时利用空间向量证明平行与垂直学案（理科）北师大版.doc

1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 第七节 立体几何中的向量方法 考纲传真 (教师用书独具 )1.理解直线的方向向量与平面的法向量 .2.能用向量语言表述线线、线面、面面的平行和垂直关系 .3.能用向量方法证明有关直线和平面位置关系的一些简单定理 (包括三垂线定理 ).4.能用向量方法解决直线与直线、直线与平面、平面与平面的夹角的计算问题，了解向量方法在研究立体几何问题中的应用 (对应学生用书第 122 页 ) 基础知识填充 1空间位置关系的向量表示 直线 l1， l2的方向向量分别为 n1， n2 l1 l2 n1 n2?n1 n2 l1 l2 n1 n2?n1 n2 0 直线 l 的方向向量

2、为 n，平面 的法向量为 m l n m?n m 0 l n m?n m 平面 ， 的法向量分别为 n， m n m?n m n m?n m 0 2.异面直线的夹角 已知直线 l1与 l2的方向向量分别为 s1， s2. 当 0 s1， s2 2 时，直线 l1与 l2的夹角等于 s1， s2； 当 2 s1， s2 时，直线 l1与 l2的夹角等于 s1， s2 3直线与平面的夹角 设直线 l 的方向向量为 a，平面 的法向量为 n，直线 l 与平面 的夹角为 ，则 sin |cos a， n | |a n|a|n|. 4二面角 (1)如图 771(1)， AB， CD 是二面角 l 的两个

3、面内与棱 l 垂直的直线，则二面角的大小 AB ， CD 图 771 (2)如图 771(2)(3)， n1， n2分别是二面角 l 的两个半平面 ， 的法向量，=【 ;精品教育资源文库 】 = 则二面角的大小 满足 |cos | |cos n1， n2 |，二面角的平面角大小是向量n1与 n2的夹角 (或其补角 ) 基本能力自测 1 (思考辨析 )判断下列结论的正误 (正确的打 “” ，错误的打 “”) (1)若两直线的方向向量不平行，则两直线不平行 ( ) (2)若两平面的法向量平行，则两平面平行或重合 ( ) (3)两直线的方向向量所成的角就是两条直线的夹角 ( ) (4)直线的方向向量

4、和平面的法向量的夹角就是直线与平面的夹角 ( ) (5)两个平面的法向量所成的角是这两个平面所成的角 ( ) (6)两异面直线夹角的范围是 ? ?0， 2 ，直线与平面夹角的范围是 ? ?0， 2 ，二面角的范围是 0， ( ) 答案 (1) (2) (3) (4) (5) (6) 2 (教材改编 )设 u ( 2,2， t)， v (6， 4,4)分别是平面 ， 的法向量若 ，则 t ( ) A 3 B 4 C 5 D 6 C ，则 u v 26 2( 4) 4t 0， t 5. 3已知 A(1,0,0)， B(0,1,0)， C(0,0,1)，则下列向量是平面 ABC 法向量的是 ( )

5、A ( 1,1,1) B (1， 1,1) C ? ? 33 ， 33 ， 33 D ? ?33 ， 33 ， 33 C 设 n (x， y， z)为平面 ABC 的法向量 ， 则? n AB 0，n AC 0，化简得? x y 0， x z 0， x y z.故选 C 4直三棱柱 ABCA1B1C1中， BCA 90 ， M， N 分别是 A1B1， A1C1的中点， BC CA CC1，则BM 与 AN 夹角的余弦值为 ( ) A 110 B 25 C 3010 D 22 =【 ;精品教育资源文库 】 = C 建立如图所示的空间直角坐标系 Cxyz，设 BC 2，则 B(0,2,0)， A

6、(2,0,0)，M(1,1,2)， N(1,0,2)，所以 BM (1， 1,2)， AN ( 1,0,2)，故 BM 与 AN 夹角 的余弦值 cos |BM AN |BM | AN | 36 5 3010 . 5过正方形 ABCD 的顶点 A 作线段 PA 平面 ABCD，若 AB PA，则平面 ABP 与平面 CDP 所成的二面角为 _ 45 如图，建立空间直角坐标系，设 AB PA 1，则 A(0,0,0)， D(0,1,0)，P(0,0,1)，由题意， AD 平面 PAB，设 E 为 PD 的中点，连接 AE，则 AE PD，又CD 平面 PAD， CD AE，从而 AE 平面 PC

7、D. AD (0,1,0)， AE ? ?0， 12， 12 分别是平面 PAB，平面 PCD 的法向量，且 AD ， AE 45. 故平面 PAB 与平面 PCD 所成的二面角为 45. 第 1 课时 利用空间向量证明平行与垂直 (对应学生用书第 123 页 ) 利用空间向量证明平行问题 (2017 天 津高考节选 )如图 772，在三棱锥 PABC 中， PA 底面 ABC， BAC 90.点 D， E， N 分别为棱 PA， PC， BC 的中点， M 是线段 AD 的中点， PA AC 4， AB 2. 图 772 求证： MN 平面 BDE. =【 ;精品教育资源文库 】 = 解 如

8、图，以 A 为原点，分别以 AB ， AC ， AP 的方向为 x 轴、 y 轴、 z 轴的正方向建立空间直角坐标系，依题意可得 A(0,0,0)， B(2,0,0)， C(0,4,0)， P(0,0,4)， D(0,0,2)，E(0,2,2)， M(0,0,1)， N(1,2,0) 证明： DE (0,2,0)， DB (2,0， 2) 设 n (x， y， z)为平面 BDE 的一个法向量， 则? n DE 0，n DB 0，即? 2y 0，2x 2z 0. 不妨设 z 1，可得 n (1,0,1) 又 MN (1,2， 1)， 可得 MN n 0. 因为 MN?/ 平面 BDE，所以 M

9、N 平面 BDE. 规律方法 恰当建立空间直角坐标系，准确表示各点与相关向量的坐标，是运用向量法证明平行和垂直的关键 . 证明直线与平面平行，只需证明直线的方向向量与平面的法向量的数量积为零，或证直线的方向向量与平面内的不共线的两个向量共面，或证直线的方向向量与平面内某直线的方向 向量平行，然后说明直线在平面外即可 .这样就把几何的证明问题转化为向量运算 . 跟踪训练 如图 773 所示，平面 PAD 平面 ABCD， ABCD 为正方形， PAD 是直角三角形，且 PA AD 2， E， F， G 分别是线段 PA， PD， CD 的中点求证： PB 平面 EFG. 图 773 证明 平面

10、PAD 平面 ABCD， ABCD 为正方形， PAD 是直角三角形，且 PA AD， =【 ;精品教育资源文库 】 = AB， AP， AD 两两垂直，以 A 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系 Axyz，则 A(0,0,0)， B(2,0,0)， C(2,2,0)， D(0,2,0)， P(0,0,2)， E(0,0,1)， F(0,1,1)，G(1,2,0) PB (2,0， 2)， FE (0， 1,0)， FG (1,1， 1)， 设 PB sFE tFG ， 即 (2,0， 2) s(0， 1,0) t(1,1， 1)， ? t 2，t s 0， t 2，解得 s t 2，

11、PB 2FE 2FG ， 又 FE 与 FG 不共线， PB ， FE 与 FG 共面 PB?/ 平面 EFG， PB 平面 EFG. 利用空间向量证明垂直问题 (2017 开封模拟 )如图 774，已知 AB 平面 ACD， DE 平面 ACD， ACD 为等边三角形， AD DE 2AB. 求证：平面 BCE 平面 CDE. 【导学号： 79140249】 图 774 证明 设 AD DE 2AB 2a，建立如图所示的空间直角坐标系 Axyz，则 A(0,0,0)，=【 ;精品教育资源文库 】 = C(2a,0,0)， B(0,0， a)， D(a， 3a,0)， E(a， 3a,2a)

12、所以 BE (a， 3a， a)， BC (2a,0， a)， CD ( a， 3a,0)， ED (0,0， 2a) 设平面 BCE 的法向量为 n1 (x1， y1， z1)， 由 n1 BE 0， n1 BC 0 可得 ? ax1 3ay1 az1 0，2ax1 az1 0， 即 ? x1 3y1 z1 0，2x1 z1 0.令 z1 2，可得 n1 (1， 3， 2) 设平面 CDE 的法向量为 n2 (x2， y2， z2)， 由 n2 CD 0， n2 ED 0 可得 ? ax2 3ay2 0， 2az2 0， 即 ? x2 3y2 0，z2 0.令 y2 1，可得 n2 ( 3，

13、 1,0) 因为 n1 n2 1 3 1( 3) 0. 所以 n1 n2， 所以平面 BCE 平面 CDE. 若本例中条件不变，点 F 是 CE 的中点，证明 DF 平面 BCE. 证明 由例 2 知 C(2a,0,0)， E(a， 3a,2a)，平面 BCE 的法向量 n1 (1， 3， 2) 点 F 是 CE 的中点， F? ?3a2 ， 3a2 ， a ， DF ? ?a2， 3a2 ， a DF a2n1， DF n1， =【 ;精品教育资源文库 】 = 故 DF 平面 BCE. 规律方法 1.利用已知的线面垂直 关系构建空间直角坐标系，准确写出相关点的坐标，从而将几何证明转化为向量运

14、算 .其中灵活建系是解题的关键 . 2.用向量证明垂直的方法 线线垂直：证明两直线所在的方向向量互相垂直，即证它们的数量积为零 . 线面垂直：证明直线的方向向量与平面的法向量共线，或将线面垂直的判定定理用向量表示 . 面面垂直：证明两个平面的法向量垂直，或将面面垂直的判定定理用向量表示 . 跟踪训练 如图 775所示，已知四棱锥 PABCD的底面是直角梯形， ABC BCD 90 ，AB BC PB PC 2CD，侧面 PBC 底面 ABCD. 图 775 证明： (1)PA BD； (2)平面 PAD 平面 PAB. 证明 (1)取 BC 的中点 O，连接 PO， 平面 PBC 底面 ABCD， PBC 为等边三角形， PO 底面 ABCD. 以 BC 的中点 O 为坐标原点，以 BC 所在直线为 x 轴，过点 O 与 AB 平行的直线为 y 轴，OP 所在直线为 z 轴，建立空间直角坐标系，如图所示 不妨设 CD 1，则 AB BC 2， PO 3. A(1， 2,0)， B(1,0,0)， D( 1， 1,0)， P(0,0， 3) BD ( 2， 1,0)， PA (1， 2， 3) BD PA ( 2)1 ( 1)( 2) 0