2019年高考数学一轮复习第7章立体几何第5节简单几何体的表面积与体积学案（理科）北师大版.doc

1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 第五节 简单几何体的表面积与体积 考纲传真 (教师用书独具 )了解球、棱柱、棱锥、台的表面积和体积的计算公式 (对应学生用书第 117 页 ) 基础知识填充 1多面体的表 (侧 )面积 因为多面体的各个面都是平面，所以多面体的侧面积就是所有侧面的面积之和，表面积是 侧面积 与底面面积之和 2圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式 圆柱 圆锥 圆台 侧面展开图 侧面积公式 S 圆柱侧 2 rl S 圆锥侧 rl S 圆台侧 ( r1 r2)l 3.柱、锥、台和球的表面积和体积 名称 几何体 表面积 体积 柱体 (棱柱和圆柱 ) S 表面积 S 侧 2S 底 V

2、 Sh 锥体 (棱锥和圆锥 ) S 表面积 S 侧 S 底 V 13Sh 台体 (棱台和圆台 ) S 表面积 S 侧 S 上 S 下 V 13(S 上 S 下 S上 S下 )h 球 S 4 R2 V 43 R3 知识拓展 几个与球有关的切、接常用结论 (1)正方体的棱长为 a，球的半径为 R， 若球为正方体的外接球，则 2R 3a； 若球为正方体的内切球，则 2R a； 若球与正方体的各棱相切，则 2R 2a. (2)若长方体的同一顶点的三条棱长分别为 a， b， c，外接球的半径为 R，则 2Ra2 b2 c2. (3)棱长为 a 的正四面体，其高 H 63 a，则其外接球半径 R 34H，

3、内切球半径 R 14H. =【 ;精品教育资源文库 】 = 基本能力自测 1 (思考辨析 )判断下列结论的正误 (正确的打 “” ，错误的打 “”) (1)多面体的表面积等于各个面的面积之和 ( ) (2)锥体的体积等于底 面面积与高之积 ( ) (3)球的体积之比等于半径比的平方 ( ) (4)台体的体积可转化为两个锥体的体积之差 ( ) (5)简单组合体的体积等于组成它的简单几何体体积的和或差 ( ) (6)已知球 O 的半径为 R，其内接正方体的边长为 a，则 R 32 a.( ) 答案 (1) (2) (3) (4) (5) (6) 2 (教材改编 )已知圆锥的表面积等于 12 cm

4、2，其侧面展开图是一个半圆，则底面圆的半径为 ( ) A 1 cm B 2 cm C 3 cm D 32 cm B S 表 r2 rl r2 r2 r 3 r2 12 ， r2 4， r 2(cm) 3 (2016 全国卷 ) 体积为 8 的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为 ( ) A 12 B 323 C 8 D 4 A 设正方体棱长为 a，则 a3 8，所以 a 2. 所以正方体的体对角线长为 2 3，所以正方体外接球的半径为 3，所以球的表面积为4( 3)2 12 ，故选 A 4 (2017 浙江高考 )某几何体的三视图如图 751 所示 (单位： cm)，则该几何体的体积

5、(单位： cm3)是 ( ) 图 751 A 2 1 B 2 3 =【 ;精品教育资源文库 】 = C 32 1 D 32 3 A 由几何体的三视图可知，该几何体是一个底面半径为 1，高为 3 的圆锥的一半与一个底面为直角边长是 2的等腰直角三角形，高为 3 的三棱锥的组合体， 所以该几何体的体积 V 13 121 23 13 12 2 23 2 1. 故选 A 5已知某几何体的三视图如图 752 所示，则该几何体的体积为 _ 图 752 163 由三视图可知，该几何体是一个圆柱挖去了一个圆锥，其体积为 222 132 22 163 . (对应学生用书第 118 页 ) 简单几何体的表面积 (

6、1)(2018 石家庄一模 )某几何体的三视图如图 753 所示 (在网格线中，每个小正方形的边长为 1)，则该几何体的表面积为 ( ) 图 753 A 48 B 54 C 64 D 60 (2)(2016 全国卷 ) 如图 754，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆=【 ;精品教育资源文库 】 = 中两条互相垂直的半径若该几何体的体积是 283 ，则它的表面积是 ( ) 图 754 A 17 B 18 C 20 D 28 (1)D (2)A (1)根据三视图还原直观图，如图所示，则该几何 体的表面积 S 63 1264 2 1235 1265 60，故选 D. (2)由几何体的三视图

7、可知，该几何体是一个球体去掉上半球的 14，得到的几何体如图设球的半径为 R，则 43 R3 18 43 R3 283 ，解得 R 2.因此它的表面积为 784 R2 34 R2 17. 故选 A 规 律方法 简单几何体表面积的求法 以三视图为载体的几何体的表面积问题，关键是分析三视图确定几何体中各元素之间的位置关系及数量 .必须还原出直观图 . 多面体的表面积是各个面的面积之和；组合体的表面积注意衔接部分的处理 . 旋转体的表面积问题注意其侧面展开图的应用 . 跟踪训练 (2018 合肥第一次质检 )一个几何体的三视图如图 755 所示 (其中主视图的=【 ;精品教育资源文库 】 = 弧线为

8、四分之一圆周 )，则该几何体的表面积为 ( ) 图 755 A 48 4 B 72 4 C 48 6 D 72 6 D 由三视图可得该几何体是棱长为 4 的正方体截去底面是边长为 2 的正方形、高为 4 的长方体，再补上 14个底面圆半径为 2、高为 4 的圆柱，则该几何体的表面积为 162 2(12 ) 82 14224 72 6 ，故选 D. 简单几何体的体积 (1)(2017 全国卷 ) 如图 756，网格纸上小正方形的边长为 1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得，则该几何体的体积为 ( ) 图 756 A 90 B 63 =【 ;精品教育资源文库

9、 】 = C 42 D 36 (2)(2018 深圳二调 )一个长方体被一个平面截去一部分后，所剩几何体的三视图如图 757 所示，则该几何体的体积为 ( ) 图 757 A 24 B 48 C 72 D 96 (1)B (2)B (1)法一： (割补法 )由几何体的三视图可知，该几何体是一个圆柱截去上面虚线部分所得，如图所示 将圆柱补全，并将圆柱从点 A 处水平分成上下两部分由图可知，该几何体的体积等于下部分圆柱的体积加上上部分圆柱体积的 12，所以该几何体的体积 V 3 24 3 26 12 63. 故选 B. 法二： (估值法 )由题意知， 12V 圆柱 V 几何体 V 圆柱 又 V 圆

10、柱 3 210 90 ，所以 45 V 几何体 90. 观察选项可知只有 63 符合故选 B. (2)由三视图知，该几何体是由长、宽、高分别为 6,4,4 的长方体被一个平面截去所=【 ;精品教育资源文库 】 = 剩下的部分，如图所示，其中 C， G 均为长方体对应边的中心，该平面恰好把长方体一分为二，则该几何体的体积为 V 12644 48，故选 B. 规律方法 简单几何体体 积问题的常见类型及解题策略 若所给定的几何体是可直接用公式求解的柱体、锥体或台体，则可直接利用公式进行求解 . 若所给定的几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用转换法、分割法、补形法等方法进行求解 . 若以三视图的形

11、式给出几何体，则应先根据三视图得到几何体的底面积和高，一般不需画直观图 . 跟踪训练 (1)正三棱柱 ABCA1B1C1的底面边长为 2，侧棱长为 3， D 为 BC 中点，则三棱锥 AB1DC1的体积为 ( ) 【导学号： 79140239】 A 3 B 32 C 1 D 32 (2)(2017 山东高考 )由一个长方体和两个 14圆柱体构成的几何体的三视图如图758，则该几何体的体积为 _ 图 758 (1)C (2)2 2 (1)由题意可知， AD 平面 B1DC1，即 AD 为三棱锥 AB1DC1的高，且 AD 32 2 3， 易求得 S B1DC1 122 3 3， 所以 VAB1D

12、C1 13 3 3 1. (2)该几何体由一个长、宽、高分别为 2,1,1 的长方体和两个底面半径为 1，高为 1=【 ;精品教育资源文库 】 = 的四分之一圆柱体构成， 所以 V 211 2 141 21 2 2. 与球有关的切、接问题 (2016 全国卷 ) 在封闭的直三棱柱 ABCA1B1C1内有一个体积为 V 的球若 AB BC，AB 6， BC 8， AA1 3，则 V 的最大值是 ( ) A 4 B 92 C 6 D 323 B 由题意得要使球的体积最大，则球与直三棱柱的若干面相切设球的半径为 R， ABC 的内切圆半径为 6 8 102 2， R2. 又 2R3 ， R 32，

13、Vmax 43 ? ?323 92. 故选 B. 1若 本例中的条件变为 “ 直三棱柱 ABCA1B1C1的 6 个顶点都在球 O 的球面上 ” ，若 AB 3，AC 4， AB AC， AA1 12，求球 O 的表面积 解 将直三棱柱补形为长方体 ABECA1B1E1C1， 则球 O 是长方体 ABECA1B1E1C1的外接球， 所以体对角线 BC1的长为球 O 的直径 因此 2R 32 42 122 13， 故 S 球 4 R2 169. 2若本例中的条件变为 “ 正四棱锥的顶点都在球 O 的球面上 ” ，若该棱锥的高为 4，底面边长为 2，求该球的体积 解 如图，设球心为 O，半 径为 r， 则在 Rt AFO 中， (4 r)2 ( 2)2 r2，解得 r 94， =【 ;精品教育资源文库 】 = 则球 O 的体积 V 球 43 r3 43 ? ?943 24316 . 规律方法 与球有关的切、接问题的求解方法 与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接 .球与旋转体的组合通常是作它们的轴截面解题，球与多面体的组合，通过多面 体的一条侧棱和球心，或 “ 切点 ”