随机信号分析基础课件.ppt

1、 随机信号分析基础随机信号分析基础主要内容主要内容l概述概述l随机信号的概率表示随机信号的概率表示l随机信号的数字特征随机信号的数字特征l随机信号的功率谱密度随机信号的功率谱密度l离散时间随机信号离散时间随机信号l随机信号的遍历性随机信号的遍历性l几种常见的随机信号几种常见的随机信号l随机信号数字特征的估计随机信号数字特征的估计2.1 2.1 概述概述2.1.12.1.1基本概念基本概念 随机信号随机信号通常可看成是一个随机变量随时间变化通常可看成是一个随机变量随时间变化的过程，可用一个含两个变量的函数的过程，可用一个含两个变量的函数 表示，其中表示，其中 参数集参数集,样本集。样本集。1.1

2、.样本：当样本：当 和和 都固定时为一个确定的数。都固定时为一个确定的数。2.2.样本随机变量：当样本随机变量：当 固定为固定为 时，各次试验的观测值表示时，各次试验的观测值表示为为 。3.3.样本函数：样本函数：上的一个函数集，上的一个函数集，确定，随时间变化的函确定，随时间变化的函数数一个实现。一个实现。4.4.随机信号随机信号 ：一族（或无限多个）随机变量的集合，：一族（或无限多个）随机变量的集合，它是某种随机试验的结果，而试验出现的样本函数是随机它是某种随机试验的结果，而试验出现的样本函数是随机的。的。()iX ttTitit1t12111()().()nXtXtXt、ti()iX t

3、2.1 2.1 概述概述例例2-1 2-1 随机相位正弦信号：随机相位正弦信号：，其中，其中及及 为常数，为为常数，为 间均匀分布的随机变量。间均匀分布的随机变量。当当 取不同的值时，得到一系列不同的确定性随机取不同的值时，得到一系列不同的确定性随机信号（因为信号（因为 一旦确定，由信号的过去值便可以准一旦确定，由信号的过去值便可以准确预测其未来值）。通常又将此随机信号称为谐波确预测其未来值）。通常又将此随机信号称为谐波过程（谐波信号）。过程（谐波信号）。0()cos()X tAtA00,2 2.1 2.1 概述概述2.1.2 2.1.2 随机信号分类随机信号分类1 1）样本样本空间空间连续随

4、机序列随机过程（随机函数）离散 离散参数链连续参数链离散连续参数集参数集2 2）按）按 取值实数、复数分实、复随机信号取值实数、复数分实、复随机信号3 3）一维及多维随机信号）一维及多维随机信号()X t2.2 2.2 随机信号的概率表示随机信号的概率表示 随机信号随着样本数目的增多，呈现一定随机信号随着样本数目的增多，呈现一定的统计规律：一个是其各阶概率密度与分布特的统计规律：一个是其各阶概率密度与分布特性性 ，二是数字特征即均值以及各阶矩。，二是数字特征即均值以及各阶矩。2.2.1 2.2.1 概率分布函数及概率密度函数概率分布函数及概率密度函数2.2.2 2.2.2 随机信号的阶数及其平

5、稳性随机信号的阶数及其平稳性2.2 2.2 随机信号的概率表示随机信号的概率表示 2.2.1 2.2.1 概率分布函数及概率密度函数概率分布函数及概率密度函数 1.概率分布函数概率分布函数 F(x)表示表示X(t)小于等于小于等于 x 的概率的概率,记为记为 性质性质：1)1)；2)2)极值性：极值性：3)3)单调递增性单调递增性:。()()F xP X tx0()1Fxxlim()1xFx lim()0 xF x()()0F xF xxx 2.2 2.2 随机信号的概率表示随机信号的概率表示2.连续随机信号的概率密度函数连续随机信号的概率密度函数性质性质：1)1)非负性非负性 2)2)归一性

6、归一性 3)3)与概率的关系与概率的关系 的概率为的概率为()0 p xx()()()()xdF xp xF xp x dxdx()1px d x ()baP aXbp x dx()aX tb2.2 2.2 随机信号的概率表示随机信号的概率表示3.离散随机信号的概率密度函数离散随机信号的概率密度函数 只具有若干个离散值，可用概率描述其分布规律只具有若干个离散值，可用概率描述其分布规律:表示表示 的概率的概率,离散信号的概率密度函数可以表示为：离散信号的概率密度函数可以表示为：4.概率密度函数的变换概率密度函数的变换 随机变量随机变量X(t)输入一个系统，输出是输入一个系统，输出是Y(t)，即变

7、换即变换 ,X(t)的概率密度函数为的概率密度函数为 。则。则Y(t)的概率密度函数为的概率密度函数为()X t()iiP Xxp()iX tx1,2.1iiNp()()()iiidF xP xpxxdx()()Y tf X t()p x1()()xp yp xfyy2.2 2.2 随机信号的概率表示随机信号的概率表示l证明：证明：1.1.设设 是单调递增函数，是单调递增函数，两边对两边对y y求导数求导数:2.2.设设 是单调递减函数，是单调递减函数，两边对两边对y y求导数求导数 由由1 1和和2 2，得，得()yf x()()()()()g yF yPYyP X g yp xdx()yf

8、 x()()()()()g yF yP YyP Xg yp x dx()xg y1()()()()xp yp g y g yp xfyy()xg y1()()()()xp yp g y g yp xfyy1()()xp yp xfyy2.2 2.2 随机信号的概率表示随机信号的概率表示例例2-2 2-2 随机相位正弦信号随机相位正弦信号 ，是是 均匀分布，求：均匀分布，求：p(x).解：解：(注意：同一个注意：同一个X，有两个，有两个 值值)0()sin()X tAt0,2 1022()0othersp02212arcsin()1()()()()tAxAxptpppxx222212112AA2

9、.2 2.2 随机信号的概率表示随机信号的概率表示5.多维随机变量的概率分布多维随机变量的概率分布 对于多个随机变量对于多个随机变量 其联合概率分布其联合概率分布函数及联合概率密度函数分别是：函数及联合概率密度函数分别是：12,.,Nx xx121122121212(,.,)(,.,)(,.,)(,.,).NNNNNNNF x xxPxxxF x xxp x xxx xx 1212(,.,)()().()NNF x xxF x F xF x若若则称则称N个随机变量是个随机变量是统计独立。统计独立。2.2 2.2 随机信号的概率表示随机信号的概率表示 2.2.2 2.2.2 随机信号的阶数及其平

10、稳性随机信号的阶数及其平稳性1.阶数阶数 一个随机信号为一个两变量函数一个随机信号为一个两变量函数 ，不同试验得到不不同试验得到不同样本函数，不同样本随机变量之间的统计特性实际上是同样本函数，不同样本随机变量之间的统计特性实际上是一个多维随机变量的概率分布问题，一个多维随机变量的概率分布问题，即即随机信号的阶数随机信号的阶数。一阶随机信号一阶随机信号：某一时刻：某一时刻 的样本的样本 取值的概率分布规律取值的概率分布规律 二阶随机信号二阶随机信号：时刻样本时刻样本 的联合分布规律的联合分布规律 高阶随机信号高阶随机信号：时刻，样本随机变量时刻，样本随机变量 联合分布概率联合分布概率()itit

11、ix(,)iip x t,ijt t,ijx x(,)ijijp x x t t12,.,nt tt12,.,nx xx1212(,.,;,.,)nnp x xx t tt2.2 2.2 随机信号的概率表示随机信号的概率表示2.平稳随机信号平稳随机信号统计特性与起始时间无关，仅与统计特性与起始时间无关，仅与时间间隔有关的信号时间间隔有关的信号。定义定义2 21 1：称称X(t)为为严（强）平稳严（强）平稳随机信号随机信号，若下式成立，若下式成立 定义定义2 22 2：称称X(t)为为一阶平稳一阶平稳随机信号随机信号，若，若 定义定义2 23 3：称称X(t)为为二阶平稳二阶平稳随机信号，若随机

12、信号，若定义定义2 24 4：具有一、二阶平稳的随机信号称为具有一、二阶平稳的随机信号称为广义平稳广义平稳信信 号。号。强平稳必为广义平稳，反之不一定成立。强平稳必为广义平稳，反之不一定成立。12121212(,.,;,.,)(,.,;,.,)nnnnp x xx t ttp x xx ttt11111(,)(,)(,)p x tp x tp x1212121212(,)(,)(,)p x x t tp x x ttp x x2.3 2.3 随机信号的数字特征随机信号的数字特征2.3.1 2.3.1 均值、方差、协方差，自相关和互相关均值、方差、协方差，自相关和互相关 函数、自协方差和互协方差

13、函数函数、自协方差和互协方差函数2.3.2 2.3.2 平稳随机信号的自相关函数和互相关函平稳随机信号的自相关函数和互相关函数的性质数的性质2.3 2.3 随机信号的数字特征随机信号的数字特征 2.3.1 2.3.1 均值、方差、协方差，自相关和互相均值、方差、协方差，自相关和互相关函数，自协方差和互协方差函数关函数，自协方差和互协方差函数 1.1.一阶原点矩一阶原点矩-均值函数均值函数(集合均值集合均值)2.2.二阶原点矩二阶原点矩均方值函数均方值函数 集合意义下的瞬时功率，某时刻样本随机变量的平均功率。3.3.二阶中心矩二阶中心矩方差函数方差函数 反映信号在均值上的起伏程度。11()()l

14、im()()(,)NixNimtE x tx tx t p x t dxN22211()()lim()()(,)NixNiDtE xtx txt p x t dxN2222()()()()()(,)()()xxxxxtEx tmtx tmtp x t dxD tmt22()()()xxxD txmt2.3 2.3 随机信号的数字特征随机信号的数字特征4.4.自相关函数自相关函数若信号平稳，则与起始时间无关，记为若信号平稳，则与起始时间无关，记为随机信号为平稳随机信号的充要条件：随机信号为平稳随机信号的充要条件：1 1）的均值为常数：的均值为常数：2 2）的自相关函数：的自相关函数：3 3）信号

15、的瞬时功率：信号的瞬时功率：*11(,),lim(,)NnnxijijijijijijijNnRt tE x xx xx x p x xt tdx dxN()xR()xmtC()x t()x t(,)(,)()xijiixRttR ttR()x t(0)xxDR 2.3 2.3 随机信号的数字特征随机信号的数字特征5.5.自协方差函数自协方差函数6.6.互相关函数和互协方差函数互相关函数和互协方差函数 互相关函数：互相关函数：广义平稳时：广义平稳时：互协方差函数：互协方差函数：(,)()()()()(,)=(,)()()xijixijxjixijxjijijijxijxixjC t tE xm

16、 txm txm txm tp x x t t dxdxR t tm t m t11(,),lim(,)NnnxyijijijijijijijNnRt tE xyx yx y p xyt tdx dyN()(,)xyijijijRx y P xydx dy(,)()()()()(,)xyijixijyjixijyjijijijCt tE xm tym txm tym tp x y t t dxdy2.3 2.3 随机信号的数字特征随机信号的数字特征 2.3.2 2.3.2 平稳随机信号的自相关函数平稳随机信号的自相关函数 和互相关函数的性质和互相关函数的性质1.1.复信号自相关函数和自协方差函

17、数的性质复信号自相关函数和自协方差函数的性质 对称性对称性 极值性极值性以 为例来说明：*()()xxRR*()()xxRR*()()()()()()()()()xxRE x tx tRE x tx tE x t x tR*()()xxCC|()|(0)xxCC()(0),(0)0 xxxRRR2.3 2.3 随机信号的数字特征随机信号的数字特征对于实信号：对于实信号：对称性对称性 极值性极值性2.2.自相关函数与自协方差函数之间的关系自相关函数与自协方差函数之间的关系 1)1)平稳信号平稳信号 2)2)对于零均值信号对于零均值信号 3)3)时，时，的自相关函数退化为二阶原点的自相关函数退化为

18、二阶原点矩（均方值）矩（均方值）2()()xxxRCm()()xxRC0()x t(0)xxRD()(0)xxCC()(0)xxRR()()xxRR()()xxCC2.3 2.3 随机信号的数字特征随机信号的数字特征例：判别下列的相关矩阵的正确性例：判别下列的相关矩阵的正确性（A）（B）（C）（D）答案：（B）1111R10.50.51R1111jRj10.250.252R2.3 2.3 随机信号的数字特征随机信号的数字特征4)4)时，时，的自协方差函数退化为方差的自协方差函数退化为方差5)5)时时 即：0()x t 2,lim()limxijijxRE x xE x E xm20 xxxRm

19、C *(0)()()xxxCE x tmx tm222222()()(0)xxxxxxxxE x tmE x tmRmDm2(0)(0)xxxxRDC2.3 2.3 随机信号的数字特征随机信号的数字特征3.3.互相关函数与互协方差函数的关系互相关函数与互协方差函数的关系 对称性：对称性：证：两者的关系：两者的关系：xyyxRmRm xynn myxnn myxn mnxyyxn mnxyRmE x yRmE y xRmE xyRmRmE xyRm xyxyxyRCm m2.3 2.3 随机信号的数字特征随机信号的数字特征例例2-3 2-3 求求 的均值、的均值、自相关函数自相关函数。0sin,

20、x tAt 1,2p02 200,1sin.02xxmtx t px dxxpxpdxdxxmtxt pdxAtd代入上式2.3 2.3 随机信号的数字特征随机信号的数字特征自相关函数 1,212110 1220 22120 10 20220210sinsin1,sinsin2coscos22xxxxRt tE x tx txx tAtxx tAtRt tAtAtdAAtt 式中2.3 2.3 随机信号的数字特征随机信号的数字特征例2-4 为常数，为相互独立的随机变量，且 试讨论 的平稳性。解：1000cossin,x tAt Btt,A B 20,0E AE BD AD B x t0000(

21、)cossincossin0E x tE AtBtE AtE Bt0000(,)cossincossinxxRt tEAtBtAtBt 20000coscossincosE AttE A Btt20000cossinsinsinE A BttE Btt220000coscostt2.3 2.3 随机信号的数字特征随机信号的数字特征方差：方差：均值，方差为常数，与起始时间无关，为一个均值，方差为常数，与起始时间无关，为一个广义平稳随机信号。广义平稳随机信号。20 xxDR 2.4 2.4 随机信号的功率谱密度随机信号的功率谱密度2.4.1 2.4.1 维纳维纳辛钦定理辛钦定理2.4.2 2.4.

22、2 功率谱密度性质功率谱密度性质2.4 2.4 随机信号的功率谱密度随机信号的功率谱密度 由于随机信号不是周期和平方可积的，因此由于随机信号不是周期和平方可积的，因此须从极限意义上来讨论。取须从极限意义上来讨论。取 在有限时间在有限时间 内的一段记为内的一段记为 ,频谱为：频谱为：能量谱：能量谱：非有限，只能从功率谱密度非有限，只能从功率谱密度来考虑来考虑 定义：定义：的功率谱密度函数的功率谱密度函数为：为：()x t,T T()Tx t Tj tTTXx t edt TTXX()Tx t xS2lim2TxTXSET 2.4 2.4 随机信号的功率谱密度随机信号的功率谱密度 2.4.1 2.

23、4.1维纳维纳辛钦定理辛钦定理 广义平稳随机信号功率谱与自相关函数的关系广义平稳随机信号功率谱与自相关函数的关系：12jxxxjxxSRedFRRSed 2lim2TxTE XST 12*11221lim2TTj tj tTTTTTExt edtxt edtT 12*12121lim2TTTjttTTTTE xtxtedt dtT 证：证：2.4 2.4 随机信号的功率谱密度随机信号的功率谱密度 12()12121lim,2TTjttxTTTRt tedt dtT 12()12121lim2TTjttxTTTRttedt dtT（由于平稳性）令可得：1222,ttt 2022021lim2xT

24、TTjjxxTTTTSReddReddT 1t2tTTTT2TTTT2T2T2.4 2.4 随机信号的功率谱密度随机信号的功率谱密度 221lim22TjxTTTRedT 22lim12TjjxxTTRedRedT 20021lim222TjjxxTTTRedTRedT（证毕）2.4 2.4 随机信号的功率谱密度随机信号的功率谱密度 2.4.2 2.4.2 功率谱密度性质功率谱密度性质1 1）对称性）对称性对实信号对实信号 ，由，由 ,所以有所以有 实、偶实、偶对于复信号有对于复信号有 且为实函数，且为实函数，但非偶但非偶证明：证明：由共轭对称性有：由共轭对称性有：x t xxRR xxSS

25、xxSS xxRR jjxxxxSRedRedS下面证明非偶性：下面证明非偶性：2.4 2.4 随机信号的功率谱密度随机信号的功率谱密度 ,xRIRRjRcossinjej cossinjxxRISRedRRd cossinjxRIxSRedRRdS 由此，可以证得由此，可以证得 为非偶函数为非偶函数()xS2 2）非负性：）非负性：()0 xS3 3）极限性：）极限性：时时，01(0)()2xxRSd由于由于 表示瞬时功率，有功率谱积分而得，表示瞬时功率，有功率谱积分而得，故故称称 为功率谱。为功率谱。(0)xxDR()xSl判别下列表达式为实信号功率谱的正确表达判别下列表达式为实信号功率谱

26、的正确表达式为：式为：22222cos(3)1()()1(1)1()()121 3ABCD（B）2.4 2.4 随机信号的功率谱密度随机信号的功率谱密度4 4）谱分解定理）谱分解定理 为为 的有理函数，则的有理函数，则 可分解为：可分解为：为一仅在为一仅在 左半平面有零点和极点的有理函数，为左半平面有零点和极点的有理函数，为可实现的因果、稳定的函数。可实现的因果、稳定的函数。注意：互谱密度和功率谱不同，不再是实的、偶的，有注意：互谱密度和功率谱不同，不再是实的、偶的，有 1）2）3）()xS()xS*()()()()()xxxxxSSSSS()xS*()()xyyxSSRe()Re()xyxy

27、SSIm()Im()xyxySS 2.4 2.4 随机信号的功率谱密度随机信号的功率谱密度例例2-5 ,求求PSD。解：0()sin()x tAt1()2p()()()xRE x t x t()()(,)x t x tp xdxd2000sin()sin()()AtAtpd220001cos()cos(2)2)22Atd 20cos()2A 22000cos()()()22AAF 2.5 2.5 随机序列的数字特征随机序列的数字特征2.5.1 2.5.1 随机序列的数字特征随机序列的数字特征2.5.2 2.5.2 随机序列的功率谱密度随机序列的功率谱密度2.5.3 2.5.3 随机信号的比较随

28、机信号的比较-独立独立,不相关不相关,正交正交,相干性相干性2.5 2.5 随机序列的数字特征随机序列的数字特征 2.5.1 2.5.1 随机序列的数字特征随机序列的数字特征 1)1)均值均值(一阶矩一阶矩)2)2)二阶原点矩二阶原点矩(均方值均方值)3)3)方差方差(二阶中心矩二阶中心矩)4)4)自相关函数自相关函数 5)5)自协方差函数自协方差函数()()(,)xm nE x nxp x n dx22()()(,)xD nE xnx p x n dx222()()()()(,)()()xxxxxnE x nm nxm np x n dxD nm n12121 2121212(,)()()(

29、,)xR n nE x n x nx x p x x n n dxdx121122(,)()()()()xxxC n nEx nm nx nm n2.5 2.5 随机序列的数字特征随机序列的数字特征对于平稳随机序列的充要条件对于平稳随机序列的充要条件:1),1),与与n无关；无关；2)2)3)3)例例2-6 ,2-6 ,A,f为常数，为常数，判断判断 的平稳性。的平稳性。解：解：()xxm nm1212(,)()()xxxRn nRnnRm()(0)xxDnR()sin(2)x nAfn1()2p()x n()()()()xmnEx nx npx d x 2.5 2.5 随机序列的数字特征随机

30、序列的数字特征20sin(2)()1sin(2)02xAfnpdxAfnd 12121222121202212(,)()()1sin(2)sin(2)21cos2()cos2()2 22cos2()cos222xRn nE x n x nAfnAfndAf nnf nndAAf nnfm均方值：均方值：所以所以x(n)为平稳序列。为平稳序列。2()(0)2xxADnR 2.5 2.5 随机序列的数字特征随机序列的数字特征 2.5.2 2.5.2 随机序列的功率谱密度随机序列的功率谱密度 设广义平稳序列设广义平稳序列 则：则：其功率谱为：其功率谱为：离散时间随机信号的维纳离散时间随机信号的维纳辛

31、钦定理：辛钦定理：()0()x nNnNx n其 他()()NjjnNnNXex n e2()()lim 2jNjxNXeSeN()()1()()2jjmxxmjjmxxSeRmeRmSeed 2.5 2.5 随机序列的数字特征随机序列的数字特征随机序列的功率谱主要性质如下随机序列的功率谱主要性质如下：1 1）周期性，可做周期性，可做FS分解，分解，正是各次谐波正是各次谐波的系数。的系数。2 2）信号的瞬时功率：）信号的瞬时功率：3 3）谱分解定理：）谱分解定理：令令 为平方幅度函数，可分解为：为平方幅度函数，可分解为：,之中之中 为零极点在单位圆内的因果稳定系统为零极点在单位圆内的因果稳定系

32、统,为零极点在单位圆外的有理函数。为零极点在单位圆外的有理函数。()jxSe()xR m1(0)()2jxxxDRSedjze()()jxxSeSz()()()xxxS zSz Sz()xSz()xSz2.5 2.5 随机序列的数字特征随机序列的数字特征因此随机序列功率谱的计算过程如下：因此随机序列功率谱的计算过程如下：1 1）先对）先对 作作Z变换变换 2 2）令）令 例例2-7 2-7 设一平稳时间序列的自相关函数为：设一平稳时间序列的自相关函数为：求其功率谱求其功率谱 解：解：()xR m()xSzjze()jxS e()10,1,2.mxRmaam()xSw10110()()11111

33、111mmmmmxxmmmmmmSzRm zazazazazazaz 22111()aaa zz221()()12 cosjxxz eaSSzaa2.5 2.5 随机序列的数字特征随机序列的数字特征()0 xyC2.5.3 2.5.3 随机信号的比较随机信号的比较独立独立,不相关不相关,正交正交,相干性相干性1)1)独立独立-随机过程随机过程x(t)和和y(t)统计独立统计独立。(联合概率密度函数）2 2）不相关）不相关随机过程随机过程x(t)和和y(t)统计不相关。若对于统计不相关。若对于所有所有 ,它们的互协方差函数它们的互协方差函数,(,)()()x yxxPx yPxPy2.5 2.5

34、 随机序列的数字特征随机序列的数字特征3 3）正交性）正交性对于所有对于所有 ，互相关函数恒等于零。，互相关函数恒等于零。统计独立意味着统计不相关，反之一般不成立。统计独立意味着统计不相关，反之一般不成立。两个高斯随机过程统计独立两个高斯随机过程统计独立=统计不相关。统计不相关。若若x(t)与与y(t)均值为零，则统计不相关与正交等价均值为零，则统计不相关与正交等价*()()()0 xyREx t yt2.5 2.5 随机序列的数字特征随机序列的数字特征4 4）相干性）相干性 为为 的的 倍的放大或缩小，相差一个固定相位倍的放大或缩小，相差一个固定相位 是是 在时间上延迟在时间上延迟 的结果。

35、的结果。与与 互为相干信号，相干互为相干信号，相干拷贝。拷贝。相干信号的互相关系数为：相干信号的互相关系数为：若若 的互相关系数对于某个的互相关系数对于某个 等于等于1 1，则，则 y(t)为为x(t)的相干信号，且延迟的相干信号，且延迟 ，若，若则则 超前超前 0()()cjy tcx tcc e()y t()x t()y t()x t()y t()x t*00()(),()1(0)xyxyxyxycccc即()()x ty t和000()1,xy()y t()x t00cc2.5 2.5 随机序列的数字特征随机序列的数字特征5)5)由维纳由维纳-辛钦定理知辛钦定理知：自相关自相关 自功率谱

36、密度自功率谱密度 互相关互相关 互功率谱密度互功率谱密度IFTFT相关性强相关性强相关性弱相关性弱功率谱陡峭的功率谱陡峭的 平坦，相关性强平坦，相关性强功率谱平坦的功率谱平坦的 陡峭，相关性弱陡峭，相关性弱()R()R()x 02.6 2.6 随机信号的遍历性随机信号的遍历性2.6.1 2.6.1 总集意义上的数字特征与时间意义上的总集意义上的数字特征与时间意义上的数字特征数字特征2.6.2 2.6.2 平稳随机信号的遍历性平稳随机信号的遍历性2.6 2.6 随机信号的遍历性随机信号的遍历性 2.6.1 2.6.1 总集意义上的数字特征与时间意总集意义上的数字特征与时间意义上的数字特征义上的数

37、字特征 前面讨论的是某时刻上对所有样本进行统计的数字前面讨论的是某时刻上对所有样本进行统计的数字特征特征总集总集意义上的数字特征意义上的数字特征。若信号是平稳的，在时间轴上，对样本函数所有若信号是平稳的，在时间轴上，对样本函数所有时间的取值计算统计特征时间的取值计算统计特征时间意义上的数字特征时间意义上的数字特征 1)1)时间均值时间均值 连续信号：连续信号：离散信号：离散信号：1lim()2TTxTTmx t dtT 1lim()21NTxNnNmx nN2.6 2.6 随机信号的遍历性随机信号的遍历性2)2)时间均方值时间均方值 连续信号：连续信号：离散信号离散信号：3 3）时间自相关性：

38、）时间自相关性：连续信号：连续信号：离散信号：离散信号：同理可定义时间意义上的方差，自协方差等。同理可定义时间意义上的方差，自协方差等。1lim()()2TTxTTRx t x tdtT 1lim()()21NTxNNRx n x nmN21lim()2TTxTTDxtd tT 21lim()21NTxNNDxnN 2.6 2.6 随机信号的遍历性随机信号的遍历性例例2-8 2-8 ，求时间均值，自相关函数。，求时间均值，自相关函数。解：解：0()sin()x tAt01limsin()02TTxTTmAtdtT001()limsin()sin()2TxTTRAtAt tdtT2002011l

39、imcoscos(2)2)22cos2TTTAtdtTA 2.6 2.6 随机信号的遍历性随机信号的遍历性2.6.22.6.2平稳随机信号的遍历性平稳随机信号的遍历性 人们发现，一般平稳随机过程具有人们发现，一般平稳随机过程具有“各态历经各态历经性性”，即如存在一个持续时间足够长的平稳随，即如存在一个持续时间足够长的平稳随机过程的样本函数，在其时间历程中经历了随机过程的样本函数，在其时间历程中经历了随机过程的各种可能状态，那么，这一段足够长机过程的各种可能状态，那么，这一段足够长的样本函数已包含了所有其它样本函数的可能的样本函数已包含了所有其它样本函数的可能信息，因此，可设想将这一持续时间足够

40、长的信息，因此，可设想将这一持续时间足够长的样本函数分成样本函数分成n n段，构成段，构成n n个时间历程个时间历程t t的样本函的样本函数，不难看出，由这数，不难看出，由这n n个样本函数得到的总集平个样本函数得到的总集平均统计特性和这一时间的样本函数的时间统计均统计特性和这一时间的样本函数的时间统计平均特性是一样的，辛钦证明了这一点。各态平均特性是一样的，辛钦证明了这一点。各态历经性有严格意义和广泛意义下的定义：历经性有严格意义和广泛意义下的定义：2.6 2.6 随机信号的遍历性随机信号的遍历性定义定义1 1（严格遍历性（或各态历经性）（严格遍历性（或各态历经性）随机信号的各种时间数字特征

41、（时间足够长）依随机信号的各种时间数字特征（时间足够长）依 概率概率1 1收敛于相应的总集数字特征收敛于相应的总集数字特征严格遍历随严格遍历随机信号。机信号。定义定义2 2（广义遍历性）（广义遍历性）随机信号的时间均值和自相关函数等于总集均值随机信号的时间均值和自相关函数等于总集均值和自相关函数和自相关函数广义遍历随机信号广义遍历随机信号2.6 2.6 随机信号的遍历性随机信号的遍历性1）连续信号：）连续信号：2）离散信号：）离散信号：1()lim()2TTxTTmE x tx t dtT1()()()lim()()2TTxTTRE x t x tx t x tdtT1()lim()21NNx

42、NNmE x nx nN1()()()lim()()21NNxNNRmE x n x nmx n x nmN2.6 2.6 随机信号的遍历性随机信号的遍历性例2-9 设 ，其中 是平稳随机信号，为与 无关的随机变量,，讨论 的遍历性解：()()z tx ty()x ty()x t2(),()yE ymE y z2(),()()()()()()(,)()()()()()()()()()2(0)(0)2xxzxyzxxyyzxE x tmRE x t x tm tE z tE x tymmR t tE z t z tEx ty x tyE x t x tx t yyx tyRm mDRRm,()x

43、yymDz t 所以平稳2.6 2.6 随机信号的遍历性随机信号的遍历性()1lim()21 lim()2(),TTzTTTTTTzztmx ty dtTx t dtyyTmm tz求z的时间均值由于 随机不是常数，也不等于所以，不是广义遍历的。2.6 2.6 随机信号的遍历性随机信号的遍历性22 10()sin(2)0 2 260,211()sin(2)021211 ()sin(221limlimlimxxNNTxNNnNnNTxNx nAfnAfAmR mfmmx nAfnNNRmAfN例-讨论的遍历性.其中,、为常数，为，的均匀分布的随机变量。解：由例知，(n)()=cos(2)其时间均

44、值 =22)sin(2()1 cos(2)cos2(2)2212 cos2(),()2limNnNNNnNxnAf nmAfmfnfmNAfmR mx n所以为广义遍历2.7 2.7 几种常见的随机信号几种常见的随机信号l白噪声白噪声l限带白噪声限带白噪声l高斯随机信号高斯随机信号l高斯高斯马尔可夫随机信号马尔可夫随机信号l马尔可夫随机序列马尔可夫随机序列2.7 2.7 几种常见的随机信号几种常见的随机信号1.1.白噪声白噪声 随机性很强的平稳信号，其特点为随机性很强的平稳信号，其特点为均值为零，均值为零，功率谱为常数功率谱为常数。连续 或 离散 对应的自相关函数：()xSA2()xS白谱白谱

45、000000001()lim()lim22jjxxARSeded2.7 2.7 几种常见的随机信号几种常见的随机信号=同理，对应离散白噪声 ，可由付氏反变换导出：0000lim2jjAeej 000sinlim()xAA 2()xS2()()xxR mm2.7 2.7 几种常见的随机信号几种常见的随机信号2.2.限带白噪声限带白噪声 1()0 xAS其它21()0 xS其它连续离散有11sin()xRA11sin()xmR mAm2.7 2.7 几种常见的随机信号几种常见的随机信号3.3.高斯随机信号高斯随机信号 概率密度函数是正态分布(高斯分布)一阶：方差：为其均值。高阶：22()1()ex

46、p22xxmp x2xDxm1122111()exp()()22TxxxnxP xxmCxmC12,.,Tnxx xx12(),(),.,()TxnmE xE xE x2.7 2.7 几种常见的随机信号几种常见的随机信号协方差矩阵：主对角线上为：方差，或 1 11212122212cov()cov().cov()cov()cov().cov().cov()cov().cov()nnxnnnnx xx xx xx xx xx xCx xx xx x正定正定12()().()nD XD XD X()()xiijjCExmxm2.7 2.7 几种常见的随机信号几种常见的随机信号4.4.高斯高斯马尔可

47、夫随机信号（又称指数型马尔可夫随机信号（又称指数型平稳平稳 高斯信号）高斯信号）具有指数型自相关函数的平稳高斯信号具有指数型自相关函数的平稳高斯信号 ，为常数。5.5.马尔可夫随机序列马尔可夫随机序列 如果一个随机序列如果一个随机序列 ，其任意时刻的样本随，其任意时刻的样本随机变量的条件概率密度函数具有如下特性：机变量的条件概率密度函数具有如下特性：称称 为马尔可夫序列。为马尔可夫序列。()xRe,x n 1,1,01p x nx nx nxp x nx n x n2.7 2.7 几种常见的随机信号几种常见的随机信号由上式可导出：由上式可导出：（1 1）马氏序列的联合概率密度可用初始概率密）马

48、氏序列的联合概率密度可用初始概率密度度 与条件概率密度与条件概率密度 表示：表示：0p x 1p x kx k 3,2,1,03,2,100p xxxxp xxxxp x 3,21,0100p xxxxp xxp x 32,1,021,0100p xxxxp xxxp xxp x 3221100p xxp xxp xxp x 3,21,0100p xxxxp xxp x 32,1,021,0100p xxxxp xxxp xxp x 3,2,1,03,2,100p xxxxp xxxxp x 3,21,0100p xxxxp xxp x 32,1,021,0100p xxxxp xxxp xx

49、p x2.7 2.7 几种常见的随机信号几种常见的随机信号(2)若若条件概率密度与起始时间无关条件概率密度与起始时间无关平稳马氏序列平稳马氏序列。对于对于正态马氏序列正态马氏序列(即即 与与 均为正态分布的马氏序列均为正态分布的马氏序列)，自相关函数满足：自相关函数满足：若这一序列还是若这一序列还是平稳平稳的，有的，有 1,1,.,01E x nx n x nxE x nx n 11,p x n x np x nkx nkk 整数 p x n 1p x n x n1,xxxxRk n Rn n Rn iRk i 10 xxxxR k n RR n iR k i2.72.7几种常见的随机信号几种

50、常见的随机信号例2-11 高斯马尔可夫信号 的自相关函数为 ，试求其一阶、三阶概率密度函数，解：一阶：三阶：x k 2200 xRe123,p x x x 1230,0.5,1xxxxxx 0 xxmR 0200 xxDR 21exp2 20020 xp x11233111,exp22Tp x x xX C XC123,TXxxx2.7 2.7 几种常见的随机信号几种常见的随机信号 2121121 32112 1223223 1323 0 0.5 1200 200 200 0.5 0 0.5200 200 200200 21 0 0 xxxxxxxxxE xE x xE x xRRReeCE