2019年高考数学一轮复习第7章立体几何第2节空间图形的基本关系与公（理科）学案（理科）北师大版.doc

1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 第二节 空间图形的基本关系与公理 考纲传真 (教师用书独具 )1.理解空间直线、平面位置关系的定义 .2.了解可以作为推理依据的公理和定理 .3.能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间位置关系的简单命题 (对应学生用书第 108 页 ) 基础知识填充 1空间图形的公理 (1)公理 1：如果一条直线上的 两点 在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内 (即直线在平面内 ) (2)公理 2：经过 不在同一条直线上 的三点，有且只有一个平面 (即可以确定一个平面 ) (3)公理 3：如果两个不重合的平面有 一个 公共 点，那么它们有且只有一条通过这个点

2、的公共直线 (4)公理 4：平行于同一条直线的两条直线平行 推论 1：经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面 推论 2：经过两条相交直线，有且只有一个平面 推理 3：经过两条平行直线，有且只有一个平面 (5)等角定理 空间中，如果两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角 相等或互补 2空间点、直线、平面之间的位置关系 直线与直线 直线与平面 平面与平面 平行关系 图形 语言 符号 语言 a b a 相交关系 图形 语言 符号 语言 a b A a A l 独有关图形 语言 符号 a， b 是异面 a =【 ;精品教育资源文库 】 = 系 语言 直线 3.异面直线所成的角 (1)定义：设

3、 a， b 是两条异面直线，经过空间中任一点 O 作直线 a a， b b，把 a 与 b 所成的 锐角 (或直角 )叫作异面直线 a 与 b 所成的角 (2)范围： ? ?0， 2 . 知识拓展 1唯一性定理 (1)过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行 (2)过直线外一点有且只有 一个平面与已知直线垂直 (3)过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行 (4)过平面外一点有且只有一条直线与已知平面垂直 2异面直线的判定定理 经过平面内一点的直线与平面内不经过该点的直线互为异面直线 基本能力自测 1 (思考辨析 )判断下列结论的正误 (正确的打 “” ，错误的打 “”) (1)两个平面

4、， 有一个公共点 A，就说 ， 相交于过 A 点的任意一条直线 ( ) (2)两两相交的三条直线最多可以确定三个平面 ( ) (3)如果两个平面有三个公共点，则这两个平面重合 ( ) (4)若 直线 a 不平行于平面 ，且 a?/ ，则 内的所有直线与 a 异面 ( ) 答案 (1) (2) (3) (4) 2 (教材改编 )如图 721 所示，在正方体 ABCDA1B1C1D1中， E， F 分别是 AB， AD 的中点，则异面直线 B1C 与 EF 所成的角的大小为 ( ) 图 721 A 30 B 45 C 60 D 90 C 连接 B1D1， D1C(图略 )，则 B1D1 EF，故

5、D1B1C 为所求的角，又 B1D1 B1C D1C， D1B1C 60. 3在下列命题中，不是公理的是 ( ) A平行于同一个平面的两个平面相互平行 =【 ;精品教育资源文库 】 = B过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面 C如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在此平面内 D如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线 A A 不是公理，是个常用的结论，需经过推理论证； B， C， D 是平面的基本性质公理 4已知直线 a 和平面 ， ， l， a?/ ， a?/ ，且 a 在 ， 内的射影分别为直线 b 和 c，则直线 b 和 c 的位

6、置关系是 ( ) A相交或平行 B相交或异面 C平行或异面 D相交、平行或异面 D 依题意，直线 b 和 c 的位置关系可能是相交、平行或异面 5 (2016 山东高考 )已知直线 a， b 分别在两个不同的平面 ， 内，则 “ 直线 a 和直线b 相交 ” 是 “ 平面 和平面 相交 ” 的 ( ) A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 A 由题意知 a ， b ，若 a， b 相交，则 a， b 有公共点，从而 ， 有公共点，可得出 ， 相交；反之，若 ， 相交，则 a， b 的位置关系可能为平 行、相交或异面因此 “ 直线 a 和直线 b 相交 ” 是

7、“ 平面 和平面 相交 ”的充分不必要条件故选 A (对应学生用书第 109 页 ) 平面的基本性质及应用 如图 722，正方体 ABCDA1B1C1D1中， E， F 分别是 AB 和 AA1的中点求证： 图 722 (1)E， C， D1， F 四点共面； (2)CE， D1F， DA 三线共点 证明 (1)如图，连接 EF， CD1， A1B. E， F 分别是 AB， AA1的中点， =【 ;精品教育资源文库 】 = EF BA1. 又 A1B D1C， EF CD1， E， C， D1， F 四点 共面 (2) EF CD1， EFCD1， CE 与 D1F 必相交，设交点为 P，

8、则由 P 直线 CE， CE 平面 ABCD， 得 P 平面 ABCD. 同理 P 平面 ADD1A1. 又平面 ABCD 平面 ADD1A1 DA， P 直线 DA， CE， D1F， DA 三线共点 规律方法 1.证明线共面或点共面的常用方法 直接法：证明直线平行或相交，从而证明线共面 . 纳入平面法：先确定一个平面，再证明有关点、线在此平面内 . 辅助平面法：先证明有关的点、线确定平面 ，再证明其余元素确定平面 ，最后证明平面 ， 重合 . 2.证明点共线问题的常用方法 基本性质法：一般转化为证明这些点是某两个平面的公共点，再根据基本性质 3 证明这些点都在这两个平面的交线上 . 纳入直

9、线法：选择其中两点确定一条直线，然后证明其余点也在该直线上 . 3.证明三线共点问题常用的方法：先证其中两条直线交于一点，再证交点在第三条直线上 . 跟踪训练 如图 723，空间四边形 ABCD 中， E， F 分别是 AB， AD 的中点， G， H 分别在BC， CD 上，且 BG GC DH HC 12. 图 723 (1)求证： E， F， G， H 四面共面； (2)设 EG 与 FH 交于点 P，求证： P， A， C 三点共线 =【 ;精品教育资源文库 】 = 证明 (1)因为 E， F 分别为 AB， AD 的中点， 所以 EF BD. 在 BCD 中， BGGC DHHC 1

10、2， 所以 GH BD， 所以 EF GH. 所以 E， F， G， H 四点共面 (2)因为 EG FH P， P EG， EG 平面 ABC， 所以 P 平面 ABC 同理 P 平面 ADC 所以 P 为平面 ABC 与平面 ADC 的公共点 又平面 ABC 平面 ADC AC， 所以 P AC， 所以 P， A， C 三点共线 空间两直线的位置关系 (1)(2018 东北三省三校二联 ) 是一个平面， m， n 是两条直线， A 是一个点若m?/ ， n ，且 A m， A ，则 m， n 的位置关系不可能是 ( ) 【导学号： 79140224】 A垂直 B相交 C异面 D平行 (2)

11、(2017 河北邯郸调研 )如图 724，在三棱锥 SABC 中， G1， G2分别是 SAB 和 SAC 的重心，则直线 G1G2与 BC 的位置关系是 ( ) 图 724 A相交 B平行 C异面 D以上都有可能 (1)D (2)B (1)由于 A m， A ， m?/ ，则有 m 与 相交，而 n ，那么=【 ;精品教育资源文库 】 = m， n 的位置关系只可能是相交 (包括垂直 )或异面，不可能平行，故选 D. (2)连接 SG1并延长交 AB 于 M，连接 SG2并延长交 AC 于 N，连接 MN(图略 )由题意知SM 为 SAB 的中线，且 SG1 23SM， SN 为 SAC 的

12、中线，且 SG2 23SN， 在 SMN 中，SG1SMSG2SN， G1G2 MN， 易知 MN 是 ABC 的中位线， MN BC， 因此可得 G1C2 BC，即直线 G1G2与 BC 的位置关系是平行故选 B. 规律方法 跟踪训练 如图 725，在正方体 ABCDA1B1C1D1中， M， N 分别为棱 C1D1， C1C 的中点，有以下四个结论： 图 725 直线 AM 与 CC1是相交直线； 直线 AM 与 BN 是平行直线； 直线 BN 与 MB1是异面直线； 直线 AM 与 DD1是异面直线 其中正确的结论的序号为 _ 直线 AM 与 CC1是异面直线，直线 AM 与 BN 也是

13、异面直线，所以 错误点B， B1， N 在 平面 BB1C1C 中，点 M 在此平面外，所以 BN， MB1是异面直线同理 AM，DD1也是异面直线 异面直线所成的角 =【 ;精品教育资源文库 】 = (1)(2017 全国卷 ) 已知直三棱柱 ABCA1B1C1中， ABC 120 ， AB 2， BC CC1 1，则异面直线 AB1与 BC1所成角的余弦值为 ( ) A 32 B 155 C 105 D 33 (2)(2018 南京、钦州第二次适应性考试 )已知底面是边长为 2 的正方形的四棱锥PABCD 中，四棱锥的侧棱长都为 4， E 是 PB 的中点，则异面直线 AD 与 CE 所成

14、角的余弦值为 ( ) A 64 B 33 C 12 D 22 (1)C (2)A (1)法一：将直三棱柱 ABCA1B1C1补形为直四棱柱 ABCDA1B1C1D1，如图 (1)所示，连接 AD1， B1D1， BD. (1) 由题意知 ABC 120 ， AB 2， BC CC1 1， 所以 AD1 BC1 2， AB1 5， DAB 60. 在 ABD 中，由余弦定理知 BD2 22 12 221cos 60 3，所以 BD 3，所以B1D1 3. 又 AB1与 AD1所成的角即为 AB1与 BC1所成的角 ， 所以 cos AB21 AD21 B1D212 AB1 AD1 5 2 32 5 2105 . 故选 C 法 二：以 B1为坐标原点， B1C1所在的直线为 x 轴，垂直于 B1C1的直线为 y 轴， BB1所在的直线为 z 轴建立空间直角坐标系，如图 (2)所示 =【 ;精品教育资源文库 】 = (2) 由已知条件知 B1(0,0,0)， B(0,0,1)， C1(1,0