2019年高考数学一轮复习第7章立体几何初步热点探究课4立体几何中的高考热点问题学案（文科）北师大版.doc

1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 热点探究课 (四 ) 立体几何中的高考热点问题 (对应学生用书第 107 页 ) 命题解读 1.立体几何初步是高考的重要内容，几乎每年都考查一个解答题，两个选择或填空题，客观题主要考查空间概念，三视图及简单计算；解答题主要采用 “ 论证与计算 ” 相结合的模式，即利用定义、公理、定理证明空间线线、线面、面面平行或垂直，并与几何体的性质相结合考查几何体的计算 .2.重在考查学生的空间想象能力、逻辑推理论证能力及数学运算能力考查的热点是以几何体为载体的垂直、平行的证明、平面图形的折叠、探索开放性问题等；同时考查转化化归思想与 数形结合的思想方法 热点 1 线面位置

2、关系与体积计算 (答题模板 ) 以空间几何体为载体，考查空间平行与垂直关系是高考的热点内容，并常与几何体的体积计算交汇命题，考查学生的空间想象能力、计算与数学推理论证能力，同时突出转化与化归思想方法的考查，试题难度中等 (本小题满分 12 分 )(2018 长春模拟 )如图 1，四边形 ABCD 为菱形， G 为 AC 与 BD的交点， BE 平面 ABCD 图 1 (1)证明：平面 AEC 平面 BED； (2)若 ABC 120 ， AE EC，三棱锥 EACD 的体积为 63 ，求该三棱锥的侧面积 【导学号： 00090256】 思路点拨 (1)注意到四边形 ABCD 为菱形，联想到对角

3、线垂直，从而进一步证线面垂直，面与面垂直； (2)根据几何体的体积求得底面菱形的边长，计算侧棱，求出各个侧面的面积 规范解答 (1)证明：因为四边形 ABCD 为菱形，所以 AC BD 因为 BE 平面 ABCD， AC 平面 ABCD，所以 AC BE. 2 分 因为 BD BE B，故 AC 平面 BED 又 AC 平面 AEC， 所以平面 AEC 平面 BED 4 分 (2)设 AB x， 在菱形 ABCD 中，由 ABC 120 ，可得 AG GC 32 x， GB GD x2. 因为 AE EC，所以在 Rt AEC 中，可得 EG 32 x. 6 分 =【 ;精品教育资源文库 】

4、= 由 BE 平面 ABCD，知 EBG 为直角三角形，可得 BE 22 x. 由已知得，三棱锥 EACD 的体积 V 三棱锥 EACD 13 12 AC GD BE 624x3 63 ，故 x 2. 9 分 从而可得 AE EC ED 6. 所以 EAC 的面积为 3， EAD 的面积与 ECD 的面积均为 5. 故三棱锥 EACD 的侧面积为 3 2 5. 12 分 答题模板 第一步：由线面垂直的性质，得线线垂直 AC BE. 第二步：根据线面垂直、面面垂直的判定定理证明平面 AEC 平面 BED 第三步：利用棱锥的体积求出底面菱形的边长 第四步：计算各个侧面三角形的面积，求得四棱锥的侧面

5、积 第五步：检验反思，查看关键点，规范 步骤 温馨提示 1.在第 (1)问，易忽视条件 BD BE B， AC 平面 AEC，造成推理不严谨，导致扣分 2正确的计算结果是得分的关键，本题在求三棱锥的体积与侧面积时，需要计算的量较多，防止计算结果错误失分，另外对于每一个得分点的解题步骤一定要写全阅卷时根据得分点评分，有则得分，无则不得分 对点训练 1 如图 2，在三棱柱 ABCA1B1C1中，侧棱垂直于底面， AB BC， AA1 AC 2， BC 1， E， F 分别是 A1C1， BC 的中点 图 2 (1)求证：平面 ABE 平面 B1BCC1； (2)求证： C1F 平面 ABE； (3

6、)求三棱锥 EABC 的体积 解 (1)证明：在三棱柱 ABCA1B1C1中，因为 BB1 底面 ABC， AB 平面 ABC， 所以 BB1 AB 2 分 又因为 AB BC， BB1 BC B， 所以 AB 平面 B1BCC1.又 AB 平面 ABE， 所以平面 ABE 平面 B1BCC1. 4 分 =【 ;精品教育资源文库 】 = (2)证明：取 AB 的中点 G，连接 EG， FG. 因为 G， F 分别是 AB， BC 的中点， 所以 FG AC，且 FG 12AC 因为 AC A1C1，且 AC A1C1， 所以 FG EC1，且 FG EC1， 6 分 所以四边形 FGEC1为平

7、行四边形， 所以 C1F EG. 又因为 EG 平面 ABE， C1F 平面 ABE， 所以 C1F 平面 ABE. 8 分 (3)因为 AA1 AC 2， BC 1， AB BC， 所以 AB AC2 BC2 3， 10 分 所以三棱锥 EABC 的体积 V 13S ABC AA1 13 12 312 33 . 12 分 热点 2 平面图形折叠成空间几何体 先将平面图形折叠成空间几何体，再以其为载体研究其中的线、面间的位置关系与计算有关的几何量，是近几年高考考查立体几何的一类重要考向，它很好地将平面图形拓展成空间图形，同时也为空间立体图形向平面图形转化提供了具体形象的途径，是高考深层次上考查

8、空间想象能力的主要方向 如图 3，在长方形 ABCD 中， AB 2， BC 1， E 为 CD 的中点， F 为 AE 的中点现沿AE 将三角形 ADE 向上折起，在折起的图形中解答下列问题： 图 3 (1)在线段 AB 上是 否存在一点 K，使 BC 平面 DFK？若存在，请证明你的结论；若不存在，请说明理由； (2)若平面 ADE 平面 ABCE，求证：平面 BDE 平面 ADE. =【 ;精品教育资源文库 】 = 解 (1)如图，线段 AB 上存在一点 K，且当 AK 14AB 时， BC 平面 DFK. 1 分 证明如下： 设 H 为 AB 的中点，连接 EH，则 BC EH. AK

9、 14AB， F 为 AE 的中点， KF EH， KF BC 3 分 KF 平面 DFK， BC 平面 DFK， BC 平面 DFK. 5 分 (2)证明： 在折起前的图形中 E 为 CD 的中点， AB 2， BC 1， 在折起后的图形中， AE BE 2， 从而 AE2 BE2 4 AB2， AE BE. 8 分 平面 ADE 平面 ABCE，平面 ADE 平面 ABCE AE， BE 平面 ADE. BE 平面 BDE， 平面 BDE 平面 ADE. 12 分 规律方法 1.解决与折叠有关的问题的关键是搞清折叠前后的变化量和不变量，一般情况下，线段的长度是不变量，而位置关系往往会发生变

10、化，抓住不变量是解决问题的突破口 2在解决问题时， 要综合考虑折叠前后的图形，既要分析折叠后的图形，也要分析折叠前的图形 对点训练 2 (2016 全国卷 )如图 4，菱形 ABCD 的对角线 AC 与 BD 交于点 O，点 E， F分别在 AD， CD 上， AE CF， EF 交 BD 于点 H.将 DEF 沿 EF 折到 D EF 的位置 图 4 (1)证明： AC HD ； (2)若 AB 5， AC 6， AE 54， OD 2 2，求五棱锥 D ABCFE 的体积 . 【导学号： 00090257】 =【 ;精品教育资源文库 】 = 解 (1)证明：由已知得 AC BD， AD C

11、D 2 分 又由 AE CF 得 AEAD CFCD， 故 AC EF. 由此得 EF HD，故 EF HD ，所以 AC HD. 5 分 (2)由 EF AC 得 OHDO AEAD 14. 由 AB 5， AC 6 得 DO BO AB2 AO2 4. 7 分 所以 OH 1， D H DH 3. 于是 OD 2 OH2 (2 2)2 12 9 D H2， 故 OD OH. 由 (1)知 AC HD ，又 AC BD， BD HD H， 所以 AC 平面 BHD ，于是 AC OD. 又由 OD OH， AC OH O， 所以 OD 平面 ABC 又由 EFAC DHDO得 EF 92.

12、10 分 五边形 ABCFE 的面积 S 1268 12 923 694 . 所以五棱锥 D ABCFE 的体积 V 13 694 2 2 23 22 . 12 分 热点 3 线、面位置关系中的开放存在性问题 是否存在某点或某参数，使得某种线、面位置关系成立问题，是近几年高考命题的热点，常以解答题中最后一问的形式出现，一般有三种类型： (1)条件追溯型 (2)存在探索型 (3)方法类比探索型 (2018 秦皇岛模拟 )如图 5 所示，在四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 是边长为 a 的正方形，侧面 PAD 底面 ABCD，且 E， F 分别为 PC， BD 的中点 图 5 (1)求证：

13、EF 平面 PAD； (2)在线段 CD 上是 否存在一点 G，使得平面 EFG 平面 PDC？若存在，请说明其位置，并加以证明；若不存在，请说明理由 解 (1)证明：如图所示，连接 AC，在四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 是边长为 a 的正方=【 ;精品教育资源文库 】 = 形，且点 F 为对角线 BD 的中点 . 2 分 所以对角线 AC 经过点 F. 又在 PAC 中，点 E 为 PC 的中点， 所以 EF 为 PAC 的中位线， 所以 EF PA 又 PA 平面 PAD， EF 平面 PAD， 所以 EF 平面 PAD 5 分 (2)存在满足要求的点 G. 在线段 CD 上存在

14、一点 G 为 CD 的中点，使得平面 EFG 平面 PDC 因为底面 ABCD 是边长为 a 的正方形， 所以 CD AD 7 分 又侧面 PAD 底面 ABCD， CD 平面 ABCD，侧面 PAD 平面 ABCD AD， 所以 CD 平面 PAD 又 EF 平面 PAD，所以 CD EF. 取 CD 中点 G，连接 FG， EG. 9 分 因为 F 为 BD 中点， 所以 FG AD 又 CD AD，所以 FG CD， 又 FG EF F， 所以 CD 平面 EFG， 又 CD 平面 PDC， 所以平面 EFG 平面 PDC 12 分 规律方法 1.在立体几何的平行关系问题中 ， “ 中点

15、 ” 是经常使用的一个特殊点，通过找 “ 中点 ” ，连 “ 中点 ” ，即可出现平行线，而线线平行是平行关系的根本 2第 (2)问是探索开放性问题，采用了先猜后证，即先观察与尝试给出条件再加以证明，对于命题结论的探索，常从条件出发，探索出要求的结论是什么，对于探索结论是否存在，求解时常假设结论存在，再寻找与条件相容或者矛盾的结论 对点训练 3 (2017 湖南师大附中检测 )如图 6，四棱锥 SABCD 的底面是正方形，每条侧棱的长都是底面边长的 2倍， P 为侧棱 SD 上的点 =【 ;精品教育资源文库 】 = 图 6 (1)求证 ： AC SD； (2)若 SD 平面 PAC，则侧棱 SC 上是否存在一点 E，使得 BE 平面 PAC？若存在，求 SEEC；若不存在，请说明理由 . 【导学号： 00090258】 证明 (1)连接 BD，设 AC 交 BD 于点 O，连接 SO