2019年高考数学一轮复习第7章立体几何初步第3节空间图形的基本关系与公（理科）学案（文科）北师大版.doc

1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 第三节 空间图形的基本关系与公理 考纲传真 1.理解空间直线、平面位置关系的定义 .2.了解可以作为推理依据的公理和定理 .3.能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间位置关系的简单命题 (对应学生用书第 98 页 ) 基础知识填充 1空间图形的公理 (1)公理 1：如果一条直线上的 两点 在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内 (即直线在平面内 ) (2)公理 2：经过 不在同一条直线上 的三点，有且只有一个平面 (即可以确定一个平面 ) (3)公理 3：如果两个不重合的平面有 一个 公共点，那么它 们有且只有一条通过这个点的公共直线 (4)公

2、理 4：平行于同一条直线的两条直线平行 推论 1：经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面 推论 2：经过两条相交直线，有且只有一个平面 推论 3：经过两条平行直线，有且只有一个平面 (5)等角定理 空间中，如果两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角 相等或互补 2空间点、直线、平面之间的位置关系 直线与直线 直线与平面 平面与平面 平行关系 图形语言 符号语言 a b a 相交关系 图形语言 符号语言 a b A a A l 独有关系 图形语言 符号语言 a， b 是异面直线 a 3. 异面直线所成的角 (1)定义：过空间任意一点 P 分别引两条异面直线 a， b 的平行线 l1，

3、l2(a l1， b l2)，这两条相交直线所成的锐角 (或直角 )就是异面直线 a， b 所成的角 =【 ;精品教育资源文库 】 = (2)范围： ? ?0， 2 . 知识拓展 异面直线的判定定理 经过平面内一点的直线与平面内不经过该点的直线互为异面直线 基 本能力自测 1 (思考辨析 )判断下列结论的正误 (正确的打 “” ，错误的打 “”) (1)两个平面 ， 有一个公共点 A，就说 ， 相交于过 A 点的任意一条直线 ( ) (2)两两相交的三条直线最多可以确定三个平面 ( ) (3)如果两个平面有三个公共点，则这两个平面重合 ( ) (4)若直线 a 不平行于平面 ，且 a ，则 内

4、的所有直线与 a 异面 ( ) 答案 (1) (2) (3) (4) 2 (教材改编 )如图 731 所示，在正方体 ABCDA1B1C1D1中， E， F 分别是 AB， AD 的中点，则异面直线 B1C 与 EF 所成的角的大小为 ( ) 图 731 A 30 B 45 C 60 D 90 C 连接 B1D1， D1C，则 B1D1 EF，故 D1B1C 为所求的角，又 B1D1 B1C D1C， D1B1C 60. 3在下列命题中，不是公理的是 ( ) A平行于同一个平面的两个平面相互平行 B过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面 C如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所

5、有的点都在此 平面内 D如果两个不重合的平 面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的 公共直线 A A 不是公理，是个常用的结论，需经过推理论证； B， C， D 是平面的基本性质公理 4 (2016 山东高考 )已知直线 a， b 分别在两个不同的平面 ， 内，则 “ 直线 a 和直线b 相交 ” 是 “ 平面 和平面 相交 ” 的 ( ) A充分不必要条件 B必要不充分条件 =【 ;精品教育资源文库 】 = C充要条件 D既不充分也不必要条件 A 由题意知 a ， b ，若 a， b 相交，则 a， b 有公共点，从而 ， 有公共点，可得出 ， 相交；反之，若 ， 相交，则 a， b

6、的位置关系可能为 平行、相交或异面因此 “ 直线 a和直线 b相交 ” 是 “ 平面 和平面 相交 ” 的充分不必要条件故选 A 5若直线 a b，且直线 a 平面 ，则直线 b 与平面 的位置关系是 _ b 与 相交或 b 或 b (对应学生用书第 99 页 ) 空间图形的公理及应用 (1)以下命题中，正确命题的个数是 ( ) 不共面的四点中，其中任意三点不共线； 若点 A， B， C， D 共面，点 A， B， C， E 共面，则 A， B， C， D， E 共面； 若直线 a， b 共面，直线 a， c 共面，则直线 b， c 共面； 依次首尾相接 的四条线段必共面 A 0 B 1 C

7、2 D 3 (2)如图 732，正方体 ABCDA1B1C1D1中， E， F 分别是 AB 和 AA1的中点求证： 图 732 E， C， D1， F 四点共面； CE， D1F， DA 三线共点 B (1) 中若有三点共线，则四点共面，不合题意，故 正确； 中若点 A， B， C 在同一条直线上，则 A， B， C， D， E 不一定共面，故 错误； 中，直线 b， c 可能是异面直线，故 错误； 中，当四条线段构成空间四边形时，四条线段不共面，故 错误 (2) 如图，连接 EF， CD1， A1B =【 ;精品教育资源文库 】 = E， F 分别是 AB， AA1的中点， EF BA1.

8、 又 A1B D1C， EF CD1， E， C， D1， F 四点共面 EF CD1， EFCD1， CE 与 D1F 必相交，设交点为 P， 则由 P 直线 CE， CE 平面 ABCD， 得 P 平面 ABCD 同理 P 平面 ADD1A1. 又平面 ABCD 平面 ADD1A1 DA， P 直线 DA， CE， D1F， DA 三线共点 规律方法 1.证明线共面或点共面的常用方法： (1)直接法：证明 直线平行或相交，从而证明线共面 (2)纳入平面法：先确定一个平面，再证明有关点、线在此平面内 (3)辅助平面法：先证明有关的点、线确定平面 ，再证明其余元素确定平面 ，最后证明平面 ，

9、重合 2证明点共线问题的常用方法： (1)基本性质法：一般转化为证明这些点是某两个平面的公共点，再根据基本性质 3 证明这些点都在这两个平面的交线上 (2)纳入直线法：选择其中两点确定一条直线，然后证明其余点也在该直线上 变式训练 1 (1)(2018 上饶模拟 )如图 733 所示，在四面体 ABCD 中作截面 PQR，若 PQ与 CB 的延长线交于点 M， RQ 与 DB 的延长线交于点 N， RP 与 DC 的延长线交于点 K.给出以下命题： 图 733 直线 MN 平面 PQR； =【 ;精品教育资源文库 】 = 点 K 在直线 MN 上； M， N， K， A 四点共面 其中正确结论

10、的序号为 _ 【导学号： 00090240】 由题意知， M PQ， N RQ， K RP， 从而点 M， N， K 平面 PQR. 所以直线 MN 平面 PQR，故 正确 同理可得点 M， N， K 平面 BCD 从而点 M， N， K 在平面 PQR 与平面 BCD 的交线上，即点 K 在直 线 MN 上，故 正确 因为 A?直线 MN，从而点 M， N， K， A 四点共面，故 正确 (2)如图 734 所示，四边形 ABEF 和 ABCD 都是梯形， BC 綊 12AD， BE 綊 12FA， G， H 分别为FA， FD 的中点 证明：四边形 BCHG 是平行四边形； C， D， F

11、， E 四点是否共面？为什么？ 图 734 解 (1)证明：由已知 FG GA， FH HD，得 GH 綊 12AD 又 BC 綊 12AD， GH 綊 BC， 四边 形 BCHG 是平行四边形 (2)C， D， F， E 四点共面，理由如下： 由 BE 綊 12AF， G 为 FA 的中点知 BE 綊 GF， 四边形 BEFG 为平行四边形， EF BG. =【 ;精品教育资源文库 】 = 由 (1)知 BG CH， EF CH， EF 与 CH 共面 又 D FH， C， D， F， E 四点共面 空间直线的位置关系 (1)(2018 金华模拟 )已知 a， b， c 为三条不同的直线，且

12、 a 平面 ， b 平面 ， c，给出下列命题： 若 a 与 b 是异面直线，则 c 至少与 a， b 中的一条相交； 若 a 不垂直于 c， 则 a 与 b 一定不垂直； 若 a b，则必有 a C 其中真命题有 _ (填序号 ) 【导学号： 00090241】 (2)(2017 郑州模拟 )在图 735 中， G， H， M， N 分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线 GH， MN 是异面直线的图形有 _(填上所有正确答案的序号 ) 图 735 (1) (2) (1)对于 ，若 c 与 a， b 都不相交，则 c a， c b，从而 a b，这与 a 与 b 是异面直线矛盾，故

13、正确 对于 ， a 与 b 可能异面垂直，故 错误 对于 ，由 a b 可知 a ，又 c，从而 a c，故 正确 (2)图 中，直线 GH MN；图 中， G， H， N 三点共面，但 M?平面 GHN，因此直线 GH 与MN 异面；图 中，连接 MG， GM HN，因此 GH 与 MN 共面；图 中， G， M， N 共面，但 H?平面 GMN，因此 GH 与 MN 异面，所以在图 中， GH 与 MN 异面 规律方法 1.异面直线的判定方法： (1)反证法：先假设两条直线不是异面直线，即两条直线平行或相交，由假设出发，经过严格的推理，导出矛盾，从而否定假设，肯定两条 直线异面 (2)定理

14、：平面外一点 A 与平面内一点 B 的连线和平面内不经过点 B 的直线是异面直线 2点、线、面位置关系的判定，要注意几何模型的选取，常借助正方体为模型，以正方体为主线直观感知并认识空间点、线、面的位置关系 变式训练 2 (2018 烟台模拟 )a， b， c 表示不同的直线， M 表示平面，给出四个命题： 若 a M， b M，则 a b 或 a， b 相交或 a， b 异面； 若 b M， a b，则 a M； 若 a c， b c，则 a b； 若 a M， b M，则 a B 其中正确的为 ( ) =【 ;精品教育资源文库 】 = A B C D A 对于 ，当 a M， b M 时，则 a 与 b 平行、相交或异面， 为真命题 中， b M，a b，则 a M 或 a M，