2019年高考数学一轮复习第6章不等式推理与证明第5节综合法与分析法反证法学案（文科）北师大版.doc

1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 第五节 综合法与分析法、反证法 考纲传真 1.了解直接证明的两种基本方法：综合法和分析法；了解综合法和分析法的思考过程和特点 .2.了解反证法的思考过程和特点 (对应学生用书第 89 页 ) 基础知识填充 1直接证明 内容 综合法 分析法 定义 从命题的 条件 出发，利用 定义、公理、定理及运算法则 ，通过演绎推理，一步一步地接近要证明的 结论 ，直到完成命题的证明我们把这样的思维方法称为综合法 . 从 求证的结论 出发，一步一步地探索保证前一个结论成立的 充分条件 ，直到归结为这个命题的条件，或者归结为定义、公理 、定理等我们把这样的思维方法称为分析法 思维

2、 过程 由因导果 执果索因 框图 表示 P?Q1 Q1?Q2 ? Qn?Q Q?P1 P1?P2 ? 得到一个明显 成立的条件 书写 格式 因为 ? ，所以 ? 或由 ? ，得 ? 要证 ? ，只需证 ? ，即证 ? 2间接证明 间接证明是不同于直接证明的又一类证明方法，反证法是一种常用的间接证明方法 (1)反证法的定义：在假定命题结论 反面成立 的前提下，经过 推理，若推出的结果与定义、公理、定理矛盾，或与命题中的已知条件相矛盾，或与假定相矛盾，从而说明命题结论的反面不可能成立，由此断定命题结论成立的方法叫反证法 (2)用反证法证明的一般步骤： 反设 假设命题的结论不成立； 归谬 根据假设进

3、行推理，直到推出矛盾为止； 结论 断言假设不成立，从而肯定原命题的结论成立 基本能力自测 1 (思考辨析 )判断下列结论的正误 (正确的打 “” ，错误的打 “”) (1)综合法的思维过程是由因导果，逐步寻找已知的必要条件 ( ) (2)分析法是从要证明的结论 出发，逐步寻找使结论成立的充要条件 ( ) (3)用反证法证明时，推出的矛盾不能与假设矛盾 ( ) (4)在解决问题时，常常用分析法寻找解题的思路与方法，再用综合法展现解决问题的过=【 ;精品教育资源文库 】 = 程 ( ) 答案 (1) (2) (3) (4) 2要证 a2 b2 1 a2b20 ，只要证明 ( ) A 2ab 1 a

4、2b20 B a2 b2 1 a4 b42 0 C a b22 1 a2b20 D (a2 1)(b2 1)0 D a2 b2 1 a2b2 0?(a2 1)(b2 1) 0. 3用反证法证明命题： “ 已知 a， b 为实数，则方程 x2 ax b 0 至少有一个实根 ” 时，要做的假设是 ( ) A方程 x2 ax b 0 没有实根 B方程 x2 ax b 0 至多有一个实根 C方程 x2 ax b 0 至多有两个实根 D方程 x2 ax b 0 恰好有两个实根 A “ 方程 x2 ax b 0 至少有一个实根 ” 的反面是 “ 方程 x2 ax b 0 没有实根 ” ，故选 A 4已知

5、a， b， x 均为正数，且 ab，则 ba与 b xa x的大小关系是 _ b xa xba b xa x ba x a ba x a0， b xa xba. 5 (教材改编 )在 ABC 中，三个内角 A， B， C 的对边分别为 a， b， c，且 A， B， C 成等差数列， a， b， c 成等比数列，则 ABC 的形状为 _三角形 【导学号： 00090218】 等边 由题意 2B A C， 又 A B C ， B 3 ，又 b2 ac， 由余弦定理得 b2 a2 c2 2accos B a2 c2 ac， a2 c2 2ac 0，即 (a c)2 0， a c， A C， A B

6、 C 3 ， ABC 为等边三角形 (对应学生用书第 90 页 ) =【 ;精品教育资源文库 】 = 综合法 对于定义域为 0,1的函数 f(x)，如果同时满足： 对任意的 x 0,1，总有 f(x)0 ； f(1) 1； 若 x10 ， x20 ， x1 x21 ，都有 f(x1 x2) f(x1) f(x2)成立，则称函数 f(x)为理想函数 (1)若函数 f(x)为理想函数，证明： f(0) 0； (2)试判断函数 f(x) 2x(x 0,1)， f(x) x2(x 0,1)， f(x) x(x 0,1)是否是理想函数 【导学号： 00090219】 解 (1)证明：取 x1 x2 0，

7、则 x1 x2 01 ， f(0 0) f(0) f(0)， f(0)0. 2 分 又对任意的 x 0,1，总有 f(x)0 ， f(0)0. 于是 f(0) 0. 5 分 (2)对于 f(x) 2x， x 0,1， f(1) 2 不满足新定义中的条件 ， f(x) 2x(x 0,1)不是理想函数 . 7 分 对于 f(x) x2， x 0,1，显然 f(x)0 ，且 f(1) 1.对任意的 x1， x2 0,1， x1 x21 ， f(x1 x2) f(x1) f(x2) (x1 x2)2 x21 x22 2x1x20 ，即 f(x1) f(x2) f(x1 x2) f(x) x2(x 0,

8、1)是理想函数 . 9 分 对于 f(x) x， x 0,1，显然满足条件 .对任意的 x1， x2 0,1， x1 x21 ， 有 f(x1 x2)2 f(x1) f(x2)2 (x1 x2) (x1 2 x1x2 x2) 2 x1x20 ，即 f(x1x2)2 f(x1) f(x2)2， f(x1 x2) f(x1) f(x2)，不满足条件 . f(x) x(x 0,1)不是理想函数 . 11 分 综上， f(x) x2(x 0,1)是理想函数， f(x) 2x(x 0,1)与 f(x) x(x 0,1)不是理想函数 . 12 分 规律方法 综合法是 “ 由因导果 ” 的证明方法，其逻辑依

9、据是三段论式的演绎推理方法，常与分析法结合使用，用分析法探路，综合法书写，但要注意有关定理、性质、结论题设条件的正确运用 变式训练 1 已知函数 f(x) ln(1 x)， g(x) a bx 12x2 13x3，函数 y f(x)与函数 y g(x)的图像在交点 (0,0)处有公共切线 (1)求 a， b 的值； (2)证明： f(x) g(x) 解 (1)f( x) 11 x， g( x) b x x2， 2 分 =【 ;精品教育资源文库 】 = 由题意得? g f ，f g ， 解得 a 0， b 1. 5 分 (2)证明：令 h(x) f(x) g(x) ln(x 1) 13x3 12

10、x2 x(x 1) h( x) 1x 1 x2 x 1 x3x 1. 8 分 所以 h(x)在 ( 1,0)上为增函数 ， 在 (0， ) 上为减函数 h(x)max h(0) 0， h(x) h(0) 0， 即 f(x) g(x). 12 分 分析法 已知 a0，求证： a2 1a2 2 a 1a 2. 证明 要证 a2 1a2 2 a 1a 2， 只需要证 a2 1a2 2 a 1a 2. 2 分 因为 a0，故只需要证 ? ?a2 1a2 2 2 ? ?a 1a 2 2， 即 a2 1a2 4 a2 1a2 4 a2 2 1a2 2 2? ?a 1a 2， 8 分 从而只需要证 2 a2

11、 1a2 2? ?a 1a ， 只需要证 4? ?a2 1a2 2 ? ?a2 2 1a2 ， 即 a2 1a22 ，而上述不等式显然成立，故原不等式成立 12 分 规 律方法 1.当已知条件与结论之间的联系不够明显、直接，或证明过程中所需用的知识不太明确、具体时，往往采用分析法，特别是含有根号、绝对值的等式或不等式，常考虑用分析法 2分析法的特点和思路是 “ 执果索因 ” ，逐步寻找结论成立的充分条件，即从 “ 未知 ”看 “ 需知 ” ，逐步靠拢 “ 已知 ” 或本身已经成立的定理、性质或已经证明成立的结论等，通常采用 “ 欲证 只需证 已知 ” 的格式，在表达中要注意叙述形式的规范性 变

12、式训练 2 已知 ABC 的三个内角 A， B， C 成等差数列， A， B， C 的对边分别为 a， b， C 求证： 1a b 1b c 3a b c. 【导学号： 00090220】 =【 ;精品教育资源文库 】 = 证明 要证 1a b 1b c 3a b c， 即证 a b ca b a b cb c 3，也就是 ca b ab c 1， 3 分 只需证 c(b c) a(a b) (a b)(b c)， 需证 c2 a2 ac b2， 5 分 又 ABC 三内角 A， B， C 成等差数列， 故 B 60 ， 由余弦定理，得 b2 c2 a2 2accos 60 ， 10 分 即

13、b2 c2 a2 ac，故 c2 a2 ac b2成立 于是原等式成立 . 12 分 反证法 设 an是公比为 q 的等比数列 (1)推导 an的前 n 项和公式； (2)设 q1 ，证明数列 an 1不是等比数列 解 (1)设 an的前 n 项和为 Sn， 当 q 1 时， Sn a1 a1 ? a1 na1； 当 q1 时， Sn a1 a1q a1q2 ? a1qn 1， qSn a1q a1q2 ? a1qn， 得， (1 q)Sn a1 a1qn， Sn a1 qn1 q ， Sn ? na1， q 1，a1 qn1 q ， q1.5 分 (2)证明：假设 an 1是等比数列，则对任

14、意的 k N*， (ak 1 1)2 (ak 1)(ak 2 1)， a2k 1 2ak 1 1 akak 2 ak ak 2 1， a21q2k 2a1qk a1qk 1 a1qk 1 a1qk 1 a1qk 1. 8 分 a10 ， 2qk qk 1 qk 1. q0 ， q2 2q 1 0， q 1，这与已知矛盾 假设不成立，故 an 1不是等比数列 . 12 分 规律方法 用反证法证明问题的步骤： (1)反设：假定所要证的结论不成立，而设结论的反面成立； (否定结论 ) (2)归谬：将 “ 反设 ” 作为条件，由此出发经过正确的推理，导出矛盾，矛盾可以是与已=【 ;精品教育资源文库 】 = 知条件、定义、公理、定理及 明显的事实矛盾或自相矛盾； (推导矛盾 ) (3)立论：因为推理正确，所以产生矛盾的原因在于 “ 反设 ” 的谬误既然原命题结论的反面不成立，从而肯定了原命题成立 (命题成立 ) 变式训练 3 已知 a 1，求证三个方程： x2 4ax 4a 3 0， x2 (a 1)x a2 0， x2 2ax 2a 0 中至少有一个方程有实根 证明 假设三个方程都没有实数根，则 ? a 2 4a ，a 2 4a213或 a 1， 2a0，6 分 32a 1. 10 分 这与已知 a 1