2019年高考数学一轮复习第6章不等式推理与证明第4节归纳与类比学案（文科）北师大版.doc

1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 第四节 归纳与类比 考纲传真 1.了解合情推理的含义，能进行简单的归纳推理和类比推理，体会合情推理在数学发现中的作用 .2.了解演绎推理的含义，了解合情推理和演绎推理的联系和差异；掌握演绎推理的 “ 三段论 ” ，能运用 “ 三段论 ” 进行一些简单的演绎推理 (对应学生用书第 87 页 ) 基础知识填充 1归纳推理：根据一类事物中 部分事物 具有某种属性，推断该类事物中 每一个 都有这种属性我们将这种推理方式称为归纳推理简言之，归纳推理是由 部分 到 整体 ，由 个别 到一般 的推理 2类比推理：由于两类不同对象具有 某些类似 的特征 ，在此基础上，根据 一

2、类对象 的其他特征，推断 另一类对象 也具有类似的其他特征，我们把这种推理过程称为类比推理简言之，类比推理是由 特殊到特殊 的推理 3归纳推理和类比推理是最常见的合情推理，合情推理的结果 不一定正确 4演绎推理 (1)定义：从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，我们把这种推理称为演绎推理简言之，演绎推理是由一般到 特殊 的推理 (2)“ 三段论 ” 是演绎推理的一般模式，包括： 大前提 已知的一般原理； 小前提 所研究的特殊情况； 结论 根据一般原理，对特殊情 况做出的判断 基本能力自测 1 (思考辨析 )判断下列结论的正误 (正确的打 “” ，错误的打 “”) (1)归纳推理与类比推

3、理都是由特殊到一般的推理 ( ) (2)在类比时，平面中的三角形与空间中的平行六面体作为类比对象较为合适 ( ) (3)“ 所有 3 的倍数都是 9 的倍数，某数 m 是 3 的倍数，则 m 一定是 9 的倍数 ” ，这是三段论推理，但其结论是错误的 ( ) (4)在演绎推理中，只要符合演绎推理的形式，结论就一定正确 ( ) 答案 (1) (2) (3) (4) 2由 “ 半径为 R 的 圆内接矩形中，正方形的面积最大 ” ，推出 “ 半径为 R 的球的内接长方体中，正方体的体积最大 ” 是 ( ) A归纳推理 B类比推理 C演绎推理 D以上都不是 =【 ;精品教育资源文库 】 = B 类比推

4、理的一般步骤是： (1)找出两类事物之间的相似性或一致性 (2)用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题 (猜想 )所以，由 “ 半径为 R 的圆内接矩形中，正方形的面积最大 ” ，推理出 “ 半径为 R 的球的内接长方体中，正方体的体积最大 ” 是类比推理，选 B 3 (教材改编 )已知数列 an中， a1 1， n2 时， an an 1 2n 1，依次计算 a2， a3， a4后，猜想 an的表达式是 ( ) A an 3n 1 B an 4n 3 C an n2 D an 3n 1 C a1 1， a2 4， a3 9， a4 16，猜想 an n2. 4 “ 因为指

5、数函数 y ax是增函数 (大前提 )，而 y ? ?13 x是指数函数 (小前提 )，所以函数 y ? ?13 x是增函数 (结论 )” ，上面推理的错误在于 ( ) A大前提错误导致结论错误 B小前提错误导致结论错误 C推理形式错误导致结论错误 D大前提和小前提错误导致结论错误 A “ 指数函数 y ax是增函数 ” 是本推理的大前提，它是错误的因为实数 a 的取值范围没有确定，所以导致结论是错误的 5 (2018 开封模拟 )甲、乙、丙三位同学被问到是否去过 A， B， C 三个城市时， 甲说：我去过的城市比乙多，但没去过 B 城市； 乙说：我没去过 C 城市； 丙说：我们三人去过同一城

6、市 由此可判断乙去过的城市为 _. 【导学号： 00090211】 A 由题意可推断：甲没去过 B 城市，但比乙去的城市多，而丙说 “ 三人去过同一城市 ” ，说明甲去过 A， C 城市，而乙 “ 没去过 C 城市 ” ，说明乙去过城市 A，由此可知，乙去过的城市为 A (对应学生用书第 88 页 ) 归纳推理 (1)数列 12， 13， 23， 14， 24， 34， ? ， 1m 1， 2m 1， ? ， mm 1， ? 的第 20 项是 ( ) A 58 B 34 =【 ;精品教育资源文库 】 = C 57 D 67 (2)(2016 山东高考 )观察下列等式： ? ?sin 3 2 ?

7、 ?sin 23 2 4312 ； ? ?sin 5 2 ? ?sin 25 2 ? ?sin 35 2 ? ?sin 45 2 4323 ； ? ?sin 7 2 ? ?sin 27 2 ? ?sin 37 2 ? ? ?sin 67 2 4334 ； ? ?sin 9 2?sin 29 2?sin 39 2 ? ?sin 89 2 4345 ； ? 照此规律， ? ?sin 2n 1 2 ? ?sin 22n 1 2 ? ?sin 32n 1 2 ? ? ?sin 2n2n 1 2 _. (1)C (2)43n(n 1) (1)数列 mm 1在数列中是第 1 2 3 ? m m m2 项，

8、当 m 5 时，即 56是数列中第 15 项，则第 20 项是 57，故选 C (2)通过观察已给出等式的特点，可知等式右边的 43是个固定数， 43后面第一个数是等式左边最后一个数括号内角度值分子中 的系数的一半， 43后面第二个数是第一个数的下一个自然数，所以，所求结果为 43 n( n 1)，即 43n(n 1) 规律方法 1.常见的归纳推理分为数的归纳和形的归纳两类： (1)数的归纳包括数字归纳和式子归纳，解决此类问题时，需要细心观察，寻求相邻项及项与序号之间的关系，同时还要联系相关的知识，如等差数列、等比数列等； (2)形的归纳主要包括图形数目归纳和图形变化规律归纳，合理利用 特殊图

9、形归纳推理得出结论，并用赋值检验法验证其真伪性 2归纳推理的一般步骤： (1)通过观察个别情况发现某些相同性质； (2)从相同性质中推出一个明确表述的一般性命题 变式训练 1 (1)已知 x (0， ) ，观察下列各式： x 1x2 ， x 4x2 x2 x2 4x23 ， x 27x3 x3 x3 x3 27x34 ， ? ，类比得 x axn n 1(n N*)，则 a _. 【导学号：00090212】 =【 ;精品教育资源文库 】 = (2)下面图形由小正方形组成，请观察图 641(1)至图 (4)的规律，并依此规律，写出第 n个图形中小正方形的个数是 _ 图 641 (1)nn(n

10、N*) (2)n n2 (n N*) (1)第一个式子是 n 1 的情况，此时 a 11 1；第二个式子是 n 2 的情况，此时 a 22 4；第三个式子是 n 3 的情况，此时 a 33 27，归纳可知 a nn. (2)由题图知第 n个图形的小正方形个数为 1 2 3 ? n.所以总个数为 n n2 (nN*) 类比推理 (1)(2017 陕 西 师 大 附 中 模 拟 ) 若 数 列 an 是 等 差 数 列 ， 则 数 列bn? ?bna1 a2 ? ann 也是等差数列，类比这一性质可知，若正项数列 cn是等比数列，且 dn也是等比数列，则 dn的表达式应为 ( ) A dn c1

11、c2 ? cnn B dn c1 c2? cnn C dnn cn1 cn2 ? cnnn D dnn c1 c2? cn (2)在平面几何中， ABC 的 C 的平分线 CE 分 AB 所成线段的比为 ACBC AEBE.把这个结论类比到空间：在三棱锥 ABCD 中 (如图 642)，平面 DEC 平分二面角 ACDB 且与 AB 相交于E，则得到类比的结论 是 _ 图 642 (1)D (2)AEEB S ACDS BCD(1)法一：从商类比开方，从和类比到积，则算术平均数可以类比几何平均数，故 dn的表达式为 dn n c1 c2? cn. =【 ;精品教育资源文库 】 = 法二：若 a

12、n是等差数列，则 a1 a2 ? an na1 n n2 d， bn a1 n 2 d d2n a1 d2，即 bn为等差数列；若 cn是等比数列，则c1 c2? cn cn1 q1 2 ? (n 1) cn1 qn n2 ， dn n c1 c2? cn c1 qn 12 ，即 dn为等比数列，故选 D (2)由平面中线段的比转化为空间中面积的比可得 AEEB S ACDS BCD. 规律方法 1.进行类比推理，应从具体问题出发，通过观察、分析、联想进行 对比，提出猜想，其中找到合适的类比对象是解题的关键 2类比推理常见的情形有：平面与空间类比；低维与高维类比；等差数列与等比数列类比；运算类

13、比 (和与积、乘与乘方，差与除，除与开方 )数的运算与向量运算类比；圆锥曲线间的类比等 变式训练 2 (2018 江淮十校联考 )我国古代数学名著九章算术中割圆术有： “ 割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣 ” 其体现的是一种无限与有限的转化过程，比如在 2 2 2 ? 中 “?” 即代表无限次重复，但原式却是 个定值 x，这可以通过方程 2 x x 确定出来 x 2，类似地不难得到 1 11 11 ? ( ) 【导学号： 00090213】 A 5 12 B 5 12 C 1 52 D 1 52 C 1 11 11 ? x，即 1 1x x，即 x2 x 1

14、0，解得 x 1 52 ? ?x 1 52 舍 ，故 1 11 11 ? 1 52 ，故选 C 演绎推理 数列 an的前 n 项和记为 Sn，已知 a1 1， an 1 n 2n Sn(n N*)证明： (1)数列 ? ?Snn 是等比数列； (2)Sn 1 4an. =【 ;精品教育资源文库 】 = 证明 (1) an 1 Sn 1 Sn， an 1 n 2n Sn， (n 2)Sn n(Sn 1 Sn)，即 nSn 1 2(n 1)Sn. 2 分 Sn 1n 1 2 Snn，又 S11 10 ， (小前提 ) 故 ? ?Snn 是以 1 为首项， 2 为公比的等比数列 (结论 ) (大前提是等比数列的定义，这里省略了 ) 5 分 (2)由 (1)可知 Sn 1n 1 4 Sn 1n 1(n2) ， Sn 1 4(n 1)