2019年高考数学一轮复习第6章不等式推理与证明第2节基本不等式学案（文科）北师大版.doc

1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 第二节 基本不等式 考纲传真 1.了解基本不等式的证明过程 .2.会用基本不等式解决简单的最大 (小 )值问题 (对应学生用书第 81 页 ) 基础知识填充 1基本不等式 ab a b2 (1)基本不等式成立的条件： a0， b0. (2)等号成立的条件：当且仅当 a b 时取等号 (3)a b2 称为正数 a， b 的算术平均数 . ab称为正数 a、 b 的几何平均数 2几个重要的不等式 (1)a2 b2 2ab(a， b R 当且仅当 a b 时，取等号 )； (2)ba ab 2(a， b 同号且不为零，当且仅当 a b 时，取等号 )； (3)ab

2、? ?a b2 2(a， b R，当且仅当 a b 时，取等号 )； (4)? ?a b2 2 a2 b22 (a， b R，当且仅当 a b 时，取等号 ) 3利用基本不等式求最值问题 已知 x0， y0，则 (1)如果 xy 是定值 p，那么当且仅当 x y 时， x y 有最小值是 2 p(简记：积定和最小 ) (2)如果 x y 是定值 s，那么当且仅当 x y 时， xy 有最大值是 s24(简记：和定积最大 ) 基本能力自测 1 (思考辨析 )判断下列结论的正误 (正确的打 “” ，错误的打 “”) (1)函数 y x 1x的最小值是 2.( ) (2)函数 f(x) cos x

3、4cos x， x ? ?0， 2 的最小值等于 4.( ) (3)x0， y0 是 xy yx2 的充要条件 ( ) (4)若 a0，则 a3 1a2的最小值为 2 a.( ) 答案 (1) (2) (3) (4) =【 ;精品教育资源文库 】 = 2若 a， b R，且 ab0，则下列不等式中，恒成立的是 ( ) A a2 b22ab B a b2 ab C 1a 1b 2ab D ba ab2 D a2 b2 2ab (a b)20 ， A 错误；对于 B， C，当 a0， ba ab2 ba ab 2. 3 (2018 福州模拟 )若直线 xa yb 1(a 0， b 0)过点 (1,

4、1)，则 a b 的最小值等于 ( ) A 2 B 3 C 4 D 5 C 因为直线 xa yb 1(a 0， b 0)过点 (1,1)，所以 1a 1b 1.所以 a b (a b) ? ?1a 1b 2 ab ba2 2 ab ba 4，当且仅当 a b 2 时取 “ ” ，故选 C 4若函数 f(x) x 1x 2(x2)在 x a 处 取最小值，则 a 等于 ( ) A 1 2 B 1 3 C 3 D 4 C 当 x2 时， x 20， f(x) (x 2) 1x 2 22 x 1x 2 2 4，当且仅当 x 2 1x 2(x2)，即 x 3 时取等号，即当 f(x)取得最小值时， x

5、 3，即 a 3，选 C 5 (教材改编 )若把总长为 20 m 的篱笆围成一个矩形场地，则矩形场地的最大面积是_m2. 【导学号： 00090198】 25 设矩形的一边为 x m，矩形场地的面积为 y， 则另一边为 12(20 2x) (10 x)m， 则 y x(10 x) ? ?x x2 2 25， 当且仅当 x 10 x，即 x 5 时， ymax 25. =【 ;精品教育资源文库 】 = (对应学生用书第 81 页 ) 直接法或配凑法求最值 (1)(2015 湖南高考 )若实数 a， b 满足 1a 2b ab， 则 ab 的最小值为 ( ) A 2 B 2 C 2 2 D 4 (

6、2)已知 x 54，则 f(x) 4x 2 14x 5的最大值为 _ (1)C (2)1 (1)由 1a 2b ab知 a0， b0，所以 ab 1a 2b2 2ab，即 ab2 2， 当且仅当? 1a 2b，1a2b ab，即 a 4 2， b 24 2时取 “ ” ，所以 ab 的最小值为 2 2. (2)因为 x 54，所以 5 4x 0， 则 f(x) 4x 2 14x 5 ? ?5 4x 15 4x 3 2 4x 15 4x 3 2 3 1. 当且仅当 5 4x 15 4x，即 x 1 时，等号成立 故 f(x) 4x 2 14x 5的最大值为 1. 规律方法 (1)应用基本不等式解

7、题一定要注意应用的前提： “ 一正 ”“ 二定 ”“ 三相等 ” 所谓 “ 一正 ” 是指正数， “ 二定 ” 是指应用基本不等式求最值时，和或积为定值，“ 三相等 ” 是指满足等号成立的条件 (2)在利用基本不等式求最值时，要根据式子的特征灵活变形，配凑出积、和为常数的形式，然后再利用基本不等式 变式训练 1 (1)若函数 f(x) x 1x 2(x 2)在 x a 处取最小值，则 a 等于 ( ) A 1 2 B 1 3 C 3 D 4 (2)(2018 平顶山模拟 )若对于任意的 x 0，不等式 xx2 3x 1 a 恒成立，则实数 a 的取值范围为 ( ) A a 15 B a 15

8、=【 ;精品教育资源文库 】 = C a 15 D a 15 (1)C (2)A (1)当 x 2 时， x 2 0， f(x) (x 2) 1x 2 22 x 1x 2 2 4，当且仅当 x 2 1x 2(x 2)，即 x 3 时取等号，即当 f(x)取得最小值时，即 a 3，选 C (2)由 x 0，得 xx2 3x 1 1x 1x 3 12 x 1x 3 15，当且仅当 x 1 时，等号成立则a 15，故选 A 常数代换法或消元法求最值 (1)(2018 河北 “ 五个一名校联盟 ” 模拟 )已知正实数 x， y 满足 2x y 2，则 2x 1y的最小值为 _ (2)(2018 郑州模

9、拟 )已知正数 x， y 满足 x2 2xy 3 0，则 2x y 的最小值是 _【导学号： 00090199】 (1)92 (2)3 (1) 正实数 x， y 满足 2x y 2， 则 2x 1y 12(2x y)? ?2x 1y 12? ?5 2yx 2xy 12? ?5 2 2yx 2xy 92，当且仅当 x y 23时取等号 2x 1y的最小值为 92. (2)由 x2 2xy 3 0 得 y 3 x22x 32x12x，则 2x y 2x32x12x3x2 32x23x2 32x 3，当且仅当 x 1 时，等号成立，所以 2x y 的最小值为 3. 规律方法 条件最值的求解通常有三种

10、方法：一是消元法，即根据条件建立两个量之间的函数关系 ，然后代入代数式转化为函数的最值求解；二是将条件灵活变形，利用常数代换的方法构造和或积为常数的式子，然后利用基本不等式求解最值；三是对条件使用基本不等式，建立所求目标函数的不等式求解 易错警示： (1)利用基本不等式求最值，一定要注意应用条件； (2)尽量避免多次使用基本不等式，若必须多次使用，一定要保证等号成立的条件一致 =【 ;精品教育资源文库 】 = 变式训练 2 (1)已知 x 0， y 0 且 x y 1，则 8x 2y的最小值为 _ (2)(2018 淮北模拟 )已知正数 x， y 满足 x 2y xy 0，则 x 2y 的最小

11、值为 ( ) A 8 B 4 C 2 D 0 (1)18 (2)A (1)因为 x 0， y 0，且 x y 1， 所以 8x 2y ? ?8x 2y (x y) 10 8yx 2xy 10 2 8yx 2xy 18， 当且仅当 8yx 2xy ，即 x 2y 时等号成立， 所以当 x 23， y 13时， 8x 2y有最小值 18. (2)法一： (常数代换法 )由 x 2y xy 0，得 2x 1y 1，且 x 0， y 0. x 2y (x 2y) ? ?2x 1y 4yx xy 44 4 8. 法二： (不 等式法 )由 x 0， y 0 得 x 2y xy 12 ? ?x 2y2 2

12、 即 (x 2y)2 8(x 2y)0 解得 x 2y8 或 x 2y0( 舍去 ) 从而 x 2y 的最小值为 8. 基本不等式的实际应用 运货卡车以每小时 x千米的速度匀速行驶 130千米，按交通法规限制 50 x100( 单位：千米 /时 )假设汽油的价格是每升 2 元，而汽车每小时耗油 ? ?2 x2360 升，司机的工资是每小时 14 元 (1)求这次行车总费用 y 关于 x 的表达式； (2)当 x 为何值时，这次行车的总费用最低，并求出最低费用的值 . 【导学号： 00090200】 解 (1)设所用时间为 t 130x (h)， y 130x 2 ? ?2 x2360 1413

13、0x ， x 50,100. 2 分 所以这次行车总费用 y 关于 x 的表达式是 =【 ;精品教育资源文库 】 = y 13018x 2130360 x， x 50， 100 . (或 y 2 340x 1318x， x 50， 100 ). 5 分 (2)y 13018x 2130360 x26 10， 当且仅当 13018x 2130360 x， 即 x 18 10，等号成立 . 8 分 故当 x 18 10千米 /时，这次行车的总费用最低，最低费用的值为 26 10元 . 12 分 规律方法 1.设变量时一般要把求最大值或最小值的变量定义为函数 2根据实际问题抽象出函数的解析式后，只需

14、利用基本不等式求得函数的最值 3在求函数的最值时，一定要在定义域 (使实际问题有意义的自变量的取值范围 )内求解 变式训练 3 某项研究表明：在考虑行车安全的情况下，某 路段车流量 F(单位时间内经过测量点的车辆数，单位：辆 /时 )与车流速度 v(假设车辆以相同速度 v 行驶，单位：米 /秒 )，平均车长 l(单位：米 )的值有关，其公式为 F 76 000vv2 18v 20l. (1)如果不限定车型， l 6.05，则最大车流量为 _辆 /时； (2)如果限定车型， l 5，则最大车流量比 (1)中的最大车流量增加 _辆 /时 . 【导学号： 00090201】 (1)1 900 (2)100 (1)当 l 6.05 时， F 76 000vv2 18v 206.05 ， F 76 000vv2 18v 121 76 000v 121v 18 76 0002 v 121v 18 1 900， 当且仅当 v 121v ，即 v 11 时取 “ ” 最大车流量 F 为 1 900 辆 /时 (2)当 l 5 时， F 76 000vv2 18v 205 76 000v 100v 18， F 76 0002 v 100v 18 2 000， 当且仅当 v 100v ，即 v 10 时取 “ ” 最大车流量比 (1)中的最大车流量增加 2 000 1 900 100 辆 /时