2019年高考数学一轮复习第6章不等式推理与证明第2节基本不等式及其应用学案（理科）北师大版.doc

1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 第二节 基本不等式及其应用 考纲传真 (教师用书独具 )1.了解基本不等式的证明过程 .2.会用基本不等式解决简单的最大 (小 )值问题 (对应学生用书第 95 页 ) 基础知识填充 1基本不等式： ab a b2 (1)基本不等式成立的条件： a0 ， b0. (2)等号成立的条件：当且仅当 a b 时取等号 (3)其中 a b2 称为正数 a， b 的算术平均数， ab称为正数 a， b 的几何平均数，基本不等式可叙述为两个正数的算术平均数不小于它们 的几何平均数 2几个重要的不等式 (注意逆应用 ) (1)a2 b2 2ab(a， b R)，当且仅当 a

2、 b 时取等号 (2)ab ? ?a b22(a， b R)，当且仅当 a b 时取等号 (3)a2 b22 ?a b22(a， b R)，当且仅当 a b 时取等号 (4)ba ab2( a， b 同号 )，当且仅当 a b 时取等号 3利用基本不等式求最值 已知 x0 ， y0 ，则 (1)如果积 xy 是定值 p，那么当且仅当 x y 时， x y 有最小值是 2 p(简记：积定和最小 ) (2)如果和 x y 是定值 q 那么当且仅当 x y 时， xy 有最大值是 q24(简记：和定积最大 ) 知识拓展 1.2aba b ab a b2 a2 b22 (a 0， b 0) 2不等式的

3、恒成立、能成立、恰成立问题 (1)恒成立问题：若 f(x)在区间 D 上存在最小值，则不等式 f(x) A 在区间 D 上恒成立 ?f(x)min A； 若 f(x)在区间 D 上存在最大值，则不等式 f(x) B 在区间 D 上恒成立 ?f(x)max B. =【 ;精品教育资源文库 】 = (2)能成立问题：若 f(x)在区间 D 上存在最大值，则在区间 D 上存在实数 x 使不等式 f(x) A 成立 ?f(x)max A； 若 f(x)在区间 D 上存在最小值，则在区间 D 上存在实数 x 使不等式 f(x) B 成立?f(x)min B. (3)恰成立问题：不等式 f(x) A 恰在

4、区 间 D 上成立 ?f(x) A 的解集为 D； 不等式 f(x) B 恰在区间 D 上成立 ?f(x) B 的解集为 D. 基本能力自测 1 (思考辨析 )判断下列结论的正误 (正确的打 “” ，错误的打 “”) (1)两个不等式 a2 b22 ab 与 a b2 ab成立的条件是相同的 ( ) (2)(a b)24 ab(a， b R) ( ) (3)两个正数的等差中项不小于它们的等比中项 ( ) (4)函数 y x 1x的最小值是 2.( ) (5)函数 f(x) cos x 4cos x， x ? ?0， 2 的最小值等于 4.( ) (6)x 0 且 y 0 是 xy yx2 的充

5、分不必要条件 ( ) 答案 (1) (2) (3) (4) (5) (6) 2 (教材改编 )设 x 0， y 0，且 x y 18，则 xy 的最大值为 ( ) A 80 B 77 C 81 D 82 C x 0， y 0， x y2 xy，即 xy ? ?x y22 81，当且仅当 x y 9 时， (xy)max 81. 3已知 f(x) x 1x 2(x 0)，则 f(x)有 ( ) A最大值 0 B最小值 0 C最大值 4 D最小值 4 C x 0， f(x) ? ?( x) 1( x) 2 2 2 4，当且仅当 x 1 x，即 x 1 时取等号 f(x)有最大值 4. 4若函数 f

6、(x) x 1x 2(x2)在 x a 处取最小值，则 a 等于 ( ) A 1 2 B 1 3 =【 ;精品教育资源文库 】 = C 3 D 4 C 当 x2 时， x 20， f(x) (x 2) 1x 2 22 (x 2) 1x 2 2 4，当且仅当 x 2 1x 2(x2)，即 x 3 时取等号，即当 f(x)取得最小值时， x 3，即 a 3，选C. 5若把总长为 20 m 的篱笆围成一个矩形场地，则矩形场地的最大面积是 _m2. 25 设矩形的一边为 x m，矩形场地的面积为 y， 则另一边为 12(20 2x) (10 x)m， 则 y x(10 x) ? ?x (10 x)22

7、 25， 当且仅当 x 10 x，即 x 5 时， ymax 25. (对应学生用书第 95 页 ) 利用基本不等式求最值 (1)已知 a 0， b 0，且 4a b 1，则 ab 的最大值为 _ (2)已知 x 54，则 f(x) 4x 2 14x 5的最大值为 _ (3)若正数 x， y 满足 x 3y 5xy，则 3x 4y 的最小值为 _. 【导学号： 79140194】 (1) 116 (2)1 (3)5 (1)法一： a 0， b 0,4a b 1， 1 4a b2 4ab4 ab， 当且仅当 4a b 12，即 a 18， b 12时，等号成立 ab 14， ab 116. ab

8、 的最大值为 116. 法二： 4 a b 1， ab 144 a b 14? ?4a b22 116， 当且仅当 4a b 12，即 a 18， b 12(满足 a 0， b 0)时，等号成立， ab 的最大值为=【 ;精品教育资源文库 】 = 116. (2)因为 x 54，所以 5 4x 0， 则 f(x) 4x 2 14x 5 ? ?5 4x 15 4x 3 2 (5 4x) 15 4x 3 2 3 1. 当且仅当 5 4x 15 4x，即 x 1 时，等号成 立 故 f(x) 4x 2 14x 5的最大值为 1. (3)由 x 3y 5xy 可得 15y 35x 1， 3 x 4y

9、(3x 4y)? ?15y 35x 95 45 3x5y 12y5x 135 2 12y5x 3x5y 5(当且仅 当 3x5y 12y5x ，即 x 1， y 12时，等号成立 )， 3 x 4y 的最小值是 5. 规律方法 利用基本不等式求最值的方法 利用基本不等式解决条件最值的关键是构造和为定值或积为定值，主要有两种思路： 对条件使用基本不等式，建立所求目标函数的不等式求解 .常用的方法有：拆项法、变系数法、凑因子法、换元法、整体代换法等 . 条件变形，进行 “1” 的代换求目标函数最值 . 易错警示：使用基本不等式求最值， “ 一正 ”“ 二定 ”“ 三相等 ” 三个条件缺一不 可 .

10、 跟踪训练 (1)(2018 东北三省四市模拟 (一 )已知 a 0， b 0，则 a2 4 4ab 4b2a 2b 的最小值为 ( ) A.14 B 1 C 2 D 4 (2)(2017 山东高考 )若直线 xa yb 1(a0， b0)过点 (1,2)，则 2a b 的最小值为_ (3)(2017 四川乐山一中月考 )设 0 x 32，则函数 y 4x(3 2x)的最大值为=【 ;精品教育资源文库 】 = _ (1)D (2)8 (3)92 (1)a2 4 4ab 4b2a 2b a 2b4a 2b2 (a 2b)4a 2b 4，当且仅当 a 2b 4a 2b，即 a 2b 2 时等号成立

11、，则 a2 4 4ab 4b2a 2b 的最小值为 4.故选 D. (2) 直线 xa yb 1(a0， b0)过点 (1,2)， 1a 2b 1， 2 a b (2a b)? ?1a 2b 4 4ab ba4 2 4ab ba 8， 当且仅当 ba 4ab ，即 a 2， b 4 时，等号成立 故 2a b 的最小值为 8. (3)y 4x(3 2x) 22x(3 2x)2 ? ?2x (3 2x)22 92，当且仅当 2x 3 2x，即x 34时，等号成立 34 ? ?0， 32 ， 函数 y 4x(3 2x)? ?0 x 32 的最大值为 92. 基本不等式的实际应用 某化工企业 201

12、7 年年底将投入 100 万元，购入一 套污水处理设备该设备每年的运转费用是 0.5 万元，此外每年都要花费一定的维护费，第一年的维护费为 2 万元，由于设备老化，以后每年的维护费都比上一年增加 2 万元设该企业使用该设备 x 年的年平均污水处理费用为 y(单位：万元 ) (1)用 x 表示 y； (2)当该企业的年平均污水处理费用最低时，企业需重新更换新的污水处理设备则该企业几年后需要重新更换新的污水处理设备 解 (1)由题意得， y 100 0.5x (2 4 6 ? 2x)x ， =【 ;精品教育资源文库 】 = 即 y x 100x 1.5(x N ) (2)由基本不等式得： y x

13、100x 1.52 x 100x 1.5 21.5， 当且仅当 x 100x ，即 x 10 时取等号 故该企业 10 年后需要重新更换新的污水处理设备 易错警示 解实际应用题的三个注意点 设变量时一般要把求最大值或最小值的变量定义为函数 . 根据实际问题抽象出函数的解析式后，只需利用基本不等式求得函数的最值 . 在求函数的最值时，一定要在定义域 使实际问题有意义的自变量的取值范围 内求解 . 跟踪训练 要制作一个容积为 4 m3，高为 1 m 的无盖长方体容器已知该容器的底面造价是每平方米 20 元，侧面造价是每平方米 10 元，则该容器的最低总造价是 ( ) A 80 元 B 120 元

14、C 160 元 D 240 元 C 设底面相邻两边的边长分别为 x m， y m，总造价为 T 元，则 xy1 4?xy 4. T 420 (2x 2y)110 80 20(x y)80 202 xy 80 204 160(当且仅当 x y 时取等号 ) 故该容器的最低总造价是 160 元 利用基本 不等式求参数的取值范围 (1)(2017 河南平顶山一模 )若对任意 x 0， xx2 3x 1 a 恒成立，则 a 的取值范围是 ( ) A a 15 B a 15 C a 15 D a 15 (2)已知函数 f(x) 4x ax(x 0， a 0)在 x 3 时取得最小值，则 a _. (1)

15、A (2)36 (1) 对任意 x 0， xx2 3x 1 a 恒成立， =【 ;精品教育资源文库 】 = 对 x(0 ， ) ， a ? ?xx2 3x 1 max， 而对 x(0 ， ) ， xx2 3x 1 1x 1x 3 12 x 1x 3 15， 当且仅当 x 1x时等号成立， a 15. (2) x 0， a 0， f(x) 4x ax2 4x ax 4 a， 当且仅当 4x ax，即 4x2 a 时， f(x)取得最小值 又 f(x)在 x 3 时取得最小值， a 43 2 36. 规律方法 求解含参数不等式的求解策略 观察题目特点，利用基本不等式确定相关成立条件，从而得参数的值或取值范围 . 在处理含参数的不等式恒成立问题时，往往将已知不等式看作关于参数的不等式