2019年高考数学一轮复习第5章数列热点探究课3数列中的高考热点问题学案（文科）北师大版.doc

1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 热点探究课 (三 ) 数列中的高考热点问题 (对应学生用书第 76 页 ) 命题解读 数列在中学数学中既具有独立性，又具有较强的综合性，是初等数学与高等数学的一个重要衔接点，从近五年全国卷高考试题来看，解答题第 1 题 (全国卷 T17)交替考查数列与解三角形，本专题的热点题型有：一是等差、等比数列的综合问题；二是数列的通项与求和；三是数列与函数、不等式的交汇，难度中等 热点 1 等差、等比数列的综合问题 解决等差、等比数列的综合问题，关键是理清两种数列的项之间的关系，并注重方程思想的应用，等差 (比 )数列共涉及五个量 a1， an， Sn， d(q)， n

2、， “ 知三求二 ” (2016 天津高考 )已知 an是等比数列，前 n 项和为 Sn(n N*)，且 1a1 1a2 2a3， S663. (1)求 an的通项公式； (2)若对任意的 n N*， bn是 log2an和 log2an 1的等差中项，求数列 ( 1)nb2n的前 2n 项和 解 (1)设数列 an的公比为 q. 由已知，有 1a1 1a1q 2a1q2， 解得 q 2 或 q 1. 2 分 又由 S6 a1 1 q61 q 63，知 q 1， 所以 a1 1 261 2 63，得 a1 1. 所以 an 2n 1. 5 分 (2)由题意，得 bn 12(log2an log

3、2an 1) 12(log22n 1 log22n) n 12， 即 bn是首项为 12，公差为 1 的等差数列 . 8 分 设数列 ( 1)nb2n的前 n 项和为 Tn，则 T2n ( b21 b22) ( b23 b24) ? ( b22n 1 b22n) b1 b2 b3 b4 ? b2n 1 b2n 2n b1 b2n2 2n2. 10 分 规律方法 1.若 an是等差数列，则 ban(b0，且 b1) 是等比数列；若 an是正项等比数列，则 logban(b0，且 b1) 是等差数列 =【 ;精品教育资源文库 】 = 2对等差、等比数列的综合问题，应重点分析等差、等比数列项之间的关

4、系，以便实现等差、等比数列之间的相互转化 对点训练 1 已知数列 an的前 n 项和为 Sn，常数 0，且 a 1an S1 Sn对一切正整数 n都成立 (1)求数列 an的通项公式； (2)设 a10， 100.当 n 为何值时，数列 ? ?lg1an的前 n 项和最大？ 【导学号： 00090176】 解 (1)取 n 1，得 a 21 2S1 2a1， a1(a 1 2) 0. 若 a1 0，则 Sn 0. 当 n2 时， an Sn Sn 1 0 0 0， 所以 an 0(n1). 2 分 若 a10 ，则 a1 2 . 当 n2 时， 2an 2 Sn,2an 1 2 Sn 1， 两

5、式相减得 2an 2an 1 an， 所以 an 2an 1(n2) ，从而数列 an是等比数列， 所以 an a12 n 1 2 2 n 1 2n . 综上，当 a1 0 时， an 0；当 a10 时， an 2n . 5 分 (2)当 a10，且 100 时，令 bn lg1an， 由 (1)知， bn lg1002n 2 nlg 2. 7 分 所以数列 bn是单调递减的等差数列，公差为 lg 2. b1b2? b6 lg10026 lg10064lg 1 0， 当 n7 时， bn b7 lg10027 lg100128lg 1 0. 故数列 ? ?lg 1an的前 6 项和最大 .

6、12 分 热点 2 数列的通项与求和 (答题模板 ) “ 基本量法 ” 是解决数列通项与求和的常用方法，同时应注意方程思想的应用 (本小题满分 12 分 )(2016 全国卷 )已知 an是公差为 3 的等差数列，数列 bn满=【 ;精品教育资源文库 】 = 足 b1 1， b2 13， anbn 1 bn 1 nbn. (1)求 an的通项公式； (2)求 bn的前 n 项和 . 【导学号： 00090177】 思路点拨 (1)取 n 1，先求出 a1，再求 an的通项公式 (2)将 an代入 anbn 1 bn 1 nbn，得出数列 bn为等比数列，再求 bn的前 n 项和 规范解答 (1

7、)由已知， a1b2 b2 b1， b1 1， b2 13，得 a1 2. 3 分 所以数列 an是首项为 2，公差为 3 的等差数列，通项公式为 an 3n 1.5 分 (2)由 (1)知 anbn 1 bn 1 nbn，得 bn 1 bn3， 7 分 因此 bn是首项为 1，公比为 13的等比数列 . 9 分 记 bn的前 n 项和为 Sn， 则 Sn1 ? ?13 n1 13 32 123 n 1. 12 分 答题模板 第一步：求出 an的首项 a1； 第二步：求出 an的通项公式； 第三步：判定 bn为等比数列； 第四步：求出 bn的前 n 项和； 第五步：反思回顾，查看关键点，易错点

8、注意解题规范 温馨提示 若干个能唯一确定一个数列的量称为该数列的 “ 基本量 ” 首项与公差是等差数列的 “ 基本量 ” ，首项与公比是等比数列的 “ 基本量 ” 在解决等差数列或等比数列的相关问题时， “ 基本量法 ” 是常用的方法 对点训练 2 数列 an满足 a1 1， nan 1 (n 1)an n(n 1)， n N*. (1)证明：数列 ? ?ann 是等差数列； (2)设 bn 3n an，求数列 bn的前 n 项和 Sn. 解 (1)证明：由已知可得 an 1n 1 ann 1， 2 分 即 an 1n 1 ann 1. 所以 ? ?ann 是以 a11 1 为首项， 1 为公

9、差的等差数列 . 5 分 =【 ;精品教育资源文库 】 = (2)由 (1)得 ann 1 (n 1)1 n， 所以 an n2. 7 分 从而 bn n3 n. Sn 1 31 23 2 33 3 ? n3 n， 3Sn 13 2 23 3 ? (n 1)3 n n3 n 1. 得 2Sn 31 32 ? 3n n3 n 1 3n1 3 n3n 1 2nn 1 32 . 所以 Sn nn 1 34 . 12 分 热点 3 数列与函数、不等式的交汇 数列与函数的交汇一般体现在两个方面：一是以数列的特征量 n， an， Sn等为坐标的点在函数图像上，可以得到数列的递推关 系；二是数列的项或前 n

10、 项和可以看作关于 n 的函数，然后利用函数的性质求解数列问题 数列与不等式的交汇考查方式主要有三种：一是判断数列中的一些不等关系；二是以数列为载体，考查不等式恒成立问题；三是考查与数列有关的不等式的证明 角度 1 数列与函数的交汇 (2018 佛山模拟 )已知数列 an的前 n 项和为 Sn，且 Sn 2n2 2n. (1)求数列 an的通项公式； (2)若点 (bn， an)在函数 y log2 x 的图像上，求数列 bn的前 n 项和 Tn. 解 (1)当 n2 时， an Sn Sn 1 2n2 2n 2(n 1)2 2(n 1) 4n， 当 n 1 时， a1 S1 4 41 ， 所

11、以数列 an的通项公式为 an 4n. 5 分 (2)由点 (bn， an)在函数 y log2 x 的图像上得 an log2bn，且 an 4n，所以 bn 2an 24n16n， 8 分 故数列 bn是以 16 为首项，公比为 16 的等比数列 Tn 16n1 16 16n 1 1615 . 12 分 规律方法 解决此类问题要抓住一个中心 函数，两个 密切联系：一是数列和函数之间的密切联系，数列的通项公式是数列问题的核心，函数的解析式是研究函数问题的基础；二是方程、不等式与函数的联系，利用它们之间的对应关系进行灵活的处理 角度 2 数列与不等式的交汇 (2017 贵阳适应性考试 (二 )

12、已知数列 an满足 2an 1 an 2 an(n N*)，且 a3=【 ;精品教育资源文库 】 = a7 20， a2 a5 14. (1)求数列 an的通项公式； (2)设 bn 1an an，数列 bn的前 n 项和为 Sn，求证： Sn12. 【导学号： 00090178】 解 (1)由 2an 1 an 2 an得 an为等差数列 . 2 分 设等差数列 an的公差为 d， 由 a3 a7 20， a2 a5 14，解得 d 2， a1 2， 数列 an的通项公式为 an 2n. 5 分 (2)证明： bn 1an an 1n n 12? ?12n 1 12n 1 ， 8 分 Sn 12? ?1 13 13 15 15 ? 12n 1 12n 1 12? ?1 12n 1 ， 当 n N*， Sn 12? ?1 12n 1 12. 12 分 规律方法 解决数列与不等式的综合问题时，如果是证明题要灵活选择不等式的证明方法，如比较法、综合法、分析法、放缩法等；如果是解不等式问题要使用不等式的各种不同解法，如列表法、因式分解法等总之解决这类问题把数列和不等式的知识巧妙结合起来综合处理就行了