2019年高考数学一轮复习第5章数列第4节数列求和学案（理科）北师大版.doc

1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 第四节 数列求和 考纲传真 (教师用书独具 )1.掌握等差、等比数列的前 n 项和公式 .2.掌握特殊的非等差、等比数列的几种常见的求和方法 (对应学生用书第 87 页 ) 基础知识填充 1公式法 (1)等差数列的前 n 项和公式： Sn n(a1 an)2 na1 n(n 1)2 d； (2)等比数列的前 n 项和公式： Sn? na1， q 1，a1 anq1 q a1(1 qn)1 q ， q 1.2几种数列求和的常用方法 (1)分组求和法：一个数列的通项公式是由若干个等差或等比或可求和的数列组成的，则求和时可用分组求和法，分别求和而后相加减 (2)裂项

2、相消法：把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得前 n 项和裂项时常用的三种变形： 1n(n 1) 1n 1n 1； 1(2n 1)(2n 1) 12? ?12n 1 12n 1 ； 1n n 1 n 1 n. (3)错位相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么求这个数列的前 n 项和即可用错位相减法求解 (4)倒序相加法：如果一个数列 an与首末两端等 “ 距离 ” 的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前 n 项和即可用倒序相加法求解 (5)并项求和法：一个数列的前 n 项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和形

3、如 an ( 1)nf(n)类型，可采用两项合并求解 例如， Sn 1002 992 982 972 ? 22 12 (100 99) (98 97) ? (2 1) 5 050. 基本能力自测 =【 ;精品教育资源文库 】 = 1 (思考辨析 )判断下列结论的正误 (正确的打 “” ，错误的打 “”) (1)如果数列 an为等比数列，且公比不等于 1，则其前 n 项和 Sn a1 an 11 q .( ) (2)当 n2 时， 1n2 1 12? ?1n 1 1n 1 .( ) (3)求 Sn a 2a2 3a3 ? nan之和时只要把上式等号两边同时乘以 a 即可根据错位相减法求得 ( )

4、 (4)如果数列 an是周期为 k(k为大于 1的正整数 )的周期数列，那么 Skm mSk.( ) 答案 (1) (2) (3) (4) 2 (教材改编 )数列 an的前 n 项和为 Sn，若 an 1n(n 1)，则 S5等于 ( ) A 1 B.56 C.16 D 130 B an 1n(n 1) 1n 1n 1， S5 a1 a2 ? a5 1 12 12 13 ? 16 56. 3数列 an的通项公式是 an 1n n 1，前 n 项和为 9，则 n 等于 ( ) A 9 B 99 C 10 D 100 B an 1n n 1 n 1 n， Sn a1 a2 ? an ( n 1 n

5、)( n n 1) ? ( 3 2) ( 2 1) n 1 1，令 n 1 1 9，得 n 99，故选 B. 4数列 an的前 n 项和为 Sn，已知 Sn 1 2 3 4 ? ( 1)n 1 n，则 S17 _. 9 S17 1 2 3 4 5 6 ? 15 16 17 1 ( 2 3) ( 4 5) ( 6 7) ? ( 14 15) ( 16 17) 1 1 1 ? 1 9. 5若数列 an的通项公式为 an 2n 2n 1，则数列 an的前 n 项和 Sn _. 2n 1 2 n2 Sn 2(1 2n)1 2 n(1 2n 1)2 2n 1 2 n2. (对应学生用书第 87 页 )

6、=【 ;精品教育资源文库 】 = 分组转化求和 (2016 北京高考 )已知 an是等差数列 ， bn是等比数列，且 b2 3， b3 9， a1 b1，a14 b4. (1)求 an的通项公式； (2)设 cn an bn，求数列 cn的前 n 项和 解 (1)设等比数列 bn的公比为 q， 则 q b3b2 93 3， 所以 b1 b2q 1， b4 b3q 27，所以 bn 3n 1(n 1,2,3， ?) 设等差数列 an的公差为 d. 因为 a1 b1 1， a14 b4 27， 所以 1 13d 27，即 d 2. 所以 an 2n 1(n 1,2,3， ?) (2)由 (1)知

7、an 2n 1， bn 3n 1. 因此 cn an bn 2n 1 3n 1. 从而数列 cn的前 n 项和 Sn 1 3 ? (2n 1) 1 3 ? 3n 1 n(1 2n 1)2 1 3n1 3 n2 3n 12 . 规律方法 分组转化法求和的常见类型 (1)若 an bn cn，且 bn， cn为等差或等比数列，则可采用分组求和法求 an的前 n 项和 (2)通项公式为 an? bn， n为奇数，cn， n为偶数 的数列，其中数列 bn， cn是等比数列或等差数列，可采用分组求和法求和 易错警示：注意在含有字母的数列中对字母的分类讨论 跟踪训练 (2018 南昌一模 )已知等差数列

8、an的前 n 项和为 Sn，且 a1 1， S3 S4 S5. (1)求数列 an的通项公式； (2)令 bn ( 1)n 1an，求数列 bn的前 2n 项和 T2n. 解 (1)设等差数列 an的公差为 d， 由 S3 S4 S5可得 a1 a2 a3 a5，即 3a2 a5， 3(1 d) 1 4d，解得 d 2. an 1 (n 1)2 2n 1. (2)由 (1)可得 bn ( 1)n 1(2 n 1) =【 ;精品教育资源文库 】 = T2n 1 3 5 7 ? (2n 3) (2n 1) ( 2) n 2n. 裂项相消法求和 (2017 全国卷 ) 设数列 an满足 a1 3a2

9、 ? (2n 1)an 2n. (1)求 an的通项公式； (2)求数列 ? ?an2n 1 的前 n 项和 解 (1)因为 a1 3a2 ? (2n 1)an 2n，故当 n2 时， a1 3a2 ? (2n 3)an 1 2(n 1)， 两式相减得 (2n 1)an 2， 所以 an 22n 1(n2) 又由题设可得 a1 2，满足上式， 所以 an的通项公式为 an 22n 1. (2)记 ? ?an2n 1 的前 n 项和为 Sn. 由 (1)知 an2n 1 2(2n 1)(2n 1) 12n 1 12n 1， 则 Sn 11 13 13 15 ? 12n 1 12n 1 2n2n

10、1. 规律方法 利用裂项相消法求和的注意事项 抵消后并不一定只剩下第一项和最后一项，也有可能前面剩两项，后面也剩两项 消项规律：消项后前边剩几项，后边就剩几项，前边剩第几项，后边就剩倒数第几项 将通项裂项后，有时 需要调整前面的系数，使裂开的两项之差和系数之积与原通项相等 .如：若 an是等差数列，则 1anan 11d?1an1an 1 ，1anan 212d?1an1an 2 . 跟踪训练 (2017 石家庄一模 )已知等差数列 an中， 2a2 a3 a5 20，且前 10 项和 S10 100. (1)求数列 an的通项公式； (2)若 bn 1anan 1，求数列 bn的前 n 项和

11、 . =【 ;精品教育资源文库 】 = 【导学号： 79140181】 解 (1)由已知得? 2a2 a3 a5 4a1 8d 20，10a1 1092 d 10a1 45d 100， 解得? a1 1，d 2， 所以数列 an的通项公式为 an 1 2(n 1) 2n 1. (2)bn 1(2n 1)(2n 1) 12? ?12n 1 12n 1 ， 所以 Tn 12? ?1 13 13 15 ? 12n 1 12n 1 12? ?1 12n 1 n2n 1. 错位相减法求和 (2017 山东高考 )已知 an是各项均为正数的等比数列，且 a1 a2 6， a1a2 a3. (1)求数列 a

12、n的通项公式； (2)bn为各项非零的等差数列，其前 n 项和为 Sn.已知 S2n 1 bnbn 1，求数列 ? ?bnan的前 n 项和 Tn. 解 (1)设 an的公比为 q， 由题意知 a1(1 q) 6， a21q a1q2， 又 an0，由以上两式联立方程组解得 a1 2， q 2， 所以 an 2n. (2)由题意知 S2n 1 (2n 1)(b1 b2n 1)2 (2n 1)bn 1， 又 S2n 1 bnbn 1， bn 10 ， 所以 bn 2n 1. 令 cn bnan，则 cn 2n 12n . 因此 Tn c1 c2 ? cn 32 522 723 ? 2n 12n

13、1 2n 12n ， 又 12Tn 322 523 724 ? 2n 12n 2n 12n 1 ， =【 ;精品教育资源文库 】 = 两式相减得 12Tn32 ?12122 ? 12n 1 2n 12n 1 ， 所以 Tn 5 2n 52n . 规律方法 错位相减法求和的适用范围 如果数列 an是等差数列， bn是等比数列，求数列 an bn的前 n 项和时，可采用错位相减法求和 . 错位相减法求和的注意事项 在写出 “ Sn” 与 “ qSn” 的表达式时应特别注意将两式 “ 错项对齐 ” 以便下一步准确写出“ Sn qSn” 的表达式 . 在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数，应

14、分公比等于 1 和不等于 1 两种情况求解 . 跟踪训练 (2018 石家庄质检 (二 )已知等差数列 an的前 n 项和为 Sn，若 Sm 1 4，Sm 0， Sm 2 14(m2 ，且 m N ). 【导学号： 79140182】 (1)求 m 的值； (2)若数列 bn满足 an2 log2bn(n N )，求数列 (an 6) bn的前 n 项和 解 (1)由已知得 am Sm Sm 1 4， 且 am 1 am 2 Sm 2 Sm 14， 设数列 an的公差为 d，则 2am 3d 14， d 2. 由 Sm 0，得 ma1 m(m 1)2 2 0，即 a1 1 m， am a1 (m 1)2 m 1 4， m 5. (2)由 (1)知 a1 4， d 2， an 2n 6， n 3 log2bn，得 bn 2n 3. ( an 6) bn 2n2 n 3 n2 n 2. 设数列 (an 6) bn的前 n 项和为 Tn， Tn 12 1 22 0 ? (n 1)2 n 3 n2 n 2， 2Tn 12 0 22 1 ? (n 1)2 n 2 n2 n 1， ，得 Tn 2 1 20 ? 2n 2 n2 n 1 =【 ;精品教育资源文库 】 = 2 1(1 2n)1 2 n2n 1 2n 1 12 n2 n 1， Tn (n 1)2 n 1 12(n N )