2019年高考数学一轮复习第3章三角函数解三角形第4节函数y＝Asinωx＋φ的图像及应用学案（理科）北师大版.doc

1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 第四节 函数 y Asin(x )的图像及应用 考纲传真 (教师用书独具 )1.了解函数 y Asin(x )的物理意义；能画出函数的图像，了解参数 A， ， 对函数图像变化的影响 .2.会用三角函数解决一些简单实际问题，体会三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型 (对应学生用书第 54 页 ) 基础知识填充 1 y Asin (x )的有关概念 y Asin(x )(A 0， 0， x0) ，表示一个振动量时 振幅 周期 频率 相位 初相 A T 2 f 1T 2 x 2.用五点法画 y Asin(x )一个周期内的简图时，要找五个关键点，如下表所示 x

2、2 32 2 x 0 2 32 2 y Asin(x ) 0 A 0 A 0 3.由 y sin x 的图像变换得到 y Asin( x )(其中 A 0， 0)的图像 图 341 知识拓展 1由 y sin x 到 y sin(x )( 0， 0)的变换：向左平移 个单位长度而非 个单位长度 2函数 y Asin(x )的对称轴由 x k 2 ， k Z 确定；对称中心由 x k ， k Z 确定其横坐标 =【 ;精品教育资源文库 】 = 基本能力自测 1 (思考辨析 )判断下列结论的正误 (正确的打 “” ，错误的打 “”) (1)利用图像变换作图时 “ 先平移，后伸缩 ” 与 “ 先伸缩

3、，后平移 ” 中平移的 单位长度一致 ( ) (2)将 y 3sin 2x 的图像左移 4 个单位后所得图像的解析式是 y3sin? ?2x 4 .( ) (3)y sin? ?x 4 的图像是由 y sin? ?x 4 的图像向右平移 2 个单位得到的 ( ) (4)函数 y Acos(x )的最小正周期为 T，那么函数图像的两个相邻对称中心之间的距离为 T2.( ) 答案 (1) (2) (3) (4) 2 (教材改编 )y 2sin? ?12x 3 的振幅，频率和初相分别为 ( ) A 2,4 ， 3 B 2， 14 ， 3 C 2， 14 ， 3 D 2,4 ， 3 C 由题意知 A

4、2， f 1T 2 14 ，初相为 3. 3为了得到函数 y sin? ?x 3 的图像，只需把函数 y sin x 的图像上所有的点 ( ) A向左平行移动 3 个单位长度 B向右平行移动 3 个单位长度 C向上平行移动 3 个单位长度 D向下平行移 动 3 个单位长度 A 把函数 y sin x 的图像上所有的点向左平行移动 3 个单位长度就得到函数 ysin? ?x 3 的图像 =【 ;精品教育资源文库 】 = 4用五点法作函数 y sin? ?x 6 在一个周期内的图像时，主要确定的五个点是 _、_、 _、 _、 _. ?6 ， 0 ； ?23 ， 1 ； ?76 ， 0 ； ?53

5、， 1 ； ?136 ， 0 分别令 x6 0，2 ， ，32 ， 2 ，即可得五个点的横坐标 (纵坐标分别为 0,1,0， 1,0) 5已知函数 f(x) sin(x )( 0)的图像如图 342 所示，则 _. 图 342 32 由题图可知，T423 3 3 ， 即 T 43 ，所以 2 43 ，故 32. (对应学生用书第 55 页 ) 函数 y Asin(x )的图像及变换 已知函数 f(x) 3sin? ?12x 4 ， x R. (1)画出函数 f(x)在一个周期的闭区间上的简图； (2)将函数 y sin x 的图像作怎样的变换可得到 f(x)的图像？ 【导学号： 7914011

6、6】 解 (1)列表取值： x 2 32 52 72 92 12x4 0 2 32 2 f(x) 0 3 0 3 0 描出五个关键点并用光滑曲线连接，得到一个周期的简图 =【 ;精品教育资源文库 】 = (2)先把 y sin x 的图像向右平移 4 个单位，然后把所有点的横坐标扩大为原来的2 倍，再把所有点的纵坐标扩大为原来的 3 倍，得到 f(x)的图像 规律方法 函数 y A x A 0， 的图像的作法 五点法：用“ 五点法 ” 作 y A x 的简图，主要是通过变量代换，令 z x ，由 z 取0， 2 ， ， 32 ， 2 来求出相应的 x，通过列表得出五点坐标，描点，连线后得出图像

7、图像变换法：由函数 y sin x 的图像通过变换得到 y A x 的图像有两种途径：“ 先平移后伸缩 ” 与 “ 先伸缩后平移 ” ，对于后者可利用 x ? ?x 确定平移单位 . 跟踪训练 (1)(2017 全国卷 ) 已知曲线 C1： y cos x， C2： y sin? ?2x 23 ，则下面结论正确的是 ( ) A把 C1上各点的横坐标伸长到原来的 2 倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移 6 个单位长度，得到曲线 C2 B把 C1上各点的横坐标伸长到原来的 2 倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移 12个单位长度，得到曲线 C2 C把 C1上各点的横坐标缩短到原来的 12倍，

8、纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移 6 个单位长度，得到曲线 C2 D把 C1上各点的横坐标缩短到原来的 12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移 12个单位长度，得到曲线 C2 (2)(2018 呼和浩特一调 )设函数 f(x) sin(2x )? ?| | 2 向左平移 3 个单位长度后得到的函数是一个偶函数，则 _. (1)D (2) 6 (1)因为 y sin? ?2x 23 cos? ?2x 23 2 cos? ?2x 6 ，所以=【 ;精品教育资源文库 】 = 曲线 C1： y cos x 上各点的横坐标缩短到原来的 12倍，纵坐标不变，得到曲线 y cos 2x，再把得到的曲线

9、 y cos 2x 向左平移 12个单位长度，得到曲线 y cos 2? ?x 12 cos? ?2x 6 .故选 D (2)由题意得 y sin? ?2? ?x 3 是一个偶函数，因此 23 2 k( k Z)，即 6 k( k Z)因为 | | 2 ，所以 6. 求函数 y Asin(x )的解析式 (1)(2016 全国卷 ) 函数 y Asin(x )的部分图像如图 343所示，则 ( ) 图 343 A y 2sin? ?2x 6 B y 2sin? ?2x 3 C y 2sin? ?x 6 D y 2sin? ?x 3 (2)已知函数 y Asin(x ) b(A 0， 0)的最大

10、值为 4，最小值为 0，最小正周期为 2 ，直线 x 3 是其图像的一条对称轴，则下面各式中符合条件的解析式为 ( ) A y 4sin? ?4x 6 B y 2sin? ?2x 3 2 C y 2sin? ?4x 3 2 =【 ;精品教育资源文库 】 = D y 2sin? ?4x 6 2 (1)A (2)D (1)由图像知 T2 3 ? ? 6 2 ，故 T ，因此 2 2.又图像的一个最高点坐标为 ? ? 3 ， 2 ，所以 A 2，且 2 3 2k 2(k Z)，故 2k 6(k Z)，结合选项可知 y 2sin? ?2x 6 .故选 A (2)由函数 y Asin(x ) b 的最大

11、值为 4，最小值为 0，可知 b 2， A 2.由函数的最小正周期为 2 ，可知 2 2 ，得 4.由直线 x 3 是其图像的一条对称轴，可知 4 3 k 2 ， k Z，从而 k 56 ， k Z，故满足题意的是y 2sin? ?4x 6 2. 规律方法 确定 y A x b A 0， 的步骤和方法 求 A， b：确定函数的最大值 M 和最小值 m，则 A M m2 ， b M m2 求 ：确定函数的周期 T，则可得 2T 求 ：常用的方法有： , 代入法：把图像上的一个已知点代入 此时 A， ， b 已知 或代入图像与直线 y b 的交点求解 此时要注意交点在上升区间上还是在下降区间上 五

12、点法：确定 值时，往往以寻找 “ 五点法 ” 中的某一个点为突破口 .“ 第一点 即图像上升时与 x 轴的交点 时 x 0； “ 第二点 即图像的 “ 峰点 时 x 2 ； “ 第 三点 即图像下降时与 x 轴的交点 时 x ； “ 第四点 即图像的 “ 谷点 时 x 32 ； “ 第五点 ” 时 x 2. 跟踪训练 (2017 石家庄一模 )函数 f(x) Asin(x )(A 0， 0)的部分图像如图 344 所示，则 f? ?1124 的值为 ( ) 图 344 A 62 B 32 C 22 D 1 =【 ;精品教育资源文库 】 = D 由图像可得 A 2，最小正周期 T 4? ?712

13、 3 ，则 2T 2.又 f? ?712 2sin? ?76 2，解得 53 2k( k Z)，即 k 1， 3 ，则 f(x) 2sin? ?2x 3 ， f? ?1124 2sin? ?1112 3 2sin54 1，故选 D 函数 y Asin(x )图像与性质的应用 (2018 合肥二检 )已知函数 f(x) sin x cos x ( 0)的最小正周期为 . (1)求函数 y f(x)的图像的对称轴方程； (2)讨论函数 f(x)在 ? ?0， 2 上的单调性 解 (1) f(x) sin x cos x 2sin? ?x 4 ， 且 T ， 2T 2. 于是 f(x) 2sin? ?2x 4 . 令 2x 4 k 2(k Z)， 得 x k2 38 (k Z)， 即函数 f(x)的图像的对称轴方程为 x k2 38 (k Z) (2)令 2k 2 2 x 4 2 k 2(k Z)， 得函数 f(x)的单调递增