2019年高考数学一轮复习第3章三角函数解三角形第3节三角函数的图像与性质学案（理科）北师大版.doc

1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 第三节 三角函数的图像与性质 考纲传真 (教师用书独具 )1.能画出 y sin x， y cos x， y tan x 的图像，了解三角函数的周期性 .2.理解正弦函数、余弦函数在 0,2 上的性质 (如单调性、最大值和最小值、图像与 x 轴的交点等 )，理解正切函数在区间 ? ? 2 ， 2 内的单调性 (对应学生用书第 51 页 ) 基础知识填充 1用五点法作正弦函数和余弦函数的简图 正弦函数 y sin x， x0,2 图像的五 个关键点是： (0,0)， ? ? 2 ， 1 ， ( ， 0)，?32 ， 1 ， (2 ， 0) 余弦函数 y cos

2、x， x0,2 图像的五个关键点是： (0,1)， ? ? 2 ， 0 ， ( ， 1)，?32 ， 0 ， (2 ， 1) 2正弦函数、余弦函数、正切函数的图像与性质 函数 y sin x y cos x y tan x 图像 定义域 R R 错误 ! 值域 1,1 1,1 R 单调性 递增区间：错误 !， k Z，递减区间：错误 !， k Z 递增区间： 2k ， 2k ， k Z， 递减区间： 2k ， 2k ， k Z 递增区间 ?k 2 ， k 2 ， k Z 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 对称性 对称中心 (k ， 0)，k Z 对称中心?k 2 ， 0 ，k Z 对称中心 ?

3、?k2 ， 0 ，k Z =【 ;精品教育资源文库 】 = 对称轴 x k 2(k Z) 对称轴 xk( k Z) 周期性 2 2 知识拓展 1.若 f(x) Asin(x )(A 0， 0)，则 (1)f(x)为偶函数的充要条件是 2 k( k Z)； (2)f(x)为奇函数的充要条件是 k( k Z) 2 f(x) Acos(x )(A 0， 0) (1)f(x)为奇函 数的充要条件： k 2 ， k Z. (2)f(x)为偶函数的充要条件： k ， k Z. 基本能力自测 1 (思考辨析 )判断下列结论的正误 (正确的打 “” ，错误的打 “”) (1)常数函数 f(x) a 是周期函数

4、，它没有最小正周期 ( ) (2)函数 y sin x 的图像关于点 (k ， 0)(k Z)中心对称 ( ) (3)正切函数 y tan x 在定义域内是增函数 ( ) (4)已知 y ksin x 1， x R，则 y 的最大值为 k 1.( ) (5)y sin |x|是偶函数 ( ) 答案 (1) (2) (3) (4) (5) 2 (2017 全国卷 ) 函数 f(x) sin? ?2x 3 的最小正周期为 ( ) A 4 B 2 C D 2 C 函数 f(x) sin? ?2x 3 的最小正周期 T 22 . 故选 C 3函数 y tan 2x 的定义域是 ( ) A?x? x k

5、 4 ， k Z B?x? x k2 8 ， k Z C?x? x k 8 ， k Z D?x? x k2 4 ， k Z =【 ;精品教育资源文库 】 = D 由 2x k 2 ， k Z，得 x k2 4 ， k Z， 所以 y tan 2x 的定义域为?x? x k2 4 ， k Z . 4函数 y sin? ?12x 3 ， x 2 ， 2 的单调递增区间是 ( ) A ? ? 2 ， 53 B ? ? 2 ， 53 和 ? ? 3 ， 2 C ? ? 53 ， 3 D ? ? 3 ， 2 C 令 z 12x 3 ，函数 y sin z 的单调递增区间为 ? ?2k 2 ， 2k 2

6、(k Z)，由2k 2 12x 3 2 k 2 得 4k 53 x4 k 3 ，而 x 2 ， 2 ，故其单调递增区间是 ? ? 53 ， 3 ，故选 C 5 (教材改编 )函数 f(x) sin? ?2x 4 在区间 ? ?0， 2 上的最小值为 _ 22 由已知 x ? ?0， 2 ，得 2x 4 ? ? 4 ， 34 ， 所以 sin? ?2x 4 ? ? 22 ， 1 ，故函数 f(x) sin? ?2x 4 在区间 ? ?0， 2 上的最小值为 22 . (对应学生用书第 52 页 ) 三角函数的定义域与值域 (1)(2016 全国卷 ) 函数 f(x) cos 2x 6cos? ?

7、 2 x 的最大值为 ( ) A 4 B 5 C 6 D 7 (2)函数 y lg sin x cos x 12的定义域为 _ (1)B (2)? ?x|2k x 3 2k ， k Z (1) f(x) cos 2x 6cos? ? 2 x cos 2x=【 ;精品教育资源文库 】 = 6sin x 1 2sin2x 6sin x 2? ?sin x 322 112 ， 又 sin x 1,1， 当 sin x 1 时， f(x)取得最大值 5.故选 B (2)要使函数有意义，则有 ? sin x 0，cos x 120 ， 即 ? sin x 0，cos x 12， 解得? 2k x 2k

8、， 3 2k x 3 2k (k Z)， 2 k x 3 2k ， k Z. 函数的定义域为 ?x2k x 3 2k ， k Z . 规律方法 1.三角函数定义域的求法 求三角函数定义域实际上是构造简单的三角不等式 组 ，常借助三角函数线或三角函数图像来求解 . 2.求三角函数最值或值域的常用方法 直接法：直接利用 sin x 和 cos x 的值域求解 . 化一法：把所给三角函数化为 y A x k 的形 式，由正弦函数单调性写出函数的值域 . 换元法：把 sin x， cos x， sin xcos x 或 sin xcos x 换成 t，转化为二次函数求解 . 跟踪训练 (1)已知函数

9、y 2cos x 的定义域为 ? ? 3 ， ，值域为 a， b，则 b a 的值是( ) A 2 B 3 C 3 2 D 2 3 (2)函数 y sin x cos x sin x cos x， x0 ， 的值域 为 _ (1)B (2) 1,1 (1) x ? ? 3 ， ， cos x ? ? 1， 12 ， y 2cos x 的值域为 2,1， b a 3. (2)设 t sin x cos x， =【 ;精品教育资源文库 】 = 则 t2 sin2x cos2x 2sin xcos x， 即 sin xcos x 1 t22 ，且 1 t 2. y t22 t1212(t 1)2 1

10、. 当 t 1 时， ymax 1； 当 t 1 时， ymin 1. 函数的值域为 1,1 三角函数的单调性 (1)函数 f(x) sin? ? 2x 3 的单调减区间为 _. 【导学号： 79140111】 (2)若函数 f(x) sin x ( 0)在区间 ? ?0， 3 上单调递增，在区间 ? ? 3 ， 2 上单调递减，则 _. (1)? ?k 12， k 512 (k Z) (2)32 (1)由已知函数为 y sin? ?2x 3 ，欲求函数的单调减区间，只需求 y sin? ?2x 3 的单调增区间即可 由 2k 2 2 x 3 2 k 2 ， k Z， 得 k 12 x k 5

11、12 ， k Z. 故所求函数的单调减区间为 ? ?k 12， k 512 (k Z) (2) f(x) sin x ( 0)过原点， 当 0 x 2 ，即 0 x 2 时， y sin x 是增函数； 当 2 x 32 ，即 2 x 32 时， y sin x 是减函数 由 f(x) sin x ( 0)在 ? ?0， 3 上单调递增， 在 ? ? 3 ， 2 上单调递减知 ， 2 3 ， 32. 规律方法 1.求三角函数单调区间的两种方法 =【 ;精品教育资源文库 】 = 代换法：求形如 y A x 的单调区间时，要视 “ x ” 为一个整体，通过解不等式求解 .若 0，应先用诱导公式化

12、x 的系数为正数，以防止把单调性弄错 . 图像法：画出三角函数的图像，利用图像求它的单调区间 . 2.已知三角函数的单调区间求参数 .先求出函数的单调区间，然后利用集合间的关系求解 . 跟踪训练 (1)函数 y |tan x|在 ? ? 2 ， 32 上的单调减区间为 _. 【导学号： 79140112】 (2)已知函数 f(x) sin? ?2x 6 cos 2x，则 f(x)的一个单调递减区间是 ( ) A ? ?12， 712 B ? ? 512 ， 12 C ? ? 3 ， 23 D ? ? 6 ， 56 (1)? ? 2 ， 0 和 ? ? 2 ， (2)A (1)如图，观察图像可知

13、， y |tan x|在 ? ? 2 ， 32上的单调减区间为 ? ? 2 ， 0 和 ? ? 2 ， . (2)由题意得 f(x) sin? ?2x 6 cos 2x 32 sin 2x 12cos 2x cos 2x 3sin? ?2x 3 ，由 2 2k2 x 3 32 2k ， k Z，得 12 k x 712 k ，k Z，令 k 0，得函数 y f(x)的一个单调递减区间为 ? ?12， 712 ，故选 A 三角函 数的奇偶性、周期性、对称性 角度 1 三角函数的奇偶性与周期性 (1)在函数： y cos|2x|； y |cos x|； y cos2x 6 ； y tan? ?2x

14、 4中，最小正周期为 的所有函数为 ( ) A B C D =【 ;精品教育资源文库 】 = (2)函数 y 1 2sin2? ?x 34 是 ( ) A最小正周期为 的奇函数 B最小正周期为 的偶函数 C最小正周期为 2 的奇函数 D最小正周期为 2 的偶函数 (1)C (2)A (1) y cos|2x| cos 2x， T . 由图像知，函数的周期 T . T . T 2. 综上可知，最小正周期为 的所有函数为 . (2)y 1 2sin2? ?x 34 cos 2? ?x 34 sin 2x，所以 f(x)是最小正周期为 的奇函数 角度 2 三角函数的对称性 (1)(2018 东北三省四市模拟 (一 )已知函数 f(x) 2sin? ?x