2019年高考数学一轮复习第2章函数导数及其应用第11节第1课时导数与函数的单调性学案（理科）北师大版.doc

1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 第十一节 导数的应用 考纲传真 (教师用书独具 )1.了解函数的单调性与导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间 (其中多项式函数一般不超过三次 )； 2.了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求函数的极大值、极小值 (其中多项式函数一般不超过三次 )；会求闭区间上函数的最大值、最小值 (其中多项式函数一般不超过三次 )； 3.利用导数研究函数的单调性、极 (最 )值，并会解决与之有关的方程 (不等式 )问题； 4.会利用导数解决某些简单的实际问题 (对应学生用书第 34 页 ) 基础知识填充 1函数的单调性与导数的关系 函数

2、y f(x)在某个区间内可导，则： (1)如果 f( x) 0，那么函数 y f(x)在这个区间内是 增加的 ； (2)如果 f( x) 0，那么函数 y f(x)在这个区间内是 减少的 ； (3)如果 f( x) 0，那么函数 y f(x)在这个区间内是 常数函数 2函数的极值与导数 (1)极值点与极值 设函数 f(x)在点 x0及附近有定义，且在 x0两侧的单调性相反或导数值 异号 ，则 x0为函数 f(x)的极值点， f(x0)为函数的极值 (2)极大值点与极小值点 若先增后减 (导数值先正后负 )， 则 x0为 极大值 点； 若先减后增 (导数值先负后正 )，则 x0为 极小值 点 (

3、3)可求导函数极值的步骤： 求 f( x)； 解方程 f( x) 0； 检查 f( x)在方程 f( x) 0 的解 x0的左右两侧的符号如果左正右负，那么 f(x)在这个根处取得 极大值 ；如果左负右正，那么 f(x)在这个根处取得 极小值 如果 f( x)在x0两侧的符号相同，则 x0不是极值点 3函数的最值与导数 (1)函数 f(x)在 a， b上有最值的条件 如果在区间 a， b上函数 y f(x)的图像是连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值 (2)设函数 f(x)在 a， b上连续且在 (a， b)内可导，求 f(x)在 a， b上的最大值和=【 ;精品教育资源文库 】 = 最小

4、值的步骤如下： 求 f(x)在 (a， b)内的极值； 将 f(x)的各极值与 f(a)、 f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值 知识拓展 1在某区间内 f( x) 0(f( x) 0)是函数 f(x)在此区间上为增 (减 )函数的充分不必要条件 2可导函数 f(x)在 (a， b)上是增 (减 )函数的充要条件是：对任意 x( a， b)，都有f( x)0( f( x)0) 且 f( x)在 (a， b)上 的任何子区间内都不恒为零 3对于可导函数 f(x)， f( x0) 0 是函数 f(x)在 x x0处有极值的必要不充分条件 基本能力自测 1 (思考辨析 )判断下列

5、结论的正误 (正确的打 “” ，错误的打 “”) (1)若函数 f(x)在区间 (a， b)上单调递增，那么在区间 (a， b)上一定有f( x)0.( ) (2)如果函数在某个区间内恒有 f( x) 0，则函数 f(x)在此区间上没有单调性 ( ) (3)函数的极大值不一定比极小值大 ( ) (4)对可导函数 f(x)， f( x0) 0 是 x0为极值点的充 要条件 ( ) (5)函数的最大值不一定是极大值，函数的最小值也不一定是极小值 ( ) (6)若实际问题中函数定义域是开区间，则不存在最优解 ( ) 答案 (1) (2) (3) (4) (5) (6) 2 (教材改编 )f(x) x

6、3 6x2的单调递减区间为 ( ) A (0,4) B (0,2) C (4， ) D ( ， 0) A f( x) 3x2 12x 3x(x 4)，由 f( x) 0，得 0 x 4， 所以单调递减区间为 (0,4) 3如图 2111 所示 是函数 f(x)的导函数 f( x)的图像，则下列判断中正确的是 ( ) 图 2111 A函数 f(x)在区间 ( 3,0)上是减函数 =【 ;精品教育资源文库 】 = B函数 f(x)在区间 (1,3)上是减函数 C函数 f(x)在区间 (0,2)上是减函数 D函数 f(x)在区间 (3,4)上是增函数 A 当 x( 3,0)时， f( x) 0，则

7、f(x)在 ( 3,0)上是减函数其他判断均不正确 4函数 y 2x3 2x2在区间 1,2上的最大值是 _ 8 y 6x2 4x，令 y 0， 得 x 0 或 x 23. f( 1) 4， f(0) 0， f? ?23 827， f(2) 8， 最大值为 8. 5函数 f(x) x aln x(a 0)的极小值为 _ a aln a f(x)的定义域为 (0， ) ， 易知 f( x) 1 ax. 由 f( x) 0，解得 x a(a 0) 又当 x(0 ， a)时， f( x) 0； 当 x( a， ) 时， f( x) 0， 所以函数 f(x)在 x a 处取得极小值，且极小值为 f(a

8、) a aln a 第 1 课时 导数与函数的单调性 (对应学生用书第 35 页 ) 利用用导数法判断或证明函数的单调性 (2017 全国卷 节选 )已知函数 f(x) ex(ex a) a2x.讨论 f(x)的单调性 解 函数 f(x)的定义域为 ( ， ) ， f( x) 2e2x aex a2 (2ex a)(ex a) 若 a 0，则 f(x) e2x在 ( ， ) 上单调递增 若 a 0，则由 f( x) 0 得 x ln a. 当 x( ， ln a)时 ， f( x) 0； 当 x(ln a， ) 时， f( x) 0. 故 f(x)在 ( ， ln a)上单调递减， =【 ;精

9、品教育资源文库 】 = 在 (ln a， ) 上单调递增 若 a1 时， g(x)0. 解 (1)由题意得 f( x) 2ax 1x 2ax2 1x (x0) 当 a0 时， f( x)0 时，由 f( x) 0 有 x 12a， 当 x ? ?0， 12a 时， f( x)0， f(x)单调递增 (2)证明：令 s(x) ex 1 x，则 s( x) ex 1 1. =【 ;精品教育资源文库 】 = 当 x1 时， s( x)0，又 s(1) 0，有 s(x) 0， 所以 ex 1x， 从而 g(x) 1x 1ex 10. 利用导数求函数的单调区间 设函数 f(x) xea x bx，曲线

10、y f(x)在点 (2， f(2)处的切线方程为 y (e 1)x 4. (1)求 a， b 的值； (2)求 f(x)的单调区间 . 【导学号： 79140076】 解 (1)因为 f(x) xea x bx， 所以 f( x) (1 x)ea x b. 依题设，? f(2) 2e 2，f (2) e 1， 即 ? 2ea 2 2b 2e 2， ea 2 b e 1. 解得? a 2，b e. (2)由 (1)知 f(x) xe2 x ex. 由 f( x) e2 x(1 x ex 1)及 e2 x 0 知， f( x)与 1 x ex 1同号 令 g(x) 1 x ex 1，则 g( x)

11、 1 ex 1. 所以，当 x( ， 1)时， g( x)0， g(x)在区间 (1， ) 上单调递增 故 g(1) 1 是 g(x)在区间 ( ， ) 上的最小值， 从而 g(x)0， x( ， ) 综上可知， f( x)0， x( ， ) ，故 f(x)的单调递增区间为 ( ， ) 规律方法 利用导数求函数单调区间的步骤 确定函数 f x 的定义域 . 求 f x 在定义域内解不等式 f x 0，得单调递增区间 . 在定义域内解不等式 f x 0，得单调递减区间 . 易错警示：解不等式 f x 时不加 “ ” 号 . 跟踪训练 (2018 合肥第二次质检节选 )已知 f(x) ln(x m

12、) mx.求 f(x)的单调区间 解 由已知可得函数定义 域为 ( m， ) =【 ;精品教育资源文库 】 = f(x) ln(x m) mx， f( x) 1x m m. 当 m0 时， f( x) 1x m m 0， 即 f(x)的单调递增区间为 ( m， ) ，无单调递减区间； 当 m 0 时， f( x) 1x m m m? ?x m 1mx m ， 由 f( x) 0，得 x 1m m( m， ) ， 当 x ? ? m， m 1m 时， f( x) 0， 当 x ? ? m 1m， 时， f( x) 0， 当 m 0 时，易知 f(x)的单调递增区间为 ? ? m， m 1m ，单

13、调递减区间为? m 1m， . 已知函数单调性求参数的取值范围 已知函数 f(x) ln x， g(x) 12ax2 2x(a0) (1)若函数 h(x) f(x) g(x)存在单调递减区间，求 a 的取值范围； (2)若函数 h(x) f(x) g(x)在 1,4上单调递减，求 a 的取值范围 解 (1)h(x) ln x 12ax2 2x， x(0 ， ) ， 所以 h( x) 1x ax 2，由于 h(x)在 (0， ) 上存在单调递减区间， 所以当 x(0 ， ) 时， 1x ax 2 0 有解， 即 a 1x2 2x有解 设 G(x) 1x2 2x，所以只要 a G(x)min即可

14、而 G(x) ? ?1x 12 1，所以 G(x)min 1. 所以 a 1，即 a 的取值范围为 ( 1， ) =【 ;精品教育资源文库 】 = (2)由 h(x)在 1,4上单调递减得， 当 x1,4 时， h( x) 1x ax 20 恒成立， 即 a 1x2 2x恒成立 所以 a G(x)max，而 G(x) ? ?1x 1 2 1， 因为 x1,4 ，所以 1x ? ?14， 1 ， 所以 G(x)max 716(此时 x 4)， 所以 a 716，即 a 的取值范围是 ? ? 716， . 1本例 (2)中，若函数 h(x) f(x) g(x)在 1,4上单调递增，求 a 的取值范

15、围 解 由 h(x)在 1,4上单调递增得， 当 x1,4 时， h( x)0 恒成立， 当 x1,4 时， a 1x2 2x恒成立， 又当 x1,4 时， ? ?1x2 2x min 1(此时 x 1)， a 1，即 a 的取值范围是 ( ， 1 2本例 (2)中，若 h(x)在 1,4上存在单调递减区间，求 a 的取值范围 解 h(x)在 1,4上存在单调递减区间， 则 h( x) 0 在 1,4上有解， 当 x1,4 时， a 1x2 2x有解， 又当 x1,4 时， ? ?1x2 2x min 1， a 1，即 a 的取值范围是 ( 1， ) 规律方法 根据函数单调性求参数的一般方法 利用集合间的包含关系处理： y