2019年高考数学一轮复习第2章函数导数及其应用第11节第3课时导数与函数的综合问题学案（理科）北师大版.doc

1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 第 3 课时 导数与函数的综合问题 (对应学生用书第 40 页 ) 利用导数研究不等式的有关问题 角度 1 证明不等式 (2017 全国卷 ) 已知函数 f(x) ln x ax2 (2a 1)x. (1)讨论 f(x)的单调性； (2)当 a0， 故 f(x)在 (0， ) 上单调递增 若 a0； 当 x ? ? 12a， 时， f( x)0； 当 x(1 ， ) 时， g( x)0 时， g(x)0. 从而当 a0 时， ln? ? 12a 12a 10 ， 即 f(x) 34a 2. 角度 2 解决不等式恒 (能 )成立问题 (2018 广州综合测试 (

2、二 )已知函数 f(x) xln x ax b 在点 (e， f(e)处的切线方程为 y ax 2e. (1)求实数 b 的值； (2)若存在 xe ， e2，满足 f(x) 14 e，求实数 a 的取值范围 . 【导学号： 79140086】 解 (1)函数 f(x)的定义域为 (0,1)(1 ， ) 因为 f(x) xln x ax b， 所以 f( x) ln x 1(ln x)2 a. 所以函数 f(x)在点 (e， f(e)处的切线方程为 y (e ae b) a(x e)，即 y ax e b. 已知函数 f(x)在点 (e， f(e)处的切线方程为 y ax 2e，比较可得 b

3、e. 所以实数 b 的值为 e. (2)f(x) 14 e，即 xln x ax e 14 e，所以问题转化为 a 1ln x 14x在 e， e2上有解 令 h(x) 1ln x 14x(xe ， e2)， 则 h( x) 14x2 1x(ln x)2 (ln x)2 4x4x2(ln x)2 (ln x 2 x)(ln x 2 x)4x2(ln x)2 . 令 p(x) ln x 2 x， 所以当 xe ， e2时，有 p( x) 1x 1x 1 xx 0. 所以函数 p(x)在区间 e， e2上单调递减 所以 p(x) p(e) ln e 2 e 0. =【 ;精品教育资源文库 】 =

4、所以 h( x) 0，即 h(x)在区间 e， e2上单调递减 所以 h(x) h(e2) 1ln e2 14e2 12 14e2. 所以实数 a 的取值范围为 ? ?12 14e2， . 规律方法 1.利用导数证明含 “ x” 不等式方法，证明： f x g x 法一：移项， f x g x 0，构造函数 F x f x g x ，转化证明 F x min 0，利用导数研究 F x 单调性，用上定义域的端点值 . 法二：转化证明： f x min g x max. 法三：先对所求证不等式进行变形，分组或整合，再用法一或法二 . 2.利用导数解决不等式的恒成立问题的策略 首先要构造函数，利用导

5、数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从 而求出参数的取值范围 . 也可分离变量，构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题 . 3.“ 恒成立 ” 与 “ 存在性 ” 问题的求解是 “ 互补 ” 关系，即 f x g a 对于 x D 恒成立，应求 f x 的最小值；若存在 x D，使得 f x g a 成立，应求 f x 的最大值 .应特别关注等号是否成立问题 . 跟踪训练 (2018 东北三省三校二联 )已知函数 f(x) sin x. (1)当 x 0 时，证明： f( x) 1 x22； (2)若当 x ? ?0， 2 时， f(x) f(x)f (x) ax 恒成立

6、，求实数 a 的取值范围 解 (1)证明：设 g(x) f( x) ? ?1 x22 cos x ?1 x22 (x 0)， 则 g( x) sin x x(x 0) 令 M(x) g( x)(x 0)， 则 M( x) 1 cos x0 ， g( x)在 (0， ) 上单调 递增 g( x) g(0) 0. g(x)在 (0， ) 上单调递增 g(x) g(0) 0. f( x) 1 x22成立 (2)当 x ? ?0， 2 时， f(x) f(x)f (x) ax?sin x tan x ax. =【 ;精品教育资源文库 】 = 设 h(x) sin x tan x ax? ?0 x 2

7、， 则 h( x) cos x 1cos2x a? ?0 x 2 . 令 t cos x，由 0 x 2 ，得 0 t 1. 设 k(t) t 1t2(0 t 1)，则 k( t) 1 2t3 t3 2t3 0. k(t)在 (0,1)上单调递减 k(t) k(1) 2. 当 a2 时， h( x) 0， h(x)在 ? ?0， 2 上单调递增 h(x) h(0) 0，即原不等式成立 当 a 2 时，关于 t 的方程 t 1t2 a 在 (0,1)仅有一根，设根为 t0，设 cos m t0,0 m 2 ， 则存在唯一 m，使得 cos m t0. 当 x(0 ， m)时， t0 cos x

8、1?h( x) 0， h(x)在 (0， m)上单调递减 h(x) h(0) 0，这与条件矛盾， a 2 时不成立 综上所述， a2 ，即实数 a 的取值范围为 ( ， 2 利用导数研究函数零点、方程的根、极值个 数问题 (2016 北京高考节选 )设函数 f(x) x3 ax2 bx c. (1)求曲线 y f(x)在点 (0， f(0)处的切线方程； (2)设 a b 4，若函数 f(x)有三个不同零点，求 c 的取值范围 解 (1)由 f(x) x3 ax2 bx c，得 f( x) 3x2 2ax b.因为 f(0) c， f(0) b， 所以曲线 y f(x)在点 (0， f(0)处

9、的切线方程为 y bx c. (2)当 a b 4 时， f(x) x3 4x2 4x c， 所以 f( x) 3x2 8x 4. 令 f( x) 0，得 3x2 8x 4 0，解得 x 2 或 x 23. 当 x 变化时， f(x)与 f( x)的变化情况如下： =【 ;精品教育资源文库 】 = x ( ， 2) 2 ? 2， 23 23 ? 23， f( x) 0 0 f(x) c c 3227 所以，当 c 0 且 c 3227 0，存在 x1( 4， 2)， x2 ? ? 2， 23 ， x3 ? ? 23， 0 ，使得 f(x1) f(x2) f(x3) 0. 由 f(x)的单调性知

10、，当且仅当 c ? ?0， 3227 时，函数 f(x) x3 4x2 4x c 有三个不同零点 规律方法 利用导数研究方程根的方法 研究方程根的情况 ，可以通过导数研究函数的单调性、最大值、最小值、变化趋势等 . 根据题目要求，画出函数图像的走势规律，标明函数极 最 值的位置 . 可以通过数形结合的思想去分析问题，使问题的求解有一个清晰、直观的整体展现 . 跟踪训练 设函数 f(x) x22 kln x， k 0. (1)求 f(x)的单调区间和极值； (2)证明：若 f(x)存在零点，则 f(x)在区间 (1， e上仅有一个零点 . 【导学号： 79140087】 解 (1)由 f(x)

11、x22 kln x(k 0)，得 x 0 且 f( x) xkxx2 kx .由 f( x) 0，解得 x k(负值舍去 ) f(x)与 f( x)在区间 (0， ) 上的变化情况如下表： x (0， k) k ( k， ) f( x) 0 f(x) k(1 ln k)2 所以， f(x)的单调递减区间是 (0， k)，单调递增区间是 ( k， ) f(x)在 x k处取得极小值 f( k) k(1 ln k)2 无极大值 (2)证明：由 (1)知， f(x)在区间 (0， ) 上的最小值为 f( k) k(1 ln k)2 . 因为 f(x)存在零点，所以 k(1 ln k)2 0 ， 从而

12、 ke ， =【 ;精品教育资源文库 】 = 当 k e 时， f(x)在区间 (1， e)上单调递减，且 f( e) 0， 所以 x e是 f(x)在区间 (1， e上的唯一零点 当 k e 时， f(x)在区间 (1， e)上单调递减，且 f(1) 12 0， f( e) e k2 0， 所以 f(x)在区间 (1， e上仅有一个零点 综上可知，若 f(x)存在零点，则 f(x)在区间 (1， e上仅有一个零点 利用导数研究生活中的优化问题 某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量 y(单位：千克 )与销售价格x(单位：元 /千克 )满足关系式 y ax 3 10(x 6)2，其中

13、 3x6， a 为常数已知销售价格为 5 元 /千克时，每日可售出该商品 11 千克 (1)求 a 的值； (2)若该商品的成本为 3 元 /千克，试确定销售价格 x 的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大 解 (1)因为 x 5 时， y 11，所以 a2 10 11， a 2. (2)由 (1)可知，该商品每日的销售量为 y 2x 3 10(x 6)2， 所以商场每日销售该商品所获得的利润为 f(x) (x 3)? ?2x 3 10(x 6)2 2 10(x 3)(x 6)2,3x6. 从而， f( x) 10(x 6)2 2(x 3)(x 6) 30(x 4)(x 6)， 于是，当

14、x 变化时， f( x)， f(x)的变化情况如下表： x (3,4) 4 (4,6) f( x) 0 f(x) 单调递增 极大值 42 单调递减 由上表可得， x 4 时，函数 f(x)取得极大值，也是最大值， 所以，当 x 4 时，函数 f(x)取得最大值，且最大值等于 42. 即当销售价格为 4 元 /千克时，商场每日销售该商品所获得的利润最大 规律方法 利用导数解决生活中优化问题的一般步骤 设自变量、因变量，建立函数关系式 y f x ，并确定其定义域 . 求函数的导数 f x ，解方程 f x 0. 比较函数在区间端点和 f x 0 的点的函数值的大小，最大 小 者为最大 小值 . =【 ;精品教育资源文库 】 = 回归实际问题作答 . 注意 f x 在开区间 a， b 与在闭区间 a， b上求最值的区别， f x 在开区间a， b 上只有一个极值点，则该点即为最值点 . 跟踪训练 某品牌电动汽车的耗电量 y 与速度 x 之间有关系 y 13x3 392x2 40x(x 0)，为使耗电量最小，则速度应定为 _ 40 由 y x2 39x 40 0， 得 x 1 或 x 40， 当 0 x 40 时， y 0； x 40 时， y 0. 所以当 x 40 时， y 有最小值