8.6.2 直线与平面垂直3性质—山东省teng州市第一中学人教版高中数学新教材必修第二册课件(共29张PPT).ppt

1、讲课人：邢启强1一条直线和平面内的任何一条直线都垂直，我们就说这条直线和这个平面互相垂直 n m mnBllmln 如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面复习回顾复习回顾：线不在多，线不在多，相交相交则灵则灵.讲课人：邢启强2直线与平面直线与平面垂直的判定垂直的判定定义法定义法 例题结论例题结论 判定定理判定定理 如果一条如果一条直线垂直于一直线垂直于一个平面，那么个平面，那么它的它的平行线平行线也也垂直于这个垂直于这个平面。平面。如果一条直线垂如果一条直线垂直于一个平面内的直于一个平面内的两条相交两条相交直线，那直线，那么此直线垂直于这么此直线垂直于这个平面

2、。个平面。如果一条直线垂如果一条直线垂直于一个平面内的直于一个平面内的任任意一条意一条直线直线，那么此，那么此直线垂直于这个平面。直线垂直于这个平面。复习回顾复习回顾讲课人：邢启强3,abab问题探究：已知：那么直线 和一定平行吗？请加以证明.与地面垂与地面垂直的旗杆，直的旗杆，它们有什它们有什么关系？么关系？问题：把地面抽象为平面，旗杆抽象为直线，问题：把地面抽象为平面，旗杆抽象为直线，这个问题能够转化为这个问题能够转化为？探索新知探索新知讲课人：邢启强41.利用判定定理我们证明了一个重要的结论，也请一个同学叙述一下如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于同一个平面2.请将

3、上述命题用数学符号表示出来.若ab，a，则b这个例题可以当作直线和平面垂直的又一个判定定理.现在请同学们交换这个定理的题设和结论,写出新的命题.若a，b，则ab下面就让我们看看这个命题是否正确？新课引入新课引入讲课人：邢启强5请同学们写出已知、求证并结合题意画出图形.已知：a，b 求证：ab分析：a、b是空间中的两条直线，要证明它们互相平行，一般先证明它们共面，然后转化为平面几何中的平行判定问题，但这个命题的条件比较简单，想说明a、b共面就很困难了，更何况还要证明平行我们能否从另一个角度来证明，比如，a、b不平行会有什么矛盾？这就是我们提到过的反证法否定结论推出矛盾肯定结论学习新知学习新知讲课

4、人：邢启强6分析分析：第一步，我们做一个反面的假设，假定：第一步，我们做一个反面的假设，假定b b与与a a不平不平行，现在应该要推出矛盾，从已知条件中的垂直关系，行，现在应该要推出矛盾，从已知条件中的垂直关系，让我们想起例题让我们想起例题1 1，在这个例题的已知条件中，平面有，在这个例题的已知条件中，平面有一条垂线，垂线有一条平行线，因此需要添加一条辅助一条垂线，垂线有一条平行线，因此需要添加一条辅助线层层推进，得出证明过程如下线层层推进，得出证明过程如下:证明：假定b与a不平行设bO，b是经过点O与直线a平行的直线，ab，a，b所以,经过同一点O的两条直线b，b都垂直于平面。显然这是不可能

5、的因此，ab学习新知学习新知讲课人：邢启强7垂直于同一个平面垂直于同一个平面的两条直线的两条直线平行平行指出:判定两条直线平行的方法很多，直线与平面垂直的性质定理告诉我们，可以由两条直线与一个平面垂直判定两条直线平行。学习新知学习新知/aa bb直线和平面垂直的性质定理直线和平面垂直的性质定理:图形语言图形语言符号语言符号语言线面垂直线面垂直线线平行线线平行证明空间直线和直线平行证明空间直线和直线平行揭示了揭示了“平行平行”与与“垂直垂直”的内在联系的内在联系作用：作用：讲课人：邢启强8交换“平行”与“垂直”,bbbl(1)线面垂直性质定理深化探究ba,ba/aaa结论：结论：垂直于平面的直线

6、，也垂直于和这个平面平行垂直于平面的直线，也垂直于和这个平面平行的直线的直线.学习新知学习新知讲课人：邢启强9(2):设设l为直线，为直线，为平面，若为平面，若l，/，则则l与与的位置关系如何？为什么？的位置关系如何？为什么？lab bba结论：结论：两个平行平面中的一个垂直于一条直线，两个平行平面中的一个垂直于一条直线，则另一个平面也垂直于这条直线则另一个平面也垂直于这条直线.讲课人：邢启强10（4 4）:设设l为直线，为直线，、为平面，若为平面，若l，l，则平面，则平面、的位置关系如何？为什的位置关系如何？为什么？么？lAB结论：结论：垂直于同一条直线的两个平面平行垂直于同一条直线的两个平

7、面平行讲课人：邢启强111.ABC所在的平面为，直线lAB，lAC，直线mBC，mAC，则直线l，m的位置关系是()A相交 B异面 C平行 D不确定C巩固练习巩固练习2.已知直线 a,b 和平面,且 ab,a,则 b 与 的位置关系是 .平行或在 内bDDCBCBAAba分析:借助正方体模型./讲课人：邢启强12例例1：如图：如图,在正方体在正方体ABCD-A1B1C1D1中中,EF与与异面直线异面直线AC,A1D都垂直相交都垂直相交.求证求证:EFBD1.分析分析连接连接AB1与与CB1,证明证明EF与与BD1都与平面都与平面AB1C垂直垂直.证明证明:连接连接AB1,B1C,BD,如图如图

8、.DD1平面平面ABCD,AC 平面平面ABCD,DD1AC.又又ACBD,BDDD1=D,AC平面平面BDD1B1.ACBD1.同理同理BD1B1C,ACB1C=C,BD1平面平面AB1C.EFA1D,且且A1DB1C,EFB1C.又又EFAC,ACB1C=C,EF平面平面AB1C.EFBD1.线面垂直性质定理的应用线面垂直性质定理的应用典型例题典型例题讲课人：邢启强13本例应用线面垂直的性质达到证明线线平行的目本例应用线面垂直的性质达到证明线线平行的目的的,即线面垂直的性质提供了线线平行的依据即线面垂直的性质提供了线线平行的依据.在空间证明线线平行的方法有在空间证明线线平行的方法有:（1）

9、定义法（定义法（2）基本事实基本事实4（3）线面平行的性质定线面平行的性质定理（理（4）面面平行的性质定理（面面平行的性质定理（5）线面垂直的性质定线面垂直的性质定理理.（6）初中所学）初中所学(三角形中位线三角形中位线,平行四边形对边等平行四边形对边等)直线与平面垂直的其他性质直线与平面垂直的其他性质:(1)若一条直线垂直于一个平面若一条直线垂直于一个平面,则它就垂直于这个平面则它就垂直于这个平面内的任意一条直线内的任意一条直线;(2)若两条平行线中的一条垂直于一个平面若两条平行线中的一条垂直于一个平面,则另一条也则另一条也垂直于这个平面垂直于这个平面;(3)若一条直线垂直于两个平行平面中的

10、一个若一条直线垂直于两个平行平面中的一个,则它必垂则它必垂直于另一个平面直于另一个平面;(4)垂直于同一条直线的两个平面平行垂直于同一条直线的两个平面平行.反思感悟反思感悟讲课人：邢启强14例2 如右图所示，已知异面直线a、b与AB垂直相交于A、B，且a、b分别垂直于平面、，c，求证：ABc.【分析】由题目可获取以下主要信息：ABa,ABb,a、b异面；a,b.解答本题可先利用线面的性质得线线，再证平行典型例题典型例题讲课人：邢启强15例2 如右图所示，已知异面直线a、b与AB垂直相交于A、B，且a、b分别垂直于平面、，c，求证：ABc.典型例题典型例题【证明过点B引直线aa，a与b确定的平面

11、设为，因为ABa，aa，所以ABa，又ABb,abB,所以AB.因为b，c，所以bc因为a，c，所以ac，又aa，所以ac由可得c，又AB，所以ABc.讲课人：邢启强16练习：如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，M是AB上一点，N是A1C的中点，MN平面A1DC.求证：(1)MNAD1；(2)M是AB的中点【证明】(1)四边形ADD1A1为正方形，AD1A1D.又CD平面ADD1A1，CDAD1.A1DCDD，AD1平面A1DC.又MN平面A1DC，MNAD1.【分析】要证明线线平行，要先证线面垂直，即证AD1平面A1DC.巩固练习巩固练习讲课人：邢启强17如图所示，AB是圆O的直径

12、，点C是圆O上的动点，过动点C的直线VC垂直于圆O所在平面，E是VC的中点，D是VA上的点，若DE平面VBC，试确定D点的位置巩固练习巩固练习讲课人：邢启强18解：VC平面ABC，AC平面ABC，VCAC，又AB是圆O的直径，ACBC，而BCVCC，AC平面VBC，若DE平面VBC，则由线面垂直的性质定理可知，DEAC，又点E是VC的中点，DE是VAC的中位线，D是VA的中点讲课人：邢启强19 练习：练习：如图，已知如图，已知 =l，CA CA 于点于点A A，CBCB于点于点B,B,求证：求证：al.ABCla分析：,.lABC aABC平面平面.,ABaa证明：证明：,.,./CAlCAl

13、CBlCACBClABCCAaCAaaABaABCal因为所以同理可得因为所以面因为所以又因为所以面所以巩固练习巩固练习讲课人：邢启强20分析分析证明证明MNAD1，转化为证明，转化为证明AD1平面平面A1DC，MN平面平面A1DC证明证明因为四边形因为四边形ADD1A1为正方形，所以为正方形，所以AD1A1D又因为又因为CD平面平面ADD1A1，所以，所以CDAD1.因为因为A1DCDD，所以，所以AD1平面平面A1DC又因为又因为MN平面平面A1DC，所以，所以MNAD1.变式训练变式训练 如图所示，在正方体如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，中，M是是AB上一点，上一点，N是是

14、A1C的中点，的中点，MN平面平面A1DC求证：求证：MNAD1；巩固练习巩固练习讲课人：邢启强21过平面外一点作垂直于过平面外一点作垂直于已知平已知平面的直线，面的直线，则该点与垂足间的则该点与垂足间的线段，叫做这个点到该平面的线段，叫做这个点到该平面的垂线段垂线段，垂线段的长度叫做这，垂线段的长度叫做这个个点到该平面的距离点到该平面的距离.点到平面的距离：点到平面的距离：思考：思考：直线直线 与平面与平面 平行时，直线平行时，直线 上任意上任意一点到平面一点到平面 的距离相等吗？为什么？的距离相等吗？为什么？ll相等相等PQ学习新知学习新知讲课人：邢启强22由由A A、B B是直线上任取的

15、两点，可知是直线上任取的两点，可知直线直线 上任意上任意一点到平面一点到平面 的距离相等的距离相等l讲课人：邢启强23一条直线与一个平面平行时一条直线与一个平面平行时,这条直线上任这条直线上任意一点到这个平面的距离意一点到这个平面的距离,叫做这条直线到这叫做这条直线到这个平面的距离个平面的距离.直线到平面的距离直线到平面的距离如果两个平面平行如果两个平面平行,那么其中一个平面内的任那么其中一个平面内的任意一点到另一个平面的距离都意一点到另一个平面的距离都相等相等,我们把它叫我们把它叫做这两个平行平面间的距离做这两个平行平面间的距离.思考：思考：如果两个平面平行如果两个平面平行,在其中一个平面内

16、任取几个在其中一个平面内任取几个点点,这些点到另一个平面的距离相等吗这些点到另一个平面的距离相等吗?平面与平面的距离平面与平面的距离棱柱和棱台的高棱柱和棱台的高就是上、下底面这两个平行就是上、下底面这两个平行平面之间的距离平面之间的距离.学习新知学习新知讲课人：邢启强24解解连接连接PA，PB.易知易知SAC，ACB是直角三角形是直角三角形所以所以SAAC，BCAC.取取AB、AC的中点的中点E、F，连接，连接PF，EF，PE则则EFBC，PFSA.所以所以EFAC，PFAC.因为因为PFEFF，所以，所以AC平面平面PEF.又又PE平面平面PEF，所以，所以PEAC.易证易证SACSBC.因

17、为因为P是是SC的中点，所以的中点，所以PAPB.而而E是是AB的中点，所以的中点，所以PEAB.因为因为ABACA，所以，所以PE平面平面ABC.从而从而PE的长就是点的长就是点P到平面到平面ABC的距离的距离典型例题典型例题讲课人：邢启强25方法提升方法提升：求点到面的距离的关键是：求点到面的距离的关键是确定过点与平面确定过点与平面垂直的线段垂直的线段可通过外形进行转化，转化为易于求解可通过外形进行转化，转化为易于求解的点，的点，等体积法等体积法也是求点到平面的距离的常用方法也是求点到平面的距离的常用方法讲课人：邢启强26反思感悟反思感悟 距离的定义具有最短性和确定性距离的定义具有最短性和

18、确定性,充分体现了化归思想充分体现了化归思想.两个平行平面间的距离、两个平行平面间的距离、直线到平面的距离直线到平面的距离,都是转化为求都是转化为求点到平面的点到平面的距离距离来解决来解决.求点到平面的距离一般有两种方法求点到平面的距离一般有两种方法:(1)构造法构造法:根据定义构造根据定义构造垂直于面的直线垂直于面的直线,确定确定垂足位置垂足位置,将所求线段化归到三角形中求解将所求线段化归到三角形中求解.(2)等积变换法等积变换法:将所求距离看作某个几何体将所求距离看作某个几何体(多多为棱锥为棱锥)的高的高,利用体积相等建立方程求解利用体积相等建立方程求解.讲课人：邢启强27解：解：因为因为B1C1平面平面A1BC，所以，所以B1C1到平面到平面A1BC的距离的距离等于等于B1到平面到平面A1BC的距离的距离设设B1到平面到平面A1BC的距离为的距离为d，因为因为VB1A1BCVA1BB1C所以所以 SA1BCd SB1BCA1B1，可得，可得d3131552直线直线B1C1与平面与平面A1BC的距离为的距离为552巩固练习巩固练习