8.6.2 直线与平面垂直的判定1课时（解析版）.docx

1、 8.6.2直线与平面垂直的判定导学案编写：廖云波 初审：谭光垠 终审：谭光垠 廖云波【学习目标】1.掌握直线与平面垂直的定义2.握直线与平面垂直的判定定理，并能应用判定定理证明直线和平面垂直【自主学习】知识点1 直线与平面垂直的定义1如果直线l与平面内的任意一条直线都垂直，我们就说直线l与平面互相垂直，记作l.直线l叫做平面的垂线，平面叫做直线l的垂面直线与平面垂直时，它们唯一的公共点P叫做垂足2过一点作垂直于已知平面的直线，则该点与垂足间的线段，叫做这个点到该平面的垂线段，垂线段的长度叫做这个点到该平面的距离过一点垂直于已知平面的直线有且只有一条知识点2 直线与平面垂直的判定定理1文字语言

2、：如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，那么该直线与此平面垂直2图形语言：如右图所示3.符号语言：a，b，abP，la，lbl.知识点3 直线与平面所成的角1如图，一条直线l和一个平面相交，但不与这个平面垂直，这条直线叫做这个平面的斜线，斜线和平面的交点A叫做斜足2过斜线上斜足以外的一点P向平面引垂线PO，过垂足O和斜足A的直线AO叫做斜线在这个平面上的射影3平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的角，叫做这条直线和这个平面所成的角4一条直线垂直于平面，我们说它们所成的角是90；一条直线和平面平行，或在平面内，我们说它们所成的角是0.直线与平面所成角的取值范围是090.【合作探究】探究一

3、直线与平面垂直的定义及判定定理【例1】下列说法中正确的个数是()如果直线l与平面内的两条相交直线都垂直，则l；如果直线l与平面内的任意一条直线垂直，则l；如果直线l不垂直于平面，则平面内没有与l垂直的直线；如果直线l不垂直于平面，则平面内也可以有无数条直线与l垂直A0 B1C2 D3【答案】D解析由直线和平面垂直的判定定理知正确；由直线与平面垂直的定义知，正确；当l与平面不垂直时，l可能与平面内的无数条直线垂直，故不对，正确归纳总结：(1)对于线面垂直的定义要注意“直线垂直于平面内的所有直线”说法与“直线垂直于平面内无数条直线”不是一回事，后者说法是不正确的，它可以使直线与平面斜交.(2)判定

4、定理中要注意必须是平面内两相交直线.【练习1】如图，l，点A，C，点B，且BA，BC，那么直线l与直线AC的关系是()A异面 B平行C垂直 D不确定【答案】C解析：因为BA，l，l，所以BAl，同理BCl，又BABCB，所以l平面ABC.因为AC平面ABC，所以lAC.探究二 直线与平面垂直的证明【例2】如图，P为ABC所在平面外一点，PA平面ABC，ABC90，AEPB于E，AFPC于F.求证：(1)BC平面PAB；(2)AE平面PBC；(3)PC平面AEF.分析本题是证线面垂直问题，要多观察题目中的一些“垂直”关系，看是否可利用如看到PA平面ABC，可想到PAAB、PABC、PAAC，这些

5、垂直关系我们需要哪个呢？我们需要的是PABC，联系已知，问题得证证明(1)PA平面ABC，BC平面ABC，PABC.ABC90，ABBC.又ABPAA，BC平面PAB.(2)BC平面PAB，AE平面PAB，BCAE.PBAE，BCPBB，AE平面PBC.(3)AE平面PBC，PC平面PBC，AEPC.AFPC，AEAFA，PC平面AEF.归纳总结：线面垂直的判定定理实质是由线线垂直推证线面垂直，途径是找到一条直线与平面内的两条相交直线垂直.推证线线垂直时注意分析几何图形，寻找隐含条件【练习2】如图所示，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是矩形，侧棱PA垂直于底面，E、F分别是AB、PC的中点，

6、PAAD.求证：(1)CDPD；(2)EF平面PCD.证明：(1)因为PA平面ABCD，CD平面ABCD，所以CDPA.又在矩形ABCD中，CDAD，且ADPAA，所以CD平面PAD，所以CDPD.(2)如图，取PD的中点G，连接AG，FG，又因为F是PC的中点，所以GF綉CD，所以GFAE.所以四边形AEFG是平行四边形，所以AGEF.因为PAAD，G是PD的中点，所以AGPD，所以EFPD，因为CD平面PAD，AG平面PAD.所以CDAG.所以EFCD.因为PDCDD，所以EF平面PCD.探究三 直线与平面所成的角【例3】在正方体ABCDA1B1C1D1中(1)求直线A1C与平面ABCD所

7、成的角的正切值；(2)求直线A1B与平面BDD1B1所成的角分析(1)求线面角的关键是找出直线在平面内的射影，为此须找出过直线上一点的平面的垂线(2)中过A1作平面BDD1B1的垂线，该垂线必与B1D1、BB1垂直，由正方体的特性知，直线A1C1满足要求解(1)直线A1A平面ABCD，A1CA为直线A1C与平面ABCD所成的角，设A1A1，则AC，tanA1CA.(2)如图，连接A1C1交B1D1于O，在正方形A1B1C1D1中，A1C1B1D1，BB1平面A1B1C1D1，A1C1平面A1B1C1D1，BB1A1C1.又BB1B1D1B1，A1C1平面BDD1B1，垂足为O.A1BO为直线A

8、1B与平面BDD1B1所成的角在RtA1BO中，A1OA1C1A1B，A1BO30.即A1B与平面BDD1B1所成的角为30.归纳总结：求平面的斜线与平面所成的角的一般步骤：(1)确定斜线与平面的交点(斜足)；(2)通过斜线上除斜足以外的某一点作平面的垂线，连接垂足和斜足即为斜线在平面上的射影，则斜线和射影所成的锐角即为所求的角；(3)求解由斜线、垂线、射影构成的直角三角形【练习3】如图所示，已知AB为圆O的直径，且AB4，点D为线段AB上一点，且ADDB，点C为圆O上一点，且BCAC.点P在圆O所在平面上的正投影为点D，PDDB.(1)求证：CD平面PAB；(2)求直线PC与平面PAB所成的

9、角解：解法1：(1)证明：如图，连接CO，由3ADDB知，点D为AO的中点又因为AB为圆O的直径，所以ACCB.由ACBC知，CAB60，所以ACO为等边三角形故CDAO.因为点P在圆O所在平面上的正投影为点D，所以PD平面ABC，又CD平面ABC，所以PDCD，由PD平面PAB，AO平面PAB，且PDAOD，得CD平面PAB.(2)由(1)知CPD是直线PC与平面PAB所成的角，又AOC是边长为2的正三角形，所以CD.在RtPCD中，PDDB3，CD，所以tanCPD，所以CPD30，即直线PC与平面PAB所成的角为30.解法2：(1)证明：因为AB为圆O的直径，所以ACCB.在RtABC中

10、，由AB4,3ADDB，ACBC，得DB3，BC2，所以，则BDCBCA，所以BCABDC，即CDAO.因为点P在圆O所在平面上的正投影为点D，所以PD平面ABC.又CD平面ABC，所以PDCD.由PD平面PAB，AO平面PAB，且PDAOD，得CD平面PAB.(2)由(1)知CPD是直线PC与平面PAB所成的角在RtPCD中，PDBD3，CD，所以tanCPD，所以CPD30，即直线PC与平面PAB所成的角为30.课后作业A组 基础题一、选择题1下列说法中正确的个数是()若直线l与平面内的一条直线垂直，则l；若直线l与平面内的两条直线垂直，则l；若直线l与平面内的两条相交直线垂直，则l；若直

11、线l与平面内的任意一条直线垂直，则l.A4 B2 C3 D1【答案】B解析对于不能断定该直线与平面垂直，该直线与平面可能平行，也可能斜交，也可能在平面内，所以是错误的；易知是正确的2如果一条直线垂直于一个平面内的下列各种情况，能保证该直线与平面垂直的是()三角形的两边；梯形的两边；圆的两条直径；正六边形的两条边A B C D【答案】A解析由线面垂直的判定定理知，直线垂直于图形所在的平面而图形中的两边不一定相交，故该直线与它们所在的平面不一定垂直3如果一条直线l与平面的一条垂线垂直，那么直线l与平面的位置关系是()Al BlCl Dl或l【答案】D解析结合正方体模型，直线l与平面的位置关系是平行

12、或在平面内，故选D.4若三条直线OA，OB，OC两两垂直，则直线OA垂直于()A平面OAB B平面OACC平面OBC D平面ABC【答案】C解析OAOB，OAOC且OBOCO，OA平面OBC.5如图所示，如果MC菱形ABCD所在平面，那么MA与BD的位置关系是()A平行B垂直相交C垂直但不相交D相交但不垂直【答案】C解析连接AC.因为ABCD是菱形，所以BDAC.又MC平面ABCD，则BDMC.因为ACMCC，所以BD平面AMC.又MA平面AMC，所以MABD.显然直线MA与直线BD不共面，因此直线MA与BD的位置关系是垂直但不相交6在正方体ABCDA1B1C1D1中，下面结论错误的是()AB

13、D平面CB1D1BAC1BDCAC1平面CB1DD异面直线AD与CB1所成的角为45【答案】C解析由正方体的性质得BDB1D1，且BD平面CB1D1，所以BD平面CB1D1，故A正确；因为BD平面ACC1A1，所以AC1BD，故B正确；异面直线AD与CB1所成的角即为AD与DA1所成的角，故为45，所以D正确7把正方形ABCD沿对角线AC折起，当以A，B，C，D四点为顶点棱锥体积最大时，直线BD和平面ABC所成的角的大小为()A90 B60 C45 D30【答案】C解析如图，当DO平面ABC时，三棱锥DABC的体积最大DBO为直线BD和平面ABC所成的角，在RtDOB中，ODOB，直线BD和平

14、面ABC所成的角大小为45.8设l，m是两条不同的直线，是一个平面，则下列命题正确的是()A若lm，m，则lB若l，lm，则mC若l，m，则lmD若l，m，则lm【答案】B解析根据定理，两条平行线中一条直线垂直于一个平面，则另一条直线也垂直于这个平面，故选B.二、填空题9在直三棱柱ABCA1B1C1中，BCCC1，当底面A1B1C1满足条件_时，有AB1BC1.(注：填上你认为正确的一种条件即可，不必考虑所有可能的情况)【答案】A1C1B190解析如图所示，连接B1C，由BCCC1，可得BC1B1C，因此，要证AB1BC1，则只要证明BC1平面AB1C，即只要证ACBC1即可，由直三棱柱可知，

15、只要证ACBC即可因为A1C1AC，B1C1BC，故只要证A1C1B1C1即可(或者能推出A1C1B1C1的条件，如A1C1B190等)10如图所示，AB是O的直径，PAO所在的平面，C是圆上一点，且ABC30，PAAB，则直线PC与平面ABC所成角的正切值为_【答案】2解析因为PA平面ABC，所以AC为斜线PC在平面ABC上的射影，所以PCA即为PC与平面ABC所成的角在PAC中，ACABPA，所以tanPCA2.11如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，M、N分别是棱AA1和AB上的点，若B1MN是直角，则C1MN_.【答案】90解析B1C1平面ABB1A1，B1C1MN.又MNB

16、1M，MN平面C1B1M.又C1M平面C1B1M，MNC1M，C1MN90.三、解答题12如图所示，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是矩形已知AD2，PA2，PD2，求证：AD平面PAB.证明在PAD中，由PA2，AD2，PD2，可得PA2AD2PD2，即ADPA.又ADAB，PAABA，所以AD平面PAB.13如图，正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为2.(1)求证：ACB1D；(2)求三棱锥CBDB1的体积(1)证明ABCDA1B1C1D1为正方体，BB1平面ABCD.又AC平面ABCD，BB1AC.又底面ABCD为正方形，ACBD.BB1BDB，AC平面BB1D.B1D平面BDB1，

17、ACB1D.(2)解B1B平面ABCD，B1B是三棱锥B1BDC的高SBDCBB1222，三棱锥CBDB1的体积为.B组 能力提升一、选择题1三棱锥的三条侧棱两两相等，则顶点在底面的射影为底面三角形的()A内心B重心 C外心D垂心【答案】C如图，设点P在平面ABC内的射影为O，连接OA，OB，OC三棱锥的三条侧棱两两相等，PAPBPCPO底面ABC，POOA，POOB，POOC，RtPOARtPOBRtPOC，OAOBOC，故顶点P在底面的射影为底面三角形的外心2如图所示，四棱锥SABCD的底面为正方形，SD底面ABCD，则下列结论中不正确的是()AACSBBAB平面SCDCSA与平面SBD所

18、成的角等于SC与平面SBD所成的角DAB与SC所成的角等于DC与SA所成的角【答案】D解析对于选项A，由题意得SDAC，ACBD，SDBDD，AC平面SBD，故ACSB，故A正确；对于选项B，ABCD，AB平面SCD，AB平面SCD，故B正确；对于选项C，由对称性知SA与平面SBD所成的角与SC与平面SBD所成的角相等，故C正确3空间四边形ABCD的四边相等，则它的两对角线AC、BD的关系是()A垂直且相交B相交但不一定垂直C垂直但不相交D不垂直也不相交【答案】C取BD中点O，连接AO，CO，则BDAO，BDCO，BD平面AOC，BDAC，又BD、AC异面，选C4. (多选题)如图，ABCDA

19、1B1C1D1为正方体，下面结论正确的是()ABD平面CB1D1BAC1BDCAC1平面CB1D1D异面直线AD与CB1所成的角为60【答案】ABC由于BDB1D1，BD平面CB1D1，B1D1平面CB1D1，则BD平面CB1D1，所以A正确；因为BDAC，BDCC1，ACCC1C，所以BD平面ACC1，所以AC1BD所以B正确；可以证明AC1B1D1，AC1B1C，所以AC1平面CB1D1，所以C正确；由于ADBC，则BCB145是异面直线AD与CB1所成的角，所以D错误二、填空题5如图所示，AB是O的直径，PAO所在的平面，C是圆上一点，且ABC30，PAAB，则直线PC与平面ABC所成角

20、的正切值为_【答案】2因为PA平面ABC，所以AC为斜线PC在平面ABC上的射影，所以PCA即为PC与平面ABC所成的角在ABC中，ACABPA，所以tanPCA2.6已知ACB90，P为平面ABC外一点，PC2，点P到ACB两边AC，BC的距离均为，那么P到平面ABC的距离为_，直线PC与平面ABC所成的角为_【答案】作PD，PE分别垂直于AC，BC，PO平面ABC连接CO，OD，知CDPD，CDPO，PDPOP，CD平面PDO，OD平面PDO，CDODPDPE，PC2，sinPCEsinPCD，PCBPCA60.POCO，CO为ACB平分线，OCD45，ODCD1，OC.又PC2，PO.s

21、inPCO，PCO.三、解答题7.如图，PA矩形ABCD所在的平面，M，N分别是AB，PC的中点(1)求证：MN平面PAD；(2)若PD与平面ABCD所成的角为45，求证：MN平面PCD.证明(1)取PD的中点E，连接NE，AE，如图又N是PC的中点，NE綊DC.又DC綊AB，AMAB，AM綊CD，NE綊AM，四边形AMNE是平行四边形，MNAE.AE平面PAD，MN平面PAD，MN平面PAD.(2)PA平面ABCD，PDA即为PD与平面ABCD所成的角，PDA45，APAD，AEPD.又MNAE，MNPD.PA平面ABCD，PACD.又CDAD，CD平面PAD.AE平面PAD，CDAE，CD

22、MN.又CDPDD，MN平面PCD.8.如图，在棱长均为1的直三棱柱ABCA1B1C1中，D是BC的中点(1)求证：AD平面BCC1B1；(2)求直线AC1与平面BCC1B1所成角的正弦值解(1)证明：直三棱柱ABCA1B1C1中，BB1平面ABC，BB1ADABAC，D是BC的中点，ADBC又BCBB1B，AD平面BCC1B1.(2)连接C1D由(1)AD平面BCC1B1，则AC1D即为直线AC1与平面BCC1B1所成角在RtAC1D中，AD，AC1，sinAC1D，即直线AC1与平面BCC1B1所成角的正弦值为.9.已知四棱锥PABCD，PAPB，PAPB，AD平面PAB，BCAD，BC3

23、AD，直线CD与平面PAB所成角的大小为，M是线段AB的中点(1)求证：CD平面PDM；(2)求点M到平面PCD的距离解(1)证明：AD平面PAB，PM平面PAB，ADPM.PAPB，M是线段AB的中点，PMAB，又ADABA，AD平面ABCD，AB平面ABCD，PM平面ABCD，又CD平面ABCD，PMCD取CB上点E，使得CECB，连接AE，ADCE且ADCE，四边形AECD为平行四边形，CDAE，直线CD与平面PAB所成角的大小等于直线AE与平面PAB所成角的大小，又AD平面PAB，BCAD，BC平面PAB，EAB为直线AE与平面PAB所成的角，EAB，BEABPAPB，PAPB，AB2BE，AD1，BC3，CD2，DM，CM，DM2DC2CM2，CDDM.DMPMM，DM，PM平面PDM，CD平面PDM.(2)由(1)可知CD平面PDM，CDM和CDP均为直角三角形，又PD，设点M到平面PCD的距离为d，则VPCDMVMPCD，即CDDMPMCDDPd，化简得DMPMDPd，解得d，点M到平面PCD的距离为.