(学案)平面向量的运算.docx

1、平面向量的运算【第一课时】向量的加法运算【学习重难点】【学习目标】【核心素养】平面向量加法的几何意义理解向量加法的概念以及向量加法的几何意义数学抽象、直观想象平行四边形法则和三角形法则掌握向量加法的平行四边形法则和三角形法则，会用它们解决实际问题数学抽象、直观想象平面向量加法的运算律掌握向量加法的交换律和结合律，会用它们进行计算数学抽象、数学运算【学习过程】一、问题导学预习教材内容，思考以下问题：1在求两向量和的运算时，通常使用哪两个法则？2向量加法的运算律有哪两个？二、新知探究探究点1：平面向量的加法及其几何意义例1：如图，已知向量a，b，c，求作和向量abc解：法一：可先作ac，再作（ac

2、）b，即abc如图，首先在平面内任取一点O，作向量a，接着作向量c，则得向量ac，然后作向量b，则向量abc为所求法二：三个向量不共线，用平行四边形法则来作如图，（1）在平面内任取一点O，作a，b；（2）作平行四边形AOBC，则ab；（3）再作向量c；（4）作平行四边形CODE，则cabc即为所求探究点2：平面向量的加法运算例2：化简：（1）；（2）；（3）解：（1）（2）（）0（3）0探究点3：向量加法的实际应用例3：某人在静水中游泳，速度为4千米/小时，他在水流速度为4千米/小时的河中游泳若他垂直游向河对岸，则他实际沿什么方向前进？实际前进的速度大小为多少？解：如图，设此人游泳的速度为，水

3、流的速度为，以，为邻边作OACB，则此人的实际速度为由勾股定理知|8，且在RtACO中，COA60，故此人沿与河岸成60的夹角顺着水流的方向前进，速度大小为8千米/小时三、学习小结1向量加法的定义及运算法则定义求两个向量和的运算，叫做向量的加法法则三角形法则前提已知非零向量a，b作法在平面内任取一点A，作a，b，再作向量结论向量叫做a与b的和，记作ab，即ab图形法则平行四边形法则前提已知不共线的两个向量a，b作法在平面内任取一点O，以同一点O为起点的两个已知向量a，b为邻边作OACB结论对角线就是a与b的和图形规定对于零向量与任一向量a，我们规定a00aa2|ab|，|a|，|b|之间的关系

4、一般地，|ab|a|b|，当且仅当a，b方向相同时等号成立3向量加法的运算律交换律abba结合律（ab）ca（bc）四、精炼反馈1化简的结果等于（）ABCD解析：选B02在四边形ABCD中，则一定有（）A四边形ABCD是矩形B四边形ABCD是菱形C四边形ABCD是正方形D四边形ABCD是平行四边形解析：选D由得，即ADBC，且ADBC，所以四边形ABCD的一组对边平行且相等，故为平行四边形3已知非零向量a，b，|a|8，|b|5，则|ab|的最大值为_解析：|ab|a|b|，所以|ab|的最大值为13答案：134已知ABCD，O是两条对角线的交点，E是CD的一个三等分点（靠近D点），求作：（1

5、）；（2）解：（1）延长AC，在延长线上截取CFAO，则向量为所求（2）在AB上取点G，使AGAB，则向量为所求【第二课时】向量的减法运算【学习重难点】【学习目标】【核心素养】相反向量理解相反向量的概念数学抽象向量的减法掌握向量减法的运算法则及其几何意义数学抽象、直观想象【学习过程】一、问题导入预习教材内容，思考以下问题：1a的相反向量是什么？2向量减法的几何意义是什么？二、新知探究探究点1：向量的减法运算例1：化简下列各式：（1）（）（）；（2）解：（1）法一：原式（）（）法二：原式（）0（2）法一：原式法二：原式（）探究点2：向量的减法及其几何意义例2：如图，已知向量a，b，c不共线，求作

6、向量abc解：法一：如图，在平面内任取一点O，作a，b，c，连接BC，则bc过点A作AD綊BC，连接OD，则bc，所以abc法二：如图，在平面内任取一点O，作a，b，连接OB，则ab，再作c，连接CB，则abc法三：如图，在平面内任取一点O，作a，b，连接OB，则ab，再作c，连接OC，则abc探究点3：用已知向量表示其他向量例3：如图所示，四边形ACDE是平行四边形，点B是该平行四边形外一点，且a，b，c，试用向量a，b，c表示向量，解：因为四边形ACDE是平行四边形，所以c，ba，故bac三、学习小结1相反向量（1）定义：与a长度相等，方向相反的向量，叫做a的相反向差，记作a，并且规定，零

7、向量的相反向量仍是零向量（2）结论（a）a，a（a）（a）a0；如果a与b互为相反向量，那么ab，ba，ab02向量的减法（1）向量a加上b的相反向量，叫做a与b的差，即aba（b）求两个向量差的运算叫做向量的减法（2）作法：在平面内任取一点O，作a，b，则向量ab，如图所示（3）几何意义：ab可以表示为从向量b的终点指向向量a的终点的向量四、精炼反馈1在ABC中，D是BC边上的一点，则等于（）ABCD解析：选C在ABC中，D是BC边上一点，则由两个向量的减法的几何意义可得2化简：_解析：原式0答案：3已知10，|7，则|的取值范围为_解析：因为，所以|又|，3|17，所以3|17答案：3，1

8、74若O是ABC所在平面内一点，且满足|，试判断ABC的形状解：因为，又|，所以|，所以以AB，AC为邻边的平行四边形的两条对角线的长度相等，所以该平行四边形为矩形，所以ABAC，所以ABC是直角三角形【第三课时】向量的数乘运算【学习重难点】【学习目标】【核心素养】向量数乘运算的定义及运算律理解向量数乘的定义及几何意义，掌握向量数乘的运算律数学抽象、直观想象向量共线定理掌握向量共线定理，会判断或证明两个向量共线逻辑推理【学习过程】一、问题导学预习教材内容，思考以下问题：1向量数乘的定义及其几何意义是什么？2向量数乘运算满足哪三条运算律？3向量共线定理是怎样表述的？4向量的线性运算是指的哪三种运

9、算？二、新知探究探究1：向量的线性运算例1：（1）计算：4（ab）3（ab）8a；（5a4bc）2（3a2bc）；（2）设向量a3i2j，b2ij，求（2ba）解：（1）原式4a4b3a3b8a7a7b原式5a4bc6a4b2cac原式ab（2）原式abab2baabab（3i2j）（2ij）iji5j探究点2：向量共线定理及其应用例2：已知非零向量e1，e2不共线（1）如果e1e2，2e18e2，3（e1e2），求证：A、B、D三点共线；（2）欲使ke1e2和e1ke2共线，试确定实数k的值解：（1）证明：因为e1e2，2e18e23e13e25（e1e2）5所以，共线，且有公共点B，所以A

10、、B、D三点共线（2）因为ke1e2与e1ke2共线，所以存在实数，使ke1e2（e1ke2），则（k）e1（k1）e2，由于e1与e2不共线，只能有所以k1探究点3：用已知向量表示其他向量例3：如图，ABCD是一个梯形，且|2|，M，N分别是DC，AB的中点，已知e1，e2，试用e1，e2表示下列向量（1）_；（2）_解析：因为，|2|，所以2，（1）e2e1（2）e1e2e1e1e2答案：（1）e2e1（2）e1e2互动探究变条件：在本例中，若条件改为e1，e2，试用e1，e2表示向量解：因为，所以2（）（）又因为M，N分别是DC，AB的中点，所以0，0所以2，所以（）e2e1三、学习小结

11、1向量的数乘的定义一般地，规定实数与向量a的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作a，它的长度与方向规定如下：（1）|a|a|（2）当0时，a的方向与a的方向相同；当0时，a的方向与a的方向相反；当0时，a02向量数乘的运算律设，为实数，那么：（1）（a）（）a（2）（）aaa（3）（ab）ab3向量的线性运算及向量共线定理（1）向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算对于任意向量a，b，以及任意实数，1，2，恒有（1a2b）1a2b（2）向量a（a0）与b共线的充要条件是：存在唯一一个实数，使ba四、精炼反馈1等于（）A2abB2baCbaDab解析：选B原式（2a8b）（4a2b）a

12、baba2b2若点O为平行四边形ABCD的中心，2e1，3e2，则e2e1（）ABCD解析：选A3e22e1，e2e13已知e1，e2是两个不共线的向量，若2e18e2，e13e2，2e1e2，求证A，B，D三点共线证明：因为e13e2，2e1e2，所以e14e2又2e18e22（e14e2），所以2，所以与共线因为AB与BD有交点B，所以A，B，D三点共线【第四课时】向量的数量积【学习重难点】【学习目标】【核心素养】向量的夹角理解平面向量夹角的定义，并会求已知两个非零向量的夹角直观想象、数学运算向量数量积的含义理解平面向量数量积的含义并会计算数学抽象、数学运算投影向量理解a在b上的投影向量的

13、概念数学抽象向量数量积的性质和运算律掌握平面向量数量积的性质及其运算律，并会应用数学运算、逻辑推理【学习过程】一、问题导学预习教材内容，思考以下问题：1什么是向量的夹角？2数量积的定义是什么？3投影向量的定义是什么？4向量数量积有哪些性质？5向量数量积的运算有哪些运算律？二、新知探究探究点1：平面向量的数量积运算例1：（1）已知|a|6，|b|4，a与b的夹角为60，求（a2b）（a3b）（2）如图，在ABCD中，|4，|3，DAB60，求：；解：（1）（a2b）（a3b）aa5ab6bb|a|25ab6|b|2|a|25|a|b|cos 606|b|262564cos 60642192（2）

14、因为，且方向相同，所以与的夹角是0，所以|cos 03319因为与的夹角为60，所以与的夹角为120，所以|cos 120436互动探究：变问法：若本例（2）的条件不变，求解：因为，所以（）（）229167探究点2：向量模的有关计算例2：（1）已知平面向量a与b的夹角为60，|a|2，|b|1，则|a2b|（）AB2C4D12（2）向量a，b满足|a|1，|ab|，a与b的夹角为60，则|b|（）ABCD解析：（1）|a2b| 2（2）由题意得|ab|2|a|2|b|22|a|b|cos 60，即1|b|2|b|，解得|b|答案：（1）B（2）B探究点3：向量的夹角与垂直命题角度一：求两向量的

15、夹角例3：（1）已知|a|6，|b|4，（a2b）（a3b）72，则a与b的夹角为_；（2）（2019高考全国卷改编）已知非零向量a，b满足|a|2|b|，且（ab）b，则a与b的夹角为_解析：（1）设a与b的夹角为，（a2b）（a3b）aa3ab2ba6bb|a|2ab6|b|2|a|2|a|b|cos 6|b|26264cos 64272，所以24cos 36729612，所以cos 又因为，所以（2）设a与b的夹角为，由（ab）b，得（ab）b0，所以abb2，所以cos 又因为|a|2|b|，所以cos 又因为0，所以答案：（1）（2）命题角度二：证明两向量垂直例4：已知a，b是非零向

16、量，当atb（tR）的模取最小值时，求证：b（atb）证明：因为|atb|，所以当t时，|atb|有最小值此时b（atb）batb2ab|b|2abab0所以b（atb）命题角度三：利用夹角和垂直求参数例5：（1）已知ab，|a|2，|b|3且向量3a2b与kab互相垂直，则k的值为（）ABCD1（2）已知a，b，c为单位向量，且满足3ab7c0，a与b的夹角为，则实数_解析：（1）因为3a2b与kab互相垂直，所以（3a2b）（kab）0，所以3ka2（2k3）ab2b20因为ab，所以ab0，又|a|2，|b|3，所以12k180，k（2）由3ab7c0，可得7c（3ab），即49c29a

17、22b26ab，而a，b，c为单位向量，则a2b2c21，则49926cos ，即23400，解得8或5答案：（1）B（2）8或5三、学习小结1两向量的夹角（1）定义：已知两个非零向量a，b，O是平面上的任意一点，作a，b，则AOB（0）叫做向量a与b的夹角（2）特例：当0时，向量a与b同向；当时，向量a与b垂直，记作ab；当时，向量a与b反向2向量的数量积已知两个非零向量a与b，它们的夹角为，把数量|a|b|cos_叫做向量a与b的数量积（或内积），记作ab，即ab|a|b|cos_规定零向量与任一向量的数量积为03投影向量如图（1），设a，b是两个非零向量，a，b，我们考虑如下变换：过的起

18、点A和终点B，分别作所在直线的垂线，垂足分别为A1，B1，得到，我们称上述变换为向量a向向量b投影（project），叫做向量a在向量b上的投影向量如图（2），在平面内任取一点O，作a，b，过点M作直线ON的垂线，垂足为M1，则就是向量a在向量b上的投影向量（2）若与b方向相同的单位向量为e，a与b的夹角为，则|a|cos e4向量数量积的性质设a，b是非零向量，它们的夹角是，e是与b方向相同的单位向量，则（1）aeea|a|cos （2）abab0（3）当a与b同向时，ab|a|b|；当a与b反向时，ab|a|b|特别地，aa|a|2或|a|（4）|ab|a|b|5向量数量积的运算律（1）a

19、bba（交换律）（2）（a）b（ab）a（b）（结合律）（3）（ab）cacbc（分配律）四、精炼反馈1已知向量a，b满足|a|1，|b|4，且ab2，则a与b的夹角为（）ABCD解析：选C由题意，知ab|a|b|cos 4cos 2，所以cos 又0，所以2已知|a|b|1，a与b的夹角是90，c2a3b，dka4b，c与d垂直，则k的值为（）A6B6C3D3解析：选B因为cd0，所以（2a3b）（ka4b）0，所以2ka28ab3kab12b20，所以2k12，所以k63已知|a|3，|b|5，ab12，且e是与b方向相同的单位向量，则a在b上的投影向量为_解析：设a与b的夹角，则cos ，所以a在b上的投影向量为|a|cos e3ee答案：e4已知|a|1，|b|（1）若ab，求ab；（2）若a，b的夹角为60，求|ab|；（3）若ab与a垂直，求a与b的夹角解：设向量a与b的夹角为（1）当a，b同向，即0时，ab；当a，b反向，即180时，ab（2）|ab|2|a|22ab|b|23，|ab|（3）由（ab）a0，得a2ab，cos ，又0，180，故45