7.1.2 复数的几何意义（解析版）.docx

1、 7.1.2复数的几何意义导学案编写：廖云波 初审：孙锐 终审：孙锐 廖云波【学习目标】1.理解用复平面内的点或以原点为起点的向量表示复数，及它们之间的一一对应关系2.掌握实轴、虚轴、模等概念.3.掌握用向量的模表示复数的模的方法.【自主学习】知识点1复平面的概念和复数的几何意义1.复平面的概念根据复数相等的定义，任何一个复数zabi，都可以由一个有序实数对(a，b)唯一确定.因为有序实数对(a，b)与平面直角坐标系中的点一一对应，所以复数与平面直角坐标系中的点之间可以建立一一对应.如图所示，点Z的横坐标是a，纵坐标是b，复数zabi可用点Z(a，b)表示.这个建立了直角坐标系来表示复数的平面

2、叫做复平面，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴.显然，实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数.2.复数的几何意义按照这种表示方法，每一个复数，有复平面内唯一的一个点和它对应；反过来，复平面内的每一个点，有唯一的一个复数和它对应.因此，复数集C和复平面内所有的点所成的集合是一一对应的，即复数zabi复平面内的点Z(a，b)，这是复数的一种几何意义.3.复数集与复平面中的向量的一一对应关系在平面直角坐标系中，每一个平面向量都可以用一个有序实数对来表示，而有序实数对与复数是一一对应的.这样，我们还可以用平面向量来表示复数.如图所示，设复平面内的点Z表示复数zabi，连接OZ，显然向量由点Z

3、唯一确定；反过来，点Z(相对于原点来说)也可以由向量唯一确定.因此，复数集C与复平面内的向量所成的集合也是一一对应的(实数0与零向量对应)，即复数zabi平面向量，这是复数的另一种几何意义.知识点2复数的模1.如图所示，向量的模r叫做复数zabi(a，bR)的模，记作|z|或|abi|.如果b0，那么zabi是一个实数a，它的模等于|a|(就是a的绝对值).由模的定义可知：|z|abi|r(r0，rR).2.复数的模的性质，设z1，z2是任意两个复数，则(1)|z1z2|z1|z2|，(|z2|0)(复数的乘、除法将在下节学习到).(2)|z|z1|n(nN*).(3)|z1z2|z1|z2|

4、，等号成立的条件是：当|z1z2|z1|z2|时，即z1，z2所对应的向量同向共线；当|z1|z2|z1z2|时，即z1，z2所对应的向量反向共线.(4)|z1|z2|z1z2|z1|z2|，等号成立的条件是：当|z1z2|z1|z2|时，即z1，z2所对应的向量反向共线；当|z1|z2|z1z2|时，即z1，z2所对应的向量同向共线. 【合作探究】探究一 复数与复平面内的点【例1】在复平面内，若复数z(m22m8)(m23m10)i对应的点：(1)在虚轴上；(2)在第二象限；(3)在第二、四象限；(4)在直线yx上，分别求实数m的取值范围.解复数z(m22m8)(m23m10)i的实部为m2

5、2m8，虚部为m23m10.(1)由题意得m22m80.解得m2或m4.(2)由题意，2m4.(3)由题意，(m22m8)(m23m10)0，2m4或5m0，得m5，所以当m5时，复数z对应的点在x轴上方.(2)由(m25m6)(m22m15)40，得m1或m，所以当m1或m时，复数z对应的点在直线xy40上.探究二 复数的模的几何意义【例2】设zC，在复平面内对应点Z，试说明满足下列条件的点Z的集合是什么图形.(1)|z|2；(2)1|z|2.解(1)方法一|z|2说明复数z在复平面内对应的点Z到原点的距离为2，这样的点Z的集合是以原点O为圆心，2为半径的圆.方法二设zabi，由|z|2，得

6、a2b24.故点Z对应的集合是以原点O为圆心，2为半径的圆. (2)不等式1|z|2可以转化为不等式组不等式|z|2的解集是圆|z|2及该圆内部所有点的集合.不等式|z|1的解集是圆|z|1及该圆外部所有点的集合.这两个集合的交集，就是满足条件1|z|2的点的集合.如图中的阴影部分，所求点的集合是以O为圆心，以1和2为半径的两圆所夹的圆环，并且包括圆环的边界.归纳总结：【练习2】若复数z满足|zi|(i为虚数单位)，则z在复平面所对应的图形的面积为 .答案2解析设zxyi(x，yR)，则zixyiix(y1)i，|zi|，由|zi|知，x2(y1)22.复数z对应的点(x，y)构成以(0,1)

7、为圆心，为半径的圆面(含边界)，所求图形的面积为S2.故填2.探究三 复数的模及其应用【例3】已知复数z3ai，且|z|4，求实数a的取值范围.解方法一z3ai(aR)，|z|，由已知得32a242，a27，a(，).方法二利用复数的几何意义，由|z|4知，z在复平面内对应的点在以原点为圆心，以4为半径的圆内(不包括边界)，由z3ai知z对应的点在直线x3上，所以线段AB(除去端点)为动点Z的集合.由图可知：a.归纳总结：【练习3】已知复数|z|1，求复数34iz的模的最大值及最小值.解令34iz，则z(34i).|z|1，|(34i)|1，复数在复平面内对应的点的轨迹是以(3,4)为圆心，1

8、为半径的圆，如图，容易看出，圆上的点A所对应的复数A的模最大，为16；圆上的点B所对应的复数B的模最小，为14，复数34iz的模的最大值和最小值分别为6和4.课后作业A组 基础题一、选择题1.设x34i，则复数zx|x|(1i)在复平面上的对应点在()A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限答案B解析x34i，|x|5，z34i5(1i)(351)(41)i35i.复数z在复平面上的对应点在第二象限.2.当m1时，复数z(3m2)(m1)i在复平面内对应的点位于()A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限答案D解析复数z在复平面内对应的点为Z(3m2，m1).由m0，m

9、10.所以点Z位于第四象限.故选D.3.在复平面内，O为原点，向量对应的复数为12i，若点A关于直线yx的对称点为B，则向量对应的复数为()A.2i B.2iC.12i D.12i答案B解析A(1,2)关于直线yx的对称点B(2,1)，向量对应的复数为2i.4.已知复数z满足|z|22|z|30，则复数z对应点的轨迹是()A.1个圆 B.线段C.2个点 D.2个圆答案A解析由题意可知(|z|3)(|z|1)0，即|z|3或|z|1.|z|0，|z|3.复数z对应的轨迹是1个圆.5.在复平面内，复数zi2i2对应的点位于()A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限答案B解析zi2i2

10、2i，实部小于0，虚部大于0，故复数z对应的点位于第二象限.6.在复平面内，复数65i，23i对应的点分别为A，B.若C为线段AB的中点，则点C对应的复数是()A.48i B.82iC.24i D.4i答案C解析由题意知点A的坐标为(6,5)，点B的坐标为(2,3).由中点坐标公式，得线段AB的中点C的坐标为(2,4)，故点C对应的复数为24i.7.已知i为虚数单位，复数，则z在复平面内对应的点位于（ ）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限答案：B【分析】根据三角函数的诱导公式，求得复数，结合复数的几何意义，即可求解.【详解】由即复数，所以复数对应的点为位于第二象限.故选：

11、B8.（多选题）下列命题中，正确的是（ ）A. 复数的模总是非负数B. 复数集与复平面内以原点为起点的所有向量组成的集合一一对应C. 如果复数z对应的点在第一象限，则与该复数对应的向量的终点也一定在第一象限D. 相等的向量对应着相等的复数答案：ABD【分析】根据复数的几何意义逐项判断后可得正确的选项【详解】设复数，对于A，故A正确对于B，复数对应的向量为，且对于平面内以原点为起点的任一向量，其对应的复数为，故复数集与复平面内以原点为起点的所有向量组成的集合一一对应，故B正确对于B，复数对应的向量为，且对于平面内的任一向量，其对应的复数为，故复数集中的元素与复平面内以原点为起点的所有向量组成的集

12、合中的元素是一一对应，故B正确对于C，如果复数对应的点在第一象限，则与该复数对应的向量的终点不一定在第一象限，故C错对于D，相等的向量的坐标一定是相同的，故它们对应的复数也相等，故D正确故选：ABD【点睛】本题考查复数的几何意义，注意复数对应的向量的坐标为，它与终点与起点的坐标的差有关，本题属于基础题二、填空题9.在复平面内表示复数z(m3)2i的点在直线yx上，则实数m的值为 .答案9解析z(m3)2i表示的点在直线yx上，m32，解得m9.10.复数z1a2i，z22i，如果|z1|z2|，那么实数a的取值范围是 .答案(1,1)解析因为|z1|，|z2|.又因|z1|z2|，所以，解得1

13、a1.11.若复数z5cos 4i(i为虚数单位，0)在复平面上的对应点在直线yx1上，则sin .答案解析复数z5cos 4i在复平面上的对应点在直线yx1上，45cos 1, 即cos .又0，sin .12.已知0a2，复数z的实部为a，虚部为1，则|z|的取值范围是 .答案(1，)解析由题意可知zai.根据复数的模的定义，得|z|，而0a2，故1|z|.13.复数zlog3ilog3 对应的点位于复平面内的第 象限.答案三解析log30，log3 0，zlog3ilog3 对应的点位于复平面内的第三象限.三、解答题14.已知z12(1i)，且|z|1，求|zz1|的最大值.解如图所示，

14、因为|z|1，所以z的轨迹可看作是半径为1，圆心为(0,0)的圆，而z1对应坐标系中的点为Z1(2，2)，所以|zz1|的最大值可以看成点(2，2)到圆上的点的最大距离，则|zz1|max21.15.设复数zlg(m22m14)(m2m6)i，求当实数m为何值时：(1)z为实数；(2)z对应的点位于复平面的第二象限.解(1)由题意得解得m3(m2舍去).故当m3时，z是实数.(2)由题意得即即得解得5m1.故当5m1时，z对应的点位于复平面内的第二象限.16.已知复数z在复平面内对应的点位于第四象限，且满足，其实部、虚部均为整数，记i为虚数单位.（）求复数z；（）当为纯虚数时，若，求实数m和n

15、的值.答案：（）或.（）【分析】（）根据题意设复数，再利用，解得即可；（）根据题意可得，则，代入整理可得实数和的值.【详解】（）设，则，因为在复平面内对应的点位于第四象限，所以，所以或，即或.（）当为纯虚数时，由（）知，则由，得，所以，解得.【点睛】本题主要考查复数的代数表示，复数相等的条件，属于基础题.B组 能力提升一、选择题1.已知复数z满足，则的最小值为（ ）A. 2B. 1C. D. 答案：B【分析】复数方程转化成实数方程，再由复数模几何意义得表示与圆上任一点间距离【详解】设，由得，又表示定点与圆上任一点间距离则由几何意义得，故选：B【点睛】本题主要考查复数模的计算和几何意义，考查了转

16、化思想，属于中档题2.已知复数z满足：，则的最大值为（ ）A. 2B. C. D. 3答案：B【分析】复数方程转化成实数方程，再由复数模定义表示与圆上任一点间距离【详解】解：设，由得圆的方程，又表示定点与圆上任一点间距离则由几何意义得，故选：B【点睛】本题主要考查复数模的计算和几何意义，属于中档题3.已知复数，满足，则点的轨迹是（ ）A. 线段B. 圆C. 双曲线D. 椭圆答案：D【分析】根据复数模长的几何意义，结合椭圆的定义知，复数z对应的点在某一椭圆上【详解】复平面上，复数满足， 则对应的点到点，点的距离和为， 即， 复数对应的点在以为焦点，长轴长为的椭圆上 故选：D【点睛】本题考查了复数

17、的代数形式与模长几何意义应用问题，也考查了椭圆的定义应用问题，是基础题4.若，则复数(cos sin )(sin cos )i在复平面内所对应的点在()A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限答案B解析，cos sin 0.选B.5.设A、B为锐角三角形的两个内角，则复数z(cos Btan A)tan Bi对应的点位于复平面的()A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限答案B解析因A、B为锐角三角形的两个内角，所以AB，即AB，sin Acos B.cos Btan Acos Bcos Bsin A0，又tan B0，所以点(cos Btan A，tan B)在第二

18、象限，故选B.二、填空题6.设zlog2(m23m3)ilog2(m3)(mR)，若z对应的点在直线x2y10上，则m的值是 .答案解析由题意知，复数zxyi(x，yR)的实部x和虚部y满足方程x2y10，故log2(m23m3)2log2(m3)10，则log21，m.m，m.7.若复数z满足（i为虚数单位），则 的最小值是_.答案：1分析：复数满足，设，利用复数的模的计算公式与三角函数求值即可求出详解：由复数满足，设，则，当且仅当时等号成立，所以的最小值为点睛：本题考查了复数的运算法则、模的计算公式及其三角函数的求解，着重考查了推理与运算能力，属于基础题8.已知复数，且，则的最大值为_答案

19、：【分析】根据复数z的几何意义以及的几何意义，由图象得出最大值.【详解】复数且，复数z的几何意义是复平面内以点为圆心，为半径的圆.的几何意义是圆上的点与坐标原点连线的斜率由图可知：即的最大值为.故答案为：【点睛】本题主要考查了复数的几何意义的应用，属于中档题.9.已知复数z满足，则的最小值是_答案：3【分析】根据绝对值不等式，求出的最小值即可【详解】复数满足， ， 的最小值是 故答案为3【点睛】本题主要考查了不等式的应用问题，也考查了复数的运算问题，是基础题目三、解答题10.已知z134i，|z|1，求|zz1|的最大值和最小值.解如图，|z|1表示复数z对应的点在以(0,0)为圆心，1为半径的圆上，而z1在坐标系中的对应点的坐标为(3,4)，|zz1|可看作是点(3,4)到圆上的点的距离.由图可知，点(3,4)到圆心(即原点)的距离为5，故|zz1|max516，|zz1|min514.11.设全集UC，Az|z|1|1|z|，zC，Bz|z|1，zC，若zA(UB)，求复数z在复平面内对应的点的轨迹.解zC，|z|R，1|z|R.|z|1|1|z|，1|z|0，即|z|1，Az|z|1，zC.又Bz|z|1，zC，UBz|z|1，zC.zA(UB)，zA且zUB，|z|1.由复数的模的几何意义知，复数z在复平面内对应的点的轨迹是以原点为圆心，1为半径的圆.