7.2.2 复数的乘、除运算（解析版）.docx

1、 7.2.1复数的乘、除运算导学案编写：廖云波 初审：孙锐 终审：孙锐 廖云波【学习目标】1.掌握复数代数形式的乘法和除法计算2.理解复数乘法的交换律、结合律和乘法对加法的分配律.3.理解共轭复数的概念.【自主学习】知识点1 复数的乘法1.复数的乘法法则设z1abi，z2cdi(a，b，c，dR)，则z1z2(abi)(cdi)(acbd)(adbc)i.2.复数乘法的运算律对任意复数z1、z2、z3C，有交换律z1z2z2z1结合律(z1z2)z3z1(z2z3)乘法对加法的分配律z1(z2z3)z1z2z1z3知识点2 共轭复数如果两个复数满足实部相等，虚部互为相反数时，称这两个复数为共轭

2、复数，z的共轭复数用表示.即zabi，则abi.知识点3 复数的除法设z1abi，z2cdi(cdi0)，则i.【合作探究】探究一 复数乘法的运算【例1】计算：(1)(2i)(2i)；(2)(12i)2.解(1)(2i)(2i)4i24(1)5；(2)(12i)214i(2i)214i4i234i.归纳总结：【练习1】计算：(1)(12i)(34i)(2i)；(2)(34i)(34i)；(3)(1i)2.解(1)(12i)(34i)(2i)(112i)(2i)2015i；(2)(34i)(34i)32(4i)29(16)25；(3)(1i)212ii22i.探究二 复数除法的运算【例2】计算：

3、(1)；(2).分析复数的除法法则，通过分子、分母都乘以分母的共轭复数，使“分母实数化”，这个过程与“分母有理化”类似解(1)因为i1，i.所以i1(i)1.(2)iii2i.归纳总结：【练习2】计算：(1)；(2).解(1)1i；(2)13i.探究三 共轭复数【例3】已知复数z满足z2iz42i，求复数z.分析设zxyi(x，yR)由题意得到方程组求x，y的值得到复数z.解设zxyi(x，yR)，则xyi，由题意，得(xyi)(xyi)2(xyi)i(x2y22y)2xi42i，解得或z13i或z1i.归纳总结：【练习3】若f(z)2z3i，f(i)63i，求f(z).解因为f(z)2z3i

4、，所以f(i)2(i)(i)3i22izi3i2z2i.又f(i)63i，所以2z2i63i.设zabi(a，bR)，则abi，所以2(abi)(abi)6i，即3abi6i.由复数相等的定义，得解得所以z2i，故f(z)2(2i)(2i)3i64i.课后作业A组 基础题一、选择题1.已知复数，则z的虚部为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【分析】利用复数的代数形式的运算法则，先求出z，由此利用复数的定义能求出z的虚部【详解】,故的虚部为故选：B【点睛】本题考查复数的虚部的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意复数的代数形式的合理运用 2.复数的虚部是（ ）A. B. C. D. 【答案

5、】：D【分析】先利用复数除法运算化简，即可求虚部.【详解】，所以虚部为：故选: D【点睛】本题主要考查了复数的除法运算，考查了求复数的虚部，属于基础题.3.复数的共轭复数在复平面内对应的点所在象限为( )A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】：A【分析】先对复数进行化简，然后得到其共轭复数，再找到其再复平面对应的点，得到答案.【详解】，所以在复平面对应的点为，在第一象限.故选：A.【点睛】本题考查复数的运算，共轭复数，复数在复平面对应的点，属于简单题.4.若复数，在复平面内对应的点关于轴对称，且，则复数的共轭复数为（ ）A. -1B. 1C. D. 【答案】：D【分析

6、】根据复数的几何意义得到，再根据复数的乘除法运算法则可得结果.【详解】解:依题意可得，所以，故选：D【点睛】本题考查了复数的几何意义和复数的乘除法运算，属于基础题.5.已知复数是关于的方程的一个根，则实数的值分别为（ ）A. 6,8B. 12,0C. 12,26D. 24,26【答案】：C【分析】由条件可知，化简求值.【详解】由条件可知是方程的一个实数根，则 化简为：，即 ，解得：.故选：C【点睛】本题考查复数的代数计算，重点考查计算化简能力，属于基础题型.6.复数（i是虚数单位），则z在复平面内对应的点位于（ ）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】：A【分析】化简

7、复数，再求复数对应复平面的点所在的象限.【详解】，则在复平面内对应的点是，位于第一象限.故选：A【点睛】本题考查复数的除法计算，以及复数的几何意义，属于基础题型.7.设复数，则（ ）.A. B. C. 2D. 1【答案】：A【分析】根据复数的运算法则计算出，结合复数模长公式即可得结果.【详解】由，得.故选：A.【点睛】本题主要考查了复数的四则运算，复数模长的概念，属于基础题.8.（多选题）已知复数，则（ ）A. B. z的虚部是C. 若，则，D. 【答案】：CD【分析】取特殊值可判断A选项的正误；由复数的概念可判断B、C选项的正误；由复数模的概念可判断D选项的正误.【详解】对于A选项，取，则，

8、A选项错误；对于B选项，复数的虚部为，B选项错误；对于C选项，若，则，C选项正确；对于D选项，D选项正确.故选：CD.【点睛】本题考查复数相关命题真假的判断，涉及复数的计算、复数的概念以及复数的模，属于基础题.9.（多选题）若复数，其中i为虚数单位，则下列结论正确的是（ ）A. z的虚部为B. C. 为纯虚数D. z的共轭复数为【答案】：ABC【分析】首先利用复数代数形式的乘除运算化简后得：，然后分别按照四个选项的要求逐一求解判断即可.【详解】因为，对于A：的虚部为，正确；对于B：模长，正确；对于C：因为，故为纯虚数，正确；对于D：的共轭复数为，错误.故选：ABC.【点睛】本题考查复数代数形式

9、的乘除运算，考查复数的有关概念，考查逻辑思维能力和运算能力，侧重考查对基础知识的理解和掌握，属于常考题.10.（多选题）已知复数(a,i为虚数单位),且,下列命题正确的是( )A. z不可能为纯虚数B. 若z的共轭复数为,且,则z是实数C. 若,则z是实数D. 可以等于【答案】：BC【分析】根据纯虚数、共轭复数、复数的模、复数为实数等知识，选出正确选项.【详解】当时,此时为纯虚数,A错误;若z的共轭复数为,且,则,因此,B正确;由是实数,且知,z是实数,C正确;由得,又,因此,无解,即不可以等于,D错误.故选：BC【点睛】本小题主要考查复数的有关知识，属于基础题.11.（多选题）已知复数z满足

10、（1i）z2i，则下列关于复数z的结论正确的是（）A. B. 复数z的共轭复数为1iC. 复平面内表示复数z的点位于第二象限D. 复数z是方程x2+2x+20的一个根【答案】：ABCD【分析】利用复数的除法运算求出，再根据复数的模长公式求出，可知正确；根据共轭复数的概念求出，可知正确；根据复数的几何意义可知正确；将代入方程成立，可知正确.【详解】因为（1i）z2i，所以，所以，故正确；所以，故正确；由知，复数对应的点为，它在第二象限，故正确；因，所以正确.故选：ABCD.【点睛】本题考查了复数的除法运算，考查了复数的模长公式，考查了复数的几何意义，属于基础题.二、填空题12.若复数，则_.【答

11、案】：【分析】利用复数的除法法则将复数表示为一般形式，然后利用复数的模长公式可计算出的值.【详解】，因此，.故答案为：.【点睛】本题考查复数模的计算，同时也考查了复数的除法运算，考查计算能力，属于基础题.13.已知i是虚数单位，若复数是纯虚数，则_【答案】：【分析】由条件设，再化简，列式求解.【详解】是纯虚数，则设 ， ，解得：.故答案为：【点睛】本题考查根据复数的特征求参数的取值范围，重点考查计算能力，属于基础题型.14.已知复数，则的共轭复数是_【答案】：【分析】利用复数的模长公式求出，并求出，利用共轭复数的定义可得出结果.【详解】，则，因此，的共轭复数是.故答案为：.【点睛】本题考查复数

12、模长和共轭复数的计算，考查计算能力，属于基础题.15.若复数满足，则在复平面内与复数z对应的点Z位于第_象限.【答案】：四【分析】求出复数，进而可得答案.【详解】因，所以在复平面内与复数对应的点为，复数对应的点位于第四象限.故答案为：四.【点睛】本题考查复数的运算及几何意义，是基础题.三、解答题16.已知复数，若，且z在复平面内对应的点位于第四象限（1）求复数z；（2）若，求实数a、b的值【答案】：（1）z1i； （2）a3，b4【分析】（1）由已知求得，结合在复平面内对应的点位于第四象限可得，则复数可求；（2）把代入，整理后由两个复数相等对应实部虚部分别相等即可求解【详解】解：（1），得又在

13、复平面内对应的点位于第四象限，即；（2）由（1）得，解得，【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，考查复数模的求法，属于基础题17.已知复数.（1）当实数m为何值时，复数z为纯虚数；（2）当时，计算.【答案】：（1）；（2）.【分析】（1）由复数为纯虚数得出其实部为零，虚部不为零，进而可解得实数的值；（2）当时，由复数的四则运算法则可计算得出的值.【详解】（1）复数为纯虚数，则，解得；（2）当时，.【点睛】本题考查利用复数类型求参数，同时也考查了复数的计算，考查计算能力，属于基础题.18.已知复数z满足，且复数为实数（1）求复数z（2）求的值【答案】：（1）或；（2）【分析

14、】（1）设，得方程组求解即可得复数（2）利用复数乘除运算求解模长【详解】（1）设，则因为复数为实数，则，又， 解得 或故或（2）B组 能力提升一、选择题1.在复平面内，复数对应向量（O为坐标原点），设，以射线Ox为始边，OZ为终边旋转的角为，则，法国数学家棣莫弗发现棣莫弗定理：，,则 ，由棣莫弗定理导出了复数乘方公式:,则 （ ）A. B. C. D. 【答案】：A【分析】先将复数化为的形式，然后再根据由棣莫弗定理得到的复数的乘方公式计算即可【详解】由题意得复数可化为，所以故选A【点睛】本题以复数的运算为载体考查新信息问题，解题的关键是通过理解题意得到复数三角形式的乘方公式，考查计算和阅读理解

15、的能力，属于基础题2.已知复数，则（ ）A. 1B. 1C. D. 11【答案】：B【分析】由等比数列的求和公式及的性质求解即可.【详解】,故选：B【点睛】本题主要考查了虚数单位的性质，等比数列的求和公式，复数的除法运算，属于容易题.3.（多选题）已知复数（是虚数单位），则下列结论正确的是（ ）A. B. 复数z的共轭复数C. 复数z的虚部等于1D. 【答案】：ACD【分析】首先化简复数，再分别分析四个选项，利用复数的相关定义判断.【详解】 所以，故A正确；复数的共轭复数，故B不正确；复数的虚部等于-1，故C正确；，.故D正确.故选：ACD【点睛】本题考查复数的的化简，定义，运算律，属于基础题

16、型.4.（多选题）在复平面内，下列说法正确的是（ ）A. 若复数（i为虚数单位），则B. 若复数z满足，则C. 若复数，则z为纯虚数的充要条件是D. 若复数z满足，则复数z对应点的集合是以原点O为圆心，以1为半径的圆【答案】：AD【分析】根据复数的运算及相关概念一一判断可得；【详解】解：对于A：，所以，故A正确；对于B：设，所以，若，则，则或或，当时，故B错误；复数，则z为纯虚数的充要条件是且，故C错误；若复数z满足，则复数z对应点的集合是以原点O为圆心，以1为半径的圆，故D正确；故选：AD【点睛】本题考查复数的运算及相关概念的理解，属于基础题.二、填空题5.已知i为虚数单位，复数z满足，则_

17、.【答案】：1【分析】利用复数的四则运算求出，再求其模【详解】因为，所以，则.故答案为：1.【点睛】本题考查复数的四则运算，考查复数模的运算，属于基础题三、解答题6.已知复数z满足|z|，z的实部大于0，z2的虚部为2.（1）求复数z；（2）设复数z，z2，zz2之在复平面上对应的点分别为A，B，C，求（）的值.【答案】：（1）1+i；（2）2.【分析】（1）先设出复数的表达式,结合已知条件中,实部大于,和的虚部为,列出方程求解出复数的表达式.（2）由（1）求出复数的表达式,即可得到,在复平面上对应的点坐标,进而求出结果.【详解】（1）设复数z=x+yi,x、yR;由|z|,得x2+y2=2;

18、又z的实部大于即x0,z2=x2y2+2xyi的虚部为2xy=2,所以xy=1;解得x=1,y=1;所以复数z=1+i;（2）复数,则,;则A（1,1）,B（0,2）,C（1,1）;所以.【点睛】本题考查了求复数的表达式及复数的几何意义,解题时的方法是设出复数的表达式,按照题意得到方程组进行求解,本题较为基础.7.已知复数w满足为虚数单位，(1)求z；(2)若(1)中的z是关于x的方程的一个根，求实数p，q的值及方程的另一个根【答案】：（1）（2），【分析】利用复数的运算计算出w，代入z即可得出把代入关于x的方程，利用复数相等解出p，q，即可得出【详解】 ，是关于x的方程的一个根，q为实数，解

19、得，解方程，得实数，方程的另一个根为【点睛】本题考查了复数的运算法则、复数相等，考查了推理能力与计算能力，属于中档题8.已知复数，其中为实数，为虚数单位.（1）若复数在复平面内对应的点在第三象限，求的取值范围；（2）若是实数（是的共扼复数），求的值.【答案】：（1）；（2）.【分析】（1）根据复数对应点所在的象限得出关于实数的不等式组，解出即可；（2）根据是实数，得出该复数的虚部为零，可求出实数的值，再利用复数的模长公式可计算出的值.【详解】（1）复数在复平面内对应的点在第三象限，则，解得，即.故实数的取值范围是；（2），.是实数，解得，.【点睛】本题考查利用复数的几何意义、复数的概念求参数，

20、同时也考查了复数模长的计算，考查计算能力，属于中等题.9.已知复数（i为虚数单位，）为纯虚数，和b是关于x的方程的两个根.（1）求实数a，b的值；（2）若复数z满足，说明在复平面内z对应的点Z的集合是什么图形？并求该图形的面积【答案】：（1），（2）点的集合是以原点为圆心，以1和为半径的两个圆所夹的圆环，包括边界；面积为【分析】（1）根据复数的分类求解，然后由韦达定理可求得；（2）根据模的几何意义说明结论【详解】解：（1）因为为纯虚数，所以，即，解得，此时，由韦达定理得，.（2）复数满足，即，不等式的解集是圆的外部（包括边界）所有点组成的集合，不等式的解集是圆的内部（包括边界）所有点组成的集合，所以所求点的集合是以原点为圆心，以和为半径的两个圆所夹的圆环，包括边界.【点睛】本题考查复数的分类、韦达定理，考查复数模的几何意义，属于基础题