6.1分类加法计数原理与分步乘法计数原理(1)导学案.docx

1、6.1分类加法计数原理与分步乘法计数原理(1)1.通过实例能归纳总结出分类加法计数原理与分步乘法计数原理;2.正确理解“完成一件事情”的含义，能根据具体问题的特征,选择“分类”或“分步”.3.能利用两个原理解决一些简单的实际问题.重点：分类加法计数原理、分步乘法计数原理及其简单应用 难点： 准确应用两个计数原理解决问题一、分类加法计数原理 完成一件事,如果有n类办法,且:第一类办法中有m1种不同的方法,第二类办法中有m2种不同的方法第n类办法中有mn种不同的方法,那么完成这件事共有N=m1+m2+mn种不同的方法.利用分类加法计数原理解题的注意事项(1)明确题目中所指的“完成一件事”是什么事,

2、完成这件事可以有哪些办法,怎么才算是完成这件事.(2)完成这件事的n类办法,无论用哪类办法中的哪种方法都可以单独完成这件事,而不需要用到其他的方法.(3)确立恰当的分类标准,准确地对“完成这件事的办法”进行分类,要求每一种方法必属于某一类办法,不同类办法的任意两种方法不同,也就是分类必须既不重复也不遗漏.从集合的角度看,若完成一件事分A,B两类办法,则AB=,AB=I(I表示全集).二、分步乘法计数原理完成一件事,如果需要分成n个步骤,且:做第一步有m1种不同的方法,做第二步有m2种不同的方法做第n步有mn种不同的方法,那么完成这件事共有N=m1m2mn种不同的方法.利用分步乘法计数原理解题的

3、注意事项(1)明确题目中所指的“完成一件事”是什么事,完成这件事需要几步.(2)完成这件事需要分成若干个步骤,只有每个步骤都完成了,才算完成这件事,无论缺少哪一步,这件事都不可能完成.(3)根据题意正确分步,要求各步之间必须连续,只有按照这几步逐一去做,才能完成这件事,各步之间既不能重复也不能遗漏.(4)对于同一个题目,标准不同,分步也不同.分步的基本要求:一是完成一件事,必须且只需连续做完几步,既不漏步也不重步;二是不同步骤的方法不能互相替代.一、问题导学 计数问题是我们从小就经常遇到的，通过列举一个一个地数是计数的基本方法，但当问题中的数量很大时，列举的方法效率不高，能否设计巧妙的“数法”

4、，以提高效率呢？下面先分析一个简单的问题，并尝试从中得出巧妙的计数方法.问题1. 用一个大写的英文字母或一个阿拉伯数字给教室里的一个座位编号，总共能编出多少种不同的号码？探究与发现问题2.你能说说这个问题的特征吗？你能举出一些生活中类似的例子吗？二、典例解析例1.在填写高考志愿时，一名高中毕业生了解到，A,B两所大学各有一些自己感兴趣的强项专业，如表，A大学B大学生物学数学化学会计学医学信息技术学物理学法学工程学如果这名同学只能选一个专业，那么他共有多少种选择？利用分类加法计数原理解题的一般思路(1)分类:将完成这件事的办法分成若干类;(2)计数:求出每一类中的方法数;(3)结论:将每一类中的

5、方法数相加得最终结果.问题3. 如果完成一件事有三类不同方案，在第一类方案中有 m1种不同的方法，在第二类方案中有m2种不同的方法，在第三类方案中有m3种不同的方法，那么完成这件事共有多少种不同的方法？如果完成一件事情有N类不同方案，在每一类中都有若干种不同的方法，那么应该如何计数呢？跟踪训练1.在所有的两位数中，个位数字大于十位数字的两位数的个数是()A18 B36 C72 D48问题4. 用前6个大写的英文字母和19个阿拉伯数字，以A1， A1，A9，B1，B2，的方式给教室里的一个座位编号，总共能编出多少种不同的号码？问题5.你能说说这个问题的特征吗？你能举出一些生活中类似的例子吗？例2

6、.设某班有男生30名，女生24名。现要从中选出男、女生各一名代表班级参加比赛，共有多少种不同的选法？问题6. 如果完成一件事有三个步骤, 做第1步有m1种不同的方法，做第2步有m2种不同的方法，做第3步有m3种不同的方法，那么完成这件事共有多少种不同的方法?如果完成一件事需要有n个步骤,做每一步中都有若干种不同方法,那么应当如何计数呢? 如果完成一件事需要n个步骤，做第1步有m1种不同的方法，做第2步有m2种不同的方法，,做第n步有mn种不同的方法,那么完成这件事的方法总数如何计算？分步乘法计数原理一般结论：例3.书架上第1层放有4本不同的计算机书,第 2层放有3本不同的文艺书,第3层放有2本

7、不同的体育杂志.(1)从书架上任取1本书,有多少种不同的取法?(2)从书架的第1、 2、 3层各取1本书,有多少种不同取法?(3)从书架上取2本不同学科的书,有多少种不同的取法?应用分步乘法计数原理解题的一般思路跟踪训练2.有6名同学报名参加三个智力竞赛项目，在下列情况下各有多少种不同的报名方法？(不一定6名同学都参加)(1)每人恰好参加一项，每项人数不限；(2)每项限报一人，且每人至多参加一项；(3)每项限报一人，但每人参加的项目不限1.某教师有相同的语文参考书3本，相同的数学参考书4本，从中取出4本赠送给4位学生，每位学生1本，则不同的赠送方法共有()A20种 B15种 C10种 D4种2

8、.现有6名同学去听同时进行的5个课外知识讲座，每名同学可自由选择其中的一个讲座，不同的选法的种数是()A56 B65 C30 D113. 4张卡片的正、反面分别标有0与1,2与3,4与5,6与7,将其中3张卡片排放在一起,可组成个不同的三位数.4.如图所示的电路图,从A到B共有条不同的线路可通电.5.如图,一只蚂蚁沿着长方体的棱,从顶点A爬到相对顶点C1,求其中经过3条棱的路线共有多少条?6.某外语组有9人,每人至少会英语和日语中的一门,其中7人会英语,3人会日语,从中选出会英语和日语的各一人到边远地区支教,有多少种不同的选法?两个原理的联系与区别1.联系:分类加法计数原理和分步乘法计数原理都

9、是解决计数问题最基本、最重要的方法.2.区别分类加法计数原理分步乘法计数原理区别一完成一件事共有n类办法,关键词是“分类”完成一件事共有n个步骤,关键词是“分步”区别二每类办法中的每种方法都能独立地完成这件事,它是独立的、一次的且每种方法得到的都是最后结果,只需一种方法就可完成这件事除最后一步外,其他每步得到的只是中间结果,任何一步都不能独立完成这件事,缺少任何一步也不能完成这件事,只有各个步骤都完成了,才能完成这件事区别三各类办法之间是互斥的、并列的、独立的各步之间是关联的、独立的,“关联”确保不遗漏,“独立”确保不重复 参考答案：知识梳理学习过程 问题1. 因为英文字母共有26个，阿拉伯数

10、字共有10个，所以总共可以编出26+10=36种不同的号码.问题2.上述计数过程的基本环节是：（1）确定分类标准，根据问题条件分为字母号码和数字号码两类；（2）分别计算各类号码的个数；（3）各类号码的个数相加，得出所有号码的个数.例1. 分析:要完成的事情是“选一个专业” .因为这名同学在A,B两所大学中只能选择一所，而且只能选择一个专业，又因为这两所大学没有共同的强项专业，所以符合分类加法计数原理的条件.解：这名同学可以选择A,B两所大学中的一所，在A大学中有5种专业选择 方法，在B大学中有4种专业选择方法，因为没有一个强项专业是两所大学共有的，所以根据分类加法计数原理，这名同学可能的专业选

11、择种数N=5+4=9.问题3.分类加法计数原理：完成一件事,如果有n类办法,且:第一类办法中有m1种不同的方法,第二类办法中有m2种不同的方法第n类办法中有mn种不同的方法,那么完成这件事共有N=m1+m2+mn种不同的方法.跟踪训练1.解析：方法一按十位上的数字分别是1，2，3，4，5，6，7，8分成八类，在每一类中满足条件的两位数分别有8个、7个、6个、5个、4个、3个、2个、1个由分类加法计数原理知，满足条件的两位数共有8765432136(个).方法二按个位上的数字分别是2，3，4，5，6，7，8，9分成八类，在每一类中满足条件的两位数分别有1个、2个、3个、4个、5个、6个、7个、8

12、个由分类加法计数原理知，满足条件的两位数共有1234567836(个).方法三考虑两位数的个位数字与十位数字的大小关系，利用对应思想解决所有的两位数共有90个，其中，个位数字等于十位数字的两位数为11，22，33，99，共9个；有10，20，30，90共9个两位数的个位数字与十位数字不能调换位置，则剩余的两位数有901872(个).在这72个两位数中，每一个个位数字(a)小于十位数字(b)的两位数都有一个十位数字(a)小于个位数字(b)的两位数与之对应，故满足条件的两位数的个数是72236.故选B.答案：B问题4. 解：方法一：解决计数问题可以用“树状图”列举出来方法二：由于6个英文字母中的任

13、意一个都能与6个数字中的任意一个组成一个号码，而且它们互不相同，因此共有69=54种不同的号码.问题5.上述计数过程的基本环节是：（1）由问题条件中的“和”，可确定完成编号要分两步；（2）分别计算各步号码的个数；（3）将各步号码的个数相乘，得出所有号码的个数.例2.分析:选出一组参赛代表，可分两步：第一步, 选男生；第二步,选女生.解：第一步,从30名男生中选出1人,有30种不同选择；第二步,从24名女生中选出1人,有24种不同选择；根据分步计数原理，共有 3024=720种不同方法.问题6. Nm1m2m3Nm1m2mn例3.解：（1）根据分类加法计数原理可得：N43+29；（2）根据分步乘

14、法计数原理可得：N4 3224；（3）需先分类再分步.第一类：从一、二层各取一本，有43=12种方法；第二类：从一、三层各取一本,有42=8种方法；第三类：从二、三层各取一本,有32=6种方法；根据两个基本原理，不同的取法总数是N=43+42+32=26答: 从书架上取2本不同种的书,有26种不同的取法.跟踪训练2. 解：(1)每人都可以从这三个比赛项目中选报一项，各有3种不同的报名方法根据分步乘法计数原理，可得不同的报名方法种数为36729.(2)每项限报一人，且每人至多参加一项，因此可由项目选人，第一个项目有6种选法，第二个项目有5种选法，第三个项目有4种选法根据分步乘法计数原理，可得不同

15、的报名方法种数为654120.(3)每人参加的项目不限，因此每一个项目都可以从这6人中选出1人参赛根据分步乘法计数原理，可得不同的报名方法种数为63216.达标检测1. 解析：若4本中有3本语文参考书和1本数学参考书，则有4种方法，若4本中有1本语文参考书和3本数学参考书，则有4种方法，若4本中有2本语文参考书和2本数学参考书，则有6种方法，若4本都是数学参考书，则有一种方法，所以不同的赠送方法共有446115(种).故选B.答案：B2.解析：(1)第一名同学有5种选择方法，第二名也有5种选择方法，依次，第六名同学有5种选择方法，综上，6名同学共有56种不同的选法故选A.3. 解析:分三个步骤

16、:第一步:百位可放8-1=7个数;第二步:十位可放6个数;第三步:个位可放4个数.根据分步乘法计数原理,可以组成N=764=168个不同的三位数.答案:1684.解析:先分三类.第一类,经过支路有3种方法;第二类,经过支路有1种方法;第三类,经过支路有22=4种方法,所以总的线路条数N=3+1+4=8.答案:85.解:从总体上看有三类方法,分别经过AB,AD,AA1.从局部上看每一类又需分两步完成.故第一类:经过AB,有m1=12=2条;第二类:经过AD,有m2=12=2条;第三类:经过AA1,有m3=12=2条.根据分类加法计数原理,从顶点A到顶点C1经过3条棱的路线共有N=2+2+2=6条

17、.6.解:由题意知,有1人既会英语又会日语,6人只会英语,2人只会日语.方法一:分两类.第一类:从只会英语的6人中选1人有6种选法,从会日语的3人中选1人有3种选法.此时共有63=18(种)选法.第二类:从“全能”的人中选1人有1种选法,从只会日语的2人中选1人有2种选法,此时有12=2(种)选法.所以由分类加法计数原理知,共有18+2=20(种)选法.方法二:设既会英语又会日语的人为甲,则甲有入选和不入选两类情形,入选后又分两种情况:(1)教英语;(2)教日语.第一类:甲入选.(1)甲教英语,再从只会日语的2人中选1人,由分步乘法计数原理,有12=2(种)选法;(2)甲教日语,再从只会英语的6人中选1人,由分步乘法计数原理,有16=6(种)选法.故甲入选的不同选法共有2+6=8(种).第二类:甲不入选.可分两步:第一步,从只会英语的6人中选1人有6种选法;第二步,从只会日语的2人中选1人有2种选法.由分步乘法计数原理,有62=12(种)不同的选法.综上,共有8+12=20(种)不同的选法.