7.3.2 复数乘、除运算的三角表示及其几何意义（解析版）.docx

1、7.3.2复数乘、除运算的三角表示及其几何意义 导学案编写：廖云波 初审：孙锐 终审：孙锐 廖云波【学习目标】1.利用复数三角形式熟练进行复数乘除运算，并能根据乘除运算的几何意义解决相关问题2.注意多种解题方法的灵活运用，体会数形结合、分类讨论等数学思想方法【自主学习】知识点1 复数的三角形式的运算设z1r1(cos1isin1)，z2r2(cos2isin2)，则(1)乘法：z1z2r1r2cos(12)isin(12)，这就是说，两个复数相乘，积的模等于各复数的模的积，积的辐角等于各复数的辐角的和(2)除法：z1z2cos(12)isin(12)(其中z20)，这就是说，两个复数相除，商的

2、模等于被除数的模除以除数的模所得的商，商的辐角等于被除数的辐角减去除数的辐角所得的差(3)乘方：znrn(cosnisinn)(4)开方：(cosisin)(k0,1,2，n1)知识点2 复数三角形式乘、除运算的几何意义两个复数z1，z2相乘时，可以像图中所示那样，先分别画出与z1，z2对应的向量，然后把向量绕点O按逆时针方向旋转一个角2(如果20，就要把按顺时针方向旋转一个角|2|)，再把它的模变为原来的r2倍，得到向量，表示的复数就是积z1z2.这就是复数乘法的几何意义z20，的几何意义是把z的对应向量按顺时针方向旋转一个角2(如果20，所以复数z2z的模为2cos，辐角为(2k1)(kZ

3、)探究二 复数的乘、除运算的几何意义【例2】向量与1i对应，把按逆时针方向旋转120，得到，求与向量对应的复数解将向量逆时针方向旋转120，得到，由于模未发生变化，应当是对应复数乘以1(cos120isin120)，即z(1i)(cos120isin120)(cos135isin135)(cos120isin120)(cos255isin255)i.归纳总结：利用复数乘、除法的几何意义来解决三角形中角的大小问题，十分方便【练习2】如图，已知平面内并列的三个相等的正方形，利用复数证明123.证明：1，2，3分别等于复数1i,2i,3i的辐角主值，这样123就是(1i)(2i)(3i)10i的辐角

4、，1，2，3都是锐角，所以123.课后作业A组 基础题一、选择题1复数(sin10icos10)3的三角形式为()Asin30icos30Bcos240isin240Ccos30isin30Dsin240icos240【答案】B2若zcos isin ，则使z21的值可能是()A0B. CD2【答案】B解析：zcosisincos()isin()，z2zzcos(2)isin(2)cos2isin21，.34(cos60isin60)3(cos150isin150)()A66iB66iC66iD66i【答案】D解析：4(cos60isin60)3(cos150isin150)12cos(601

5、50)isin(60150)12(cos210isin210)1266i.故选D.4复数z11，z2是由z1绕原点O逆时针方向旋转而得到，则arg()的值为()A. B.C. D.【答案】D5(多选)设z1、z2是复数，argz1，argz2，则arg(z1z2)有可能是下列情况中的()AB2C2()D【答案】ABC解析：因为argz1，argz2，所以0,2)，0,2)，而arg(z1z2)0,2)，则当0,2)时，arg(z1z2)；当2，4)时，20,2)，则arg(z1z2)2；当时，2()，此时arg(z1z2)2()，故选ABC.二、填空题6复数i的一个立方根是i，它的另外两个立方

6、根是 .【答案】i，i解析：icosisin，其立方根是cosisin，k0,1,2，即i，i，i.三、解答题7计算：4(cosisin)2(cosisin)解：原式2cos()isin()2(cosisin)2i.8把复数z1与z2对应的向量，分别按逆时针方向旋转和后，重合于向量且模相等，已知z21i，求复数z1的代数形式和它的辐角主值解：由复数乘法的几何意义得z1(cosisin)z2(cosisin)，又z21i2(cosisin)，z12cos(3)isin(3)i，z1的辐角主值为.9计算：(cosisin)4(cosisin)解：原式4cos()isin()4(cosisin)22

7、i.10若z(cosisin)，求z2与z3的值解：z2zz()2cos()isin()3(cosisin)i.z3zzz()3cos(3)isin(3)3(cosisin)3i.11在复平面上A，B表示复数为，(0)，且(1i)，判断AOB形状，并证明SAOB|2.解：AOB为等腰直角三角形证明：0，(1i)，1i(cosisin)，AOB；，分别表示复数，由i，得icosisin，OAB90，AOB为等腰直角三角形SAOB|OA|2|2.12设复数z1i，复数z2满足|z2|2，已知z1z的对应点在虚轴的负半轴上，且argz2(0，)，求z2的代数形式解：因为z12(cosisin)，设z

8、22(cosisin)，(0，)，所以z1z8cos(2)isin(2)由题设知22k(kZ)，所以k(kZ)，又(0，)，所以，所以z22(cosisin)1i.B组 能力提升一、选择题1复数zsinicos，若zn(nN)，则n的最小值是()A1B3C5D7【答案】C解析：因为zsinicoscosisin，所以zncosisin，cosisincosisin.因为zn，所以2k，n，因为nN，kZ，所以当k4时，n5.2.设复数z12sinicos()在复平面上对应向量，将按顺时针方向旋转后得到向量，对应复数z2r(cosisin)，则tan()A. B.C. D.【答案】A二、填空题3

9、(1i)76464i.解析：(1i)77271286464i.三、解答题4若zC，|z2|1，求|z|的最大值，最小值和argz范围解：如图，由|z2|1，知z的轨迹为复平面上以(2,0)为圆心，1为半径的圆面(包括圆周)，|z|表示圆面上任一点到原点的距离显然1|z|3，|z|max3，|z|min1，另设圆的两条切线为OA，OB，A，B为切点，由|CA|1，|OC|2知AOCBOC，argz0，2)5已知复数z12i对应的点为P1，z234i对应的点为P2，把向量绕P1点按顺时针方向旋转后，得到向量，求向量和点P对应的复数分别是什么？解：由题意知向量对应的复数是z2z1(34i)(2i)1

10、3i.再由复数乘法的几何意义得，向量对应的复数是(13i)3i，最后由复数加法的几何意义得，向量，其对应的复数是(2i)(3i)12i，故点P对应的复数为12i.6已知z2i，z1z20，argz2，若z1，z2在复平面上分别对应点A，B，且|AB|，求z1的立方根解：由题设知z1i，因为|AB|，即|z1z2|，所以|z1z2|z2z2|(1i)z2z2|iz2|z2|，又argz2，所以z2(cosisin)，z1z2(1i)z2(cosisin)(cosisin)2(cosisin)，所以z1的立方根为cosisin，k0,1,2，即(cosisin)，(cosisin)，(cosisin)