(学案)空间直线、平面的垂直.docx

1、空间直线、平面的垂直【第一学时】学习重难点学习目标核心素养异面直线所成的角会用两条异面直线所成角的定义，找出或作出异面直线所成的角，会在三角形中求简单的异面直线所成的角直观想象、逻辑推理、数学运算直线与平面垂直的定义理解并掌握直线与平面垂直的定义，明确定义中“任意”两字的重要性直观想象直线与平面垂直的判定定理掌握直线与平面垂直的判定定理，并能解决有关线面垂直的问题直观想象、逻辑推理【学习过程】一、问题导学预习教材内容，思考以下问题：1异面直线所成的角的定义是什么？2异面直线所成的角的范围是什么？3异面直线垂直的定理是什么？4直线与平面垂直的定义是什么？5直线与平面垂直的判定定理是什么？二、合作

2、探究异面直线所成的角如图，在正方体ABCDEFGH中，O为侧面ADHE的中心求：(1)BE与CG所成的角；(2)FO与BD所成的角【解】(1)如图，因为CGBF.所以EBF(或其补角)为异面直线BE与CG所成的角，又在BEF中，EBF45，所以BE与CG所成的角为45.(2)连接FH，因为HDEA，EAFB，所以HDFB，又HDFB，所以四边形HFBD为平行四边形所以HFBD，所以HFO(或其补角)为异面直线FO与BD所成的角连接HA，AF，易得FHHAAF，所以AFH为等边三角形，又知O为AH的中点，所以HFO30，即FO与BD所成的角为30.1变条件在本例正方体中，若P是平面EFGH的中心

3、，其他条件不变，求OP和CD所成的角解：连接EG，HF，则P为HF的中点，连接AF，AH，OPAF，又CDAB，所以BAF(或其补角)为异面直线OP与CD所成的角，由于ABF是等腰直角三角形，所以BAF45，故OP与CD所成的角为45.2变条件在本例正方体中，若M，N分别是BF，CG的中点，且AG和BN所成的角为39.2，求AM和BN所成的角解：连接MG，因为BCGF是正方形，所以BFCG，因为M，N分别是BF，CG的中点，所以BMNG，所以四边形BNGM是平行四边形，所以BNMG，所以AGM(或其补角)是异面直线AG和BN所成的角，AMG(或其补角)是异面直线AM和BN所成的角，因为AMMG

4、，所以AGMMAG39.2，所以AMG101.6，所以AM和BN所成的角为78.4. 直线与平面垂直的定义(1)直线l平面，直线m，则l与m不可能()A平行相交C异面 垂直(2)设l，m是两条不同的直线，是一个平面，则下列命题正确的是()A若lm，m，则l B若l，lm，则mC若l，m，则lm D若l，m，则lm【解析】(1)因为直线l平面，所以l与相交又因为m，所以l与m相交或异面由直线与平面垂直的定义，可知lm.故l与m不可能平行(2)对于A，直线lm，m并不代表平面内任意一条直线，所以不能判定线面垂直；对于B，因为l，则l垂直于内任意一条直线，又lm，由异面直线所成角的定义知，m与平面内

5、任意一条直线所成的角都是90，即m，故B正确；对于C，也有可能是l，m异面；对于D，l，m还可能相交或异面【答案】(1)A(2)B直线与平面垂直的判定如图，PA平面ABCD，底面ABCD为矩形，AEPB于点E，AFPC于点F.(1)求证：PC平面AEF；(2)设平面AEF交PD于点G，求证：AGPD.【证明】(1)因为PA平面ABCD，BC平面ABCD，所以PABC.又ABBC，PAABA，所以BC平面PAB，AE平面PAB，所以AEBC.又AEPB，PBBCB，所以AE平面PBC，PC平面PBC，所以AEPC.又因为PCAF，AEAFA，所以PC平面AEF.(2)由(1)知PC平面AEF，又

6、AG平面AEF，所以PCAG，同理CD平面PAD，AG平面PAD，所以CDAG，又PCCDC，所以AG平面PCD，PD平面PCD，所以AGPD.1变条件在本例中，底面ABCD是菱形，H是线段AC上任意一点，其他条件不变，求证：BDFH.证明：因为四边形ABCD是菱形，所以BDAC，又PA平面ABCD，BD平面ABCD，所以BDPA，因为PAACA，所以BD平面PAC，又FH平面PAC，所以BDFH.2变条件若本例中PAAD，G是PD的中点，其他条件不变，求证：PC平面AFG.证明：因为PA平面ABCD，DC平面ABCD，所以DCPA，又因为ABCD是矩形，所以DCAD，又PAADA，所以DC平

7、面PAD，又AG平面PAD，所以AGDC，因为PAAD，G是PD的中点，所以AGPD，又DCPDD，所以AG平面PCD，所以PCAG，又因为PCAF，AGAFA，所以PC平面AFG.3变条件本例中的条件“AEPB于点E，AFPC于点F”，改为“E，F分别是AB，PC的中点，PAAD”，其他条件不变，求证：EF平面PCD.证明：取PD的中点G，连接AG，FG.因为G，F分别是PD，PC的中点，所以GFCD，又AECD，所以GFAE，所以四边形AEFG是平行四边形，所以AGEF.因为PAAD，G是PD的中点，所以AGPD，所以EFPD，易知CD平面PAD，AG平面PAD，所以CDAG，所以EFCD

8、.因为PDCDD，所以EF平面PCD. 【学习小结】1异面直线所成的角(1)定义：已知两条异面直线a，b，经过空间任一点O分别作直线aa，bb，把直线a与b所成的角叫做异面直线a与b所成的角(或夹角)(2)垂直：如果两条异面直线所成的角是直角，就说这两条异面直线互相垂直直线a与直线b垂直，记作ab(3)范围：设为异面直线a与b所成的角，则090.2直线与平面垂直定义一般地，如果直线l与平面内的任意一条直线都垂直，我们就说直线l与平面互相垂直记法l有关概念直线l叫做平面的垂线，平面叫做直线l的垂面它们唯一的公共点P叫做垂足图示及画法画直线与平面垂直时，通常把直线画成与表示平面的平行四边形的一边垂

9、直3直线与平面垂直的判定定理文字语言如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，那么该直线与此平面垂直图形语言符号语言la，lb，a，b，abPl【精炼反馈】1若直线a平面，b，则a与b的关系是()Aab，且a与b相交Bab，且a与b不相交CabDa与b不一定垂直解析：选C.过直线b作一个平面，使得c，则bc.因为直线a平面，c，所以ac.因为bc，所以ab.当b与a相交时为相交垂直，当b与a不相交时为异面垂直2在正方体ABCDA1B1C1D1中，与AD1垂直的平面是()A平面DD1C1C平面A1DB1C平面A1B1C1D1 平面A1DB解析：选B.因为AD1A1D，AD1A1B1，且A1DA

10、1B1A1，所以AD1平面A1DB1.3空间四边形的四边相等，那么它的对角线()A相交且垂直 不相交也不垂直C相交不垂直 不相交但垂直解析：选D.如图，空间四边形ABCD，假设AC与BD相交，则它们共面，从而四点A，B，C，D都在内，这与ABCD为空间四边形矛盾，所以AC与BD不相交；取BD的中点O，连接OA与OC，因为ABADDCBC，所以AOBD，OCBD，从而可知BD平面AOC，故ACBD.4已知a，b是一对异面直线，而且a平行于ABC的边AB所在的直线，b平行于边AC所在的直线，若BAC120，则直线a，b所成的角为_解析：由aAB，bAC，BAC120，知异面直线a，b所成的角为BA

11、C的补角，所以直线a，b所成的角为60.答案：60【第二学时】学习重难点学习目标核心素养直线与平面所成的角了解直线和平面所成的角的含义，并知道其求法直观想象、逻辑推理、数学运算直线与平面垂直的性质理解直线和平面垂直的性质定理，并能用文字、符号和图形语言描述定理，能应用线面垂直的性质定理解决有关的垂直问题直观想象、逻辑推理【学习过程】一、问题导学预习教材内容，思考以下问题：1直线与平面所成的角的定义是什么？2直线与平面所成的角的范围是什么？3直线与平面垂直的性质定理的内容是什么？4如何求直线到平面的距离？5如何求两个平行平面间的距离？二、合作探究直线与平面所成的角在正方体ABCDA1B1C1D1

12、中，E是棱DD1的中点，求直线BE与平面ABB1A1所成的角的正弦值【解】取AA1的中点M，连接EM，BM.因为E是DD1的中点，四边形ADD1A1为正方形，所以EMAD.又在正方体ABCDA1B1C1D1中，AD平面ABB1A1，所以EM平面ABB1A1，从而BM为直线BE在平面ABB1A1内的射影，EBM即为直线BE与平面ABB1A1所成的角设正方体的棱长为2，则EMAD2，BE 3.于是在RtBEM中，sinEBM，即直线BE与平面ABB1A1所成的角的正弦值为.线面垂直的性质定理的应用如图，已知正方体A1C.(1)求证：A1CB1D1；(2)M，N分别为B1D1与C1D上的点，且MNB

13、1D1，MNC1D，求证：MNA1C.【证明】(1)如图，连接A1C1.因为CC1平面A1B1C1D1，B1D1平面A1B1C1D1，所以CC1B1D1.因为四边形A1B1C1D1是正方形，所以A1C1B1D1.又因为CC1A1C1C1，所以B1D1平面A1C1C.又因为A1C平面A1C1C，所以B1D1A1C.(2)如图，连接B1A，AD1.因为B1C1AD，所以四边形ADC1B1为平行四边形，所以C1DAB1，因为MNC1D，所以MNAB1.又因为MNB1D1，AB1B1D1B1，所以MN平面AB1D1.由(1)知A1CB1D1.同理可得A1CAB1.又因为AB1B1D1B1，所以A1C平

14、面AB1D1.所以A1CMN. 求点到平面的距离如图，四棱锥PABCD中，底面ABCD为矩形，PA平面ABCD，E为PD的中点(1)证明：PB平面AEC；(2)设AP1，AD，三棱锥PABD的体积V，求A到平面PBC的距离【解】(1)证明：如图，设BD与AC的交点为O，连接EO.因为四边形ABCD为矩形，所以点O为BD的中点又点E为PD的中点，所以EOPB.因为EO平面AEC，PB平面AEC，所以PB平面AEC.(2)VAPABADAB.由V，可得AB.作AHPB于点H.由题设知BC平面PAB，所以BCAH，故AH平面PBC，即AH的长就是点A到平面PBC的距离因为PB，所以AH，所以点A到平

15、面PBC的距离为.【学习小结】1直线与平面所成的角(1)定义：如图，一条直线PA和一个平面相交，但不与这个平面垂直，这条直线叫做这个平面的斜线，斜线和平面的交点A叫做斜足过斜线上斜足以外的一点P向平面引垂线PO，过垂足O和斜足A的直线AO叫做斜线在这个平面上的射影平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的角，叫做这条直线和这个平面所成的角(2)规定：一条直线垂直于平面，称它们所成的角是90；一条直线和平面平行，或在平面内，称它们所成的角是0.(3)范围：直线与平面所成的角的取值范围是0902直线与平面垂直的性质定理文字语言垂直于同一个平面的两条直线平行符号语言ab图形语言作用线面垂直线线平行作平行

16、线3. 线面距与面面距(1)一条直线与一个平面平行时，这条直线上任意一点到这个平面的距离，叫做这条直线到这个平面的距离(2)如果两个平面平行，那么其中一个平面内的任意一点到另一个平面的距离都相等，我们把它叫做这两个平行平面间的距离【精炼反馈】1若斜线段AB是它在平面内射影长的2倍，则AB与平面所成角的大小为()A60B45C30 D90解析：选A.斜线段、垂线段以及射影构成直角三角形如图所示，ABO即是斜线段与平面所成的角又AB2BO，所以cosABO，所以ABO60.2已知PA矩形ABCD所在的平面，则下列结论中不正确的是()APBBC BPDCDCPDBD DPABD解析：选C.PA平面A

17、BCDPABD，D正确；BC平面PABBCPB.故A正确；同理B正确；C不正确3.如图，正方体ABCDA1B1C1D1中，M是棱DD1的中点，则过M且与直线AB和B1C1都垂直的直线有()A1条 B2条C3条 D无数条解析：选A.显然DD1是满足条件的一条，如果还有一条l满足条件，则lB1C1，lAB.又ABC1D1，则lC1D1.又B1C1C1D1C1，所以l平面B1C1D1.同理DD1平面B1C1D1，则lDD1.又l与DD1都过M，这是不可能的，因此只有DD1一条满足条件4.如图，已知ADAB，ADAC，AEBC交BC于点E，D是FG的中点，AFAG，EFEG.求证：BCFG.证明：连接

18、DE.因为ADAB，ADAC，所以AD平面ABC.又BC平面ABC，所以ADBC.又AEBC，所以BC平面ADE.因为AFAG，D为FG的中点，所以ADFG.同理EDFG.又ADEDD，所以FG平面ADE.所以BCFG.【第三学时】考点学习目标核心素养二面角理解二面角的有关概念，会求简单的二面角的大小直观想象、数学运算平面与平面垂直的判定定理理解两平面垂直的定义，掌握两平面垂直的判定定理直观想象、逻辑推理平面与平面垂直的性质定理理解平面和平面垂直的性质定理，并能用文字、符号和图形语言描述定理，能应用面面垂直的性质定理解决有关的垂直问题直观想象、逻辑推理【学习过程】一、问题导学预习教材内容，思考

19、以下问题：1二面角的定义是什么？2如何表示二面角？3二面角的平面角的定义是什么？4二面角的范围是什么？5面面垂直是怎样定义的？6面面垂直的判定定理的内容是什么？7面面垂直的性质定理的内容是什么？二、合作探究二面角的概念及其大小的计算（1）在正方体ABCDA1B1C1D1中，截面A1BD与底面ABCD所成锐二面角A1BDA的正切值为（）A.B.C. D.（2）一个二面角的两个半平面分别垂直于另一个二面角的两个半平面，则这两个二面角的大小关系为（）A.相等 B.互补C.相等或互补 D.不确定【解析】（1）如图所示，连接AC交BD于点O，连接A1O，O为BD的中点，因为A1DA1B，所以在A1BD中

20、，A1OBD.又因为在正方形ABCD中，ACBD，所以A1OA为二面角A1BDA的平面角.设AA11，则AO.所以tanA1OA.（2）反例：如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别是CD，C1D1的中点，二面角DAA1E与二面角B1ABC的两个半平面就是分别对应垂直的，但是这两个二面角既不相等，也不互补.【答案】（1）C（2）D平面与平面垂直的判定角度一利用定义证明平面与平面垂直如图，在四面体ABCD中，BDa，ABADCBCDACa.求证：平面ABD平面BCD.【证明】因为ABD与BCD是全等的等腰三角形，所以取BD的中点E，连接AE，CE，则AEBD，BDCE.在ABD中，A

21、Ba，BEBDa，所以AE a.同理CEa，在AEC中，AECEa，ACa.由于AC2AE2CE2，所以AECE，AEC是二面角ABDC的平面角，又因为AEC90，所以二面角ABDC为直二面角，所以平面ABD平面BCD.角度二利用判定定理证明平面与平面垂直如图，在四棱锥PABCD中，若PA平面ABCD且四边形ABCD是菱形.求证：平面PAC平面PBD.【证明】因为PA平面ABCD，BD平面ABCD，所以BDPA.因为四边形ABCD是菱形，所以BDAC.又PAACA，所以BD平面PAC.又因为BD平面PBD，所以平面PAC平面PBD. 面面垂直的性质定理的应用已知P是ABC所在平面外的一点，且P

22、A平面ABC，平面PAC平面PBC，求证：BCAC.【证明】如图，在平面PAC内作ADPC于点D，因为平面PAC平面PBC，平面PAC平面PBCPC，AD平面PAC，且ADPC，所以AD平面PBC，又BC平面PBC，所以ADBC.因为PA平面ABC，BC平面ABC，所以PABC，因为ADPAA，所以BC平面PAC，又AC平面PAC，所以BCAC. 垂直关系的综合问题如图，ABC为正三角形，EC平面ABC，BDCE，且CECA2BD，M是EA的中点，求证：（1）DEDA；（2）平面BDM平面ECA；（3）平面DEA平面ECA.【证明】（1）如图，取EC的中点F，连接DF.因为EC平面ABC，BC

23、平面ABC，所以ECBC.同理可得BDAB，易知DFBC，所以DFEC.在RtEFD和RtDBA中，因为EFEC，EC2BD，所以EFBD.又FDBCAB，所以RtEFDRtDBA，故DEDA.（2）取CA的中点N，连接MN，BN，则MNEC，且MNEC.因为ECBD，BDEC，所以MN綊BD，所以N点在平面BDM内.因为EC平面ABC，所以ECBN.又CABN，ECCAC，所以BN平面ECA.因为BN在平面MNBD内，所以平面MNBD平面ECA，即平面BDM平面ECA.（3）由（2）易知DMBN，BN平面ECA，所以DM平面ECA.又DM平面DEA，所以平面DEA平面ECA. 【学习小结】1

24、二面角(1)定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面(2)图形和记法图形：记作：二面角AB或二面角l或二面角PABQ或二面角PlQ2二面角的平面角(1)定义：在二面角l的棱l上任取一点O，以点O为垂足，在半平面和内分别作垂直于棱l的射线OA和OB，则射线OA和OB构成的AOB叫做二面角的平面角(2)图形、符号及范围图形：符号：AOB是二面角的平面角范围：0AOB180(3)规定：二面角的大小可以用它的平面角来度量，二面角的平面角是多少度，就说这个二面角是多少度平面角是直角的二面角叫做直二面角3平面与平面垂直(1)定义：一般地，两

25、个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直，平面与垂直，记作(2)判定定理文字语言图形语言符号语言如果一个平面过另一个平面的垂线，那么这两个平面垂直4平面与平面垂直的性质定理文字语言两个平面垂直，如果一个平面内有一直线垂直于这两个平面的交线，那么这条直线与另一个平面垂直符号语言a图形语言作用面面垂直线面垂直作面的垂线【精炼反馈】1.给出以下四个命题，其中真命题的个数是（）如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行；如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面；如果两条直线都平行于一个平面，那么这两条直

26、线相互平行；如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面相互垂直.A.4B.3C.2 D.1解析：选B.正确.线面平行的性质定理；线面垂直的判定定理；这两条直线可能相交或平行或异面；面面垂直的判定定理.2.在下列关于直线m，l和平面，的说法中， 正确的是（）A.若l，且，则lB.若l，且，则lC.若l，且，则lD.若m，且lm，则l解析：选B.A项中l与可以平行或斜交，A项错.B项中，l且，所以l正确.C项中，l可在内，C项错.D项中，l可在内，D项错.3.在三棱锥PABC中，PAPBACBC2，PC1，AB2，则二面角PABC的大小为.解析：取AB的中点M，连接PM，MC，则PMAB

27、，CMAB，所以PMC就是二面角PABC的平面角.在PAB中，PM1，同理MCPC1，则PMC是等边三角形，所以PMC60.答案：604.已知平面，和直线m，l，则下列说法：若，m，lm，则l；若m，l，lm，则l；若，l，则l；若，m，l，lm，则l.其中正确的说法序号为.解析：对于说法缺少了条件：l；说法缺少了条件：；说法缺少了条件：m，lm；说法具备了面面垂直的性质定理的所有条件.答案：5.如图，四边形ABCD，BD2，AB2，AD4，将CBD沿BD折起到EBD的位置，使平面EDB平面ABD.求证：ABDE.证明：在ABD中，因为AB2，AD4，BD2，所以AB2BD2AD2，所以ABBD.又因为平面EBD平面ABD，平面EBD平面ABDBD，AB平面ABD，所以AB平面EBD.因为DE平面EBD，所以ABDE.