6.4.1 平面几何中的向量方法（原卷版）.docx

1、 6.4.1平面几何中的向量方法导学案编写：廖云波 初审：孙锐 终审：孙锐 廖云波【学习目标】1.通过平行四边形这个几何模型，归纳总结出用向量方法解决平面几何的问题的“三步曲”2.明确平面几何图形中的有关性质，如平移、全等、相似、长度、夹角等可以由向量的线性运算及数量积表示【自主学习】知识点1 向量方法在几何中的应用对于平面向量a(x1，y1)，b(x2，y2)(1)证明线段平行问题，包括相似问题，常用向量平行(共线)的等价条件：ab(b0) .(2)证明垂直问题，如证明四边形是矩形、正方形等，常用向量垂直的等价条件：非零向量a，b，ab .(3)求夹角问题，往往利用向量的夹角公式cos .(

2、4)求线段的长度或证明线段相等，可以利用向量的线性运算、向量模的公式：|a| 或 .知识点2 平面几何中的向量方法(1)建立平面几何与向量的联系，用 表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为 问题；(2)通过 运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题；(3)把 “翻译”成几何关系知识点3 直线的方向向量和法向量(1)直线ykxb的方向向量为 ，法向量为 .(2)直线AxByC0的方向向量为 ，法向量为 . 【合作探究】探究一 利用向量证明平行或垂直问题【例1】如图所示，若四边形ABCD为平行四边形，EFAB，AE与BF相交于点N，DE与CF相交于点M.求证：MNAD.归纳总结：【

3、练习1】如图所示，四边形ABCD是菱形，AC和BD是它的两条对角线，试用向量证明：ACBD.探究二 利用向量解决长度和夹角问题【例2】如图，在ABC中，BAC120，ABAC3，点D在线段BC上，且BDDC.求：(1)AD的长；(2)DAC的大小归纳总结：【练习2】如图，平行四边形ABCD中，已知AD1，AB2，对角线BD2，求对角线AC的长探究三 利用向量解决直线问题【例3】已知ABC的三个顶点A(0，4)，B(4,0)，C(6,2)，点D、E、F分别为边BC、CA、AB的中点(1)求直线DE、EF、FD的方程；(2)求AB边上的高线CH所在直线方程归纳总结：【练习3】在ABC中，A(4,1

4、)，B(7,5)，C(4,7)，求A的平分线的方程课后作业A组 基础题一、选择题1在四边形ABCD中，若0，0，则四边形为( )A平行四边形B矩形C等腰梯形D菱形2在ABC中，已知A(4,1)、B(7,5)、C(4,7)，则BC边的中线AD的长是()A2 B.C3 D.3点O是三角形ABC所在平面内的一点，满足，则点O是ABC的()A三个内角的角平分线的交点B三条边的垂直平分线的交点C三条中线的交点D三条高的交点4已知直线l1：3x4y120，l2：7xy280，则直线l1与l2的夹角是()A30 B45 C135 D1505若O是ABC所在平面内一点，且满足|2|，则ABC的形状是()A等腰

5、三角形 B直角三角形C等腰直角三角形 D等边三角形6过点A(2,3)，且垂直于向量a(2,1)的直线方程为()A2xy70 B2xy70Cx2y40 Dx2y40二、填空题7过点(1,2)且与直线3xy10垂直的直线的方程是_8在ABC中，若C90，ACBC4，则 .9已知直角梯形ABCD中，ABAD，AB2，DC1，ABDC，则当ACBC时，AD .三、解答题10.正方形OABC的边长为1，点D、E分别为AB、BC的中点，试求cosDOE的值11已知直线l1：3xy20与直线l2：mxy10的夹角为45，求实数m的值12已知在四边形ABCD中，对角线AC、BD相互平分，且ACBD，求证：四边

6、形ABCD是菱形证明：设对角线AC、BD交于点O，则有，B组 能力提升一、选择题1.已知非零向量与满足0且，则ABC的形状是()A三边均不相等的三角形 B直角三角形C等腰(非等边)三角形 D等边三角形2在四边形ABCD中，(1,2)，(4,2)，则该四边形的面积为()A. B2 C5 D103已知ABC是边长为2的等边三角形，P为平面ABC内一点，则()的最小值是( )A2BCD1二、填空题4.如图所示，在ABC中，点O是BC的中点过点O的直线分别交直线AB、AC于不同的两点M、N，若m，n，则mn的值为_5已知曲线C：x，直线l：x6.若对于点A(m,0)，存在C上的点P和l上的点Q使得0，则m的取值范围为_三、解答题6.点O是平行四边形ABCD的中点，E，F分别在边CD，AB上，且.求证：点E，O，F在同一直线上7已知ABC是等腰直角三角形，B90，D是BC边的中点，BEAD，延长BE交AC于F，连接DF.求证：ADBFDC.8.如图所示，正三角形ABC中，D、E分别是AB、BC上的一个三等分点，且分别靠近点A、点B，且AE、CD交于点P.求证：BPDC.