7.2.1 复数的加、减运算及其几何意义(解析版).docx
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1、7.2.1复数的加、减运算及其几何意义导学案编写:廖云波 初审:孙锐 终审:孙锐 廖云波【学习目标】1.熟练掌握复数的代数形式的加、减法运算法则2.理解复数加、减法的几何意义,能够利用“数形结合”的思想解题.【自主学习】知识点1 复数的加、减法法则及几何意义与运算律z1,z2,z3C,设,分别与复数z1abi,z2cdi(a,b,c,dR)相对应,且,不共线加法减法运算法则z1z2(ac)(bd)iz1z2(ac)(bd)i几何意义复数的和z1z2与向量的坐标对应复数的差z1z2与向量的坐标对应运算律交换律z1z2z2z1结合律(z1z2)z3z1(z2z3)【合作探究】探究一 复数加、减法的
2、运算【例1】(1)计算(24i)(34i);(2)计算(34i)(2i)(15i).解(1)原式(23)(44)i5.(2)原式(321)(415)i22i.归纳总结:【练习1】计算(12i)(23i)(34i)(45i)(2 0112 012i)(2 0122 013i).解方法一原式(12342 0112 012)(23452 0122 013)i1 0061 006i.方法二(12i)(23i)1i,(34i)(45i)1i,(2 0112 012i)(2 0122 013i)1i.将上列1 006个式子累加可得原式1 006(1i)1 0061 006i.探究二 复数加、减法的几何意义
3、【例2】如图所示,在平行四边形OABC中,顶点O,A,C分别表示0,32i,24i.求:(1)所表示的复数,所表示的复数;(2)对角线所表示的复数;(3)对角线所表示的复数及的长度.解(1)因为0(32i)32i,所以所表示的复数为32i.因为,所以所表示的复数为32i.(2)因为,所以所表示的复数为(32i)(24i)52i.(3)因为对角线,所以所表示的复数为(32i)(24i)16i,所以|.归纳总结:【练习2】满足条件|z1i|43i|的复数z在复平面内对应的点的轨迹是()A.一条直线 B.两条直线C.一个圆 D.一个椭圆【答案】C解析根据复数减法的几何意义,|z1i|表示复平面内复数
4、z对应的点Z到点(1,1)的距离,而|43i|表示复数43i的模,等于5,故满足|z1i|5的复数z在复平面内对应的点的轨迹是以(1,1)为圆心,5为半径的圆.探究三 复数加、减法的综合应用【例3】已知|z1|z2|z1z2|1,求|z1z2|.解方法一设z1abi,z2cdi(a,b,c,dR),|z1|z2|z1z2|1,a2b2c2d21,(ac)2(bd)21,由得2ac2bd1,|z1z2|.方法二设O为坐标原点,z1,z2,z1z2对应的点分别为A,B,C.|z1|z2|z1z2|1,OAB是边长为1的正三角形,又以OA,OB为邻边作平行四边形OACB,四边形OACB是一个内角为6
5、0,边长为1的菱形,且|z1z2|是菱形的较长的对角线OC的长,|z1z2| .归纳总结:【练习3】已知|z1|z2|1,z1z2i,求复数z1,z2及|z1z2|.解由于|z1z2|1,设z1,z2,z1z2对应的向量分别为,则因|1,故A,B,C三点均在以原点为圆心,1为半径的圆上,如图所示,由平行四边形法则和余弦定理易得 cosAOC,故AOC60,所以平行四边形OACB为菱形,且BOC,COA都是等边三角形,即AOB120.又与x轴正半轴的夹角为60,故点A在x轴上,即A(1,0).而xB|cos 120,yB|sin 120,B的坐标为.或方法一|z1z2|.方法二由结论|z1z2|
6、2|z1z2|22(|z1|2|z2|2)知,|z1z2|22|z1|22|z2|2|z1z2|23,|z1z2|.方法三由余弦定理可得|2|2|22|cos 1203,又z1z2,|z1z2|.课后作业A组 基础题一、选择题1.若复数z满足zi33i,则z等于()A.0 B.2iC.6 D.62i【答案】D解析z3i(i3)62i.2.复数ii2在复平面内表示的点在()A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限【答案】B解析ii21i,对应的点在第二象限.3.在复平面内,O是原点,表示的复数分别为2i,32i,15i,则表示的复数为()A.28i B.66iC.44i D.42i【
7、答案】C解析()32i(15i2i)44i.表示的复数为44i.4.若|z1|z1|,则复数z对应的点在()A.实轴上 B.虚轴上C.第一象限 D.第二象限【答案】B解析|z1|z1|,点Z到(1,0)和(1,0)的距离相等,即点Z在以(1,0)和(1,0)为端点的线段的中垂线上.5.复数z12i,z22i,则z1z2等于()A.0 B.iC.i D.i【答案】C解析z1z2ii.6.若z32i4i,则z等于()A.1i B.13iC.1i D.13i【答案】B解析z4i(32i)13i.7.复数z13i,z21i,则z1z2等于()A.2 B.22iC.42i D.42i【答案】C8.设z1
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