2.1.1 倾斜角与斜率（导学案）-人教A版高中数学选择性必修第一册.docx

1、2.1.1倾斜角与斜率 1.在平面直角坐标系中,结合具体图形,探索确定直线位置的几何要素.2.理解直线的倾斜角和斜率的概念.3.掌握倾斜角和斜率之间的关系.4.掌握过两点的直线斜率的计算公式.重点：理解直线倾斜角和斜率的概念及其关系难点：过两点的直线斜率的计算公式.一、自主导学一、直线的倾斜角 定义当直线l与x轴相交时,以x轴为基准,x轴正向与直线l向上的方向之间所成的角叫做直线l的倾斜角规定当直线l与x轴平行或重合时,规定直线l的倾斜角为0记法图示范围00表示上坡,k0表示下坡,为了实际应用与安全,在道路铺设时常要规划坡度的大小.那么“坡度”是如何来刻画道路的倾斜程度的呢?二、典例解析例1

2、已知直线l过原点,l绕原点按顺时针方向转动角(0180)后,恰好与y轴重合,求直线l转动前的倾斜角是多少? 直线的倾斜角的求法 求直线的倾斜角主要根据定义,其关键是根据题意画出图形,找准倾斜角,有时要根据情况分类讨论.跟踪训练1. 设直线l过坐标原点,它的倾斜角为,如果将l绕坐标原点按逆时针方向旋转45,得到直线l1,那么l1的倾斜角为()A.+45 B.-135C.135- D.当0135时,倾斜角为+45;当135180时,倾斜角为-135例2 已知直线l过点M(m+1,m-1),N(2m,1).(1)当m为何值时,直线l的斜率是1?(2)当m为何值时,直线l的倾斜角为90?延伸探究1 本

3、例条件不变,试求直线l的倾斜角为锐角时实数m的取值范围.延伸探究2 若将本例中的“N(2m,1)”改为“N(3m,2m)”,其他条件不变,结果如何? 直线斜率的计算方法(1)判断两点的横坐标是否相等,若相等,则直线的斜率不存在.(2)若两点的横坐标不相等,则可以用斜率公式k=y2-y1x2-x1(其中x1x2)进行计算.金题典例 光线从点A(2,1)射到y轴上的点Q,经y轴反射后过点B(4,3),试求点Q的坐标及入射光线的斜率. 光的反射问题中,反射角等于入射角,但反射光线的斜率并不等于入射光线的斜率.当镜面水平放置时,它们之间是互为相反数的关系.另外,在光的反射问题中也经常使用对称的方法求解

4、.跟踪训练2 一束光线从点A(-2,3)射入,经x轴上点P反射后,通过点B(5,7),求点P的坐标.1.若直线l经过第二、第四象限,则直线l的倾斜角范围是()A.090 B.90180 C.90180 D.01802.过点A(-3,2)与点B(-2,3)的直线的倾斜角为()A.45B.135C.45或135D.603.过点P(-2,m),Q(m,4)的直线的斜率为1,那么m的值为()A.1或4 B.4 C.1或3 D.14.光线从点A(-2,3)射到x轴上的B点后,被x轴反射,这时反射光线恰好过点C(1,23),则光线BC所在直线的倾斜角为.5直线l过点P(1,0)，且与以A(2,1)，B(0

5、，)为端点的线段有公共点，求直线l的斜率和倾斜角的取值范围参考答案：知识梳理1.答案:C 2.答案:903【解析】(1)倾斜角为90时，斜率不存在(2)斜率应为1.(3)斜率有可能不存在(4)4 答案：45ktan 1.45.5 答案：D由图可知，k10，k2k30.故选D.6. 答案:A学习过程例1 思路分析:画草图标记找倾斜角与的关系求倾斜角解:由题意画出如下草图.由图可知:当为钝角时,倾斜角为-90,当为锐角时,倾斜角为+90,当为直角时,倾斜角为0.综上,直线l转动前的倾斜角为+90(090),-90(90180).跟踪训练1. 解析:根据题意,画出图形,如图所示:因为0180,显然A

6、,B,C未分类讨论,均不全面,不合题意.通过画图(如图所示)可知:当0135时,l1的倾斜角为+45;当1350,解得1m2.延伸探究2 解:(1)由题意知m-1-2mm+1-3m=1,解得m=2.(2)由题意知m+1=3m,解得m=12. 金题典例 解:(方法1)设Q(0,y),则由题意得kQA=-kQB.kQA=1-y2,kQB=3-y4,1-y2=-3-y4.解得y=53,即点Q的坐标为0,53,k入=kQA=1-y2=-13.(方法2)设Q(0,y),如图,点B(4,3)关于y轴的对称点为B(-4,3), kAB=1-32+4=-13,由题意得,A、Q、B三点共线.从而入射光线的斜率为

7、kAQ=kAB=-13.所以,有1-y2=1-32+4,解得y=53,点Q的坐标为(0,53).跟踪训练2 解:(方法1)由光的反射原理,知kAP=-kBP,设P(x,0),则0-3x-(-2)=-0-7x-5,解得x=110,即点P的坐标是(110,0).(方法2)由题意,知x轴是镜面,入射点A(-2,3)关于x轴的对称点为A1(-2,-3),则点A1应在反射光线所在的直线上,即A1,P,B三点共线,即kA1P=kPB,0+3x+2=75-x,解得x=110,即点P的坐标是(110,0).达标检测1.答案:C2.解析:kAB=3-2-2-(-3)=3-23-2=1,故直线的倾斜角为45.答案:A 3.解析:由k=m-4-2-m=1,得m=1. 答案:D 4.解析:点A(-2,3)关于x轴的对称点为A(-2,-3),由物理知识知kBC=kAC=23-(-3)1-(-2)=3,所以所求倾斜角为60.答案:60 5 【解析】如图所示kAP1，kBP，k(，1，)，45120.