1.4.2用空间向量研究距离、夹角问题2求空间角 课件-山东省teng州市第一中学人教A版（2019版）高中数学选择性必修一(共23张PPT).ppt

1、求空间角求空间角1.4.2用空间向量研究距离、夹角问题讲课人：邢启强2一、复习引入一、复习引入用空间向量解决立体几何问题的用空间向量解决立体几何问题的“三步曲三步曲”。（1）建立立体图形与空间向量的联系，用空间向）建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面，把立体几量表示问题中涉及的点、直线、平面，把立体几何问题转化为向量问题；何问题转化为向量问题；（2）通过向量运算，研究点、直线、平面之间的）通过向量运算，研究点、直线、平面之间的位置关系以及它们之间距离和夹角等问题；位置关系以及它们之间距离和夹角等问题；（3）把向量的运算结果）把向量的运算结果“翻译翻译”成相应的

2、几何意义。成相应的几何意义。（化为向量问题）（化为向量问题）（进行向量运算）（进行向量运算）（回到图形）（回到图形）复习引入复习引入讲课人：邢启强3向量的有关知识：直线的方向向量：与直线平行的非零向量直线的方向向量：与直线平行的非零向量平面的法向量：与平面垂直的向量平面的法向量：与平面垂直的向量两向量数量积的定义：两向量数量积的定义：ab=|a|b|cos两向量夹角公式：两向量夹角公式：cos =a a b ba ab b复习引入复习引入讲课人：邢启强4利用向量方法求两条异面直线所成的角利用向量方法求两条异面直线所成的角学习新知学习新知一般地，两条异面直线所成的角，可以转化为两条异面直线的方向

3、向量的夹角来求得。若异面直线l1,l2所成的角为 ，其方向向量分别为方向向量分别为,u v,a ba b则或(0)2 不要将两异面直线所成的角与其方向向量的夹角等同起来,因为两异面直线所成角的范围是 ,而两个向量夹角的范围是0,事实上,两异面直线所成的角与其方向向量的夹角是相等或互补的关系.02 02 讲课人：邢启强5利用向量方法求直线与平面所成的角利用向量方法求直线与平面所成的角学习新知学习新知直线与平面所成的角，可以转化为直线的方向向量与平面的法向量的夹角。直线AB与平面相交于点B,设直线AB与平面所成的角为,直线AB的方向向量u,平面的法向量为n,如图可得 0,222u nu n 且或s

4、in|cosu nu nu n 讲课人：邢启强6利用向量方法求二面角利用向量方法求二面角学习新知学习新知平面与平面相交，形成四个二面角，我们把这四个二面角中不大于90的二面角称为平面与面的夹角.设平面与面的夹角为,平面与面的法向量分别为12120,2n nn n 则 或121212cos|cosnnnnn n 12,n n 思考：图中有几个二面角，两个平面的夹角与这两个平面形成的二面角有什么关系？讲课人：邢启强7例例1090,Rt ABCBCAABC中，现将沿着111ABCABC平面的法向量平移到位置，已知1BCCACC，111111ABACDF取、的中点、，11BDAF求与所成的角的余弦值.

5、A1AB1BC1C1D1Fxyz例题讲评例题讲评讲课人：邢启强8解：以点解：以点C C为坐标原点建立空间直角坐标系为坐标原点建立空间直角坐标系 如图所示，设如图所示，设 则：则：Cxyz11CC(1,0,0),(0,1,0),AB1111 1(,0,1),(,1)22 2FD所以：所以：11(,0,1),2AF 111(,1)22BD 11cos,AF BD 1111|AF BDAFBD A1AB1BC1C1D1F11304.105342所以 与 所成角的余弦值为1BD1AF3010 xyz讲课人：邢启强91.利用空间向量求两异面直线所成角的步骤.(1)建立适当的空间直角坐标系.(2)求出两条

6、异面直线的方向向量的坐标.(3)利用向量的夹角公式求出两直线方向向量的夹角.(4)结合异面直线所成角的范围得到两异面直线所成角.2.求两条异面直线所成的角的两个关注点.(1)余弦值非负:两条异面直线所成角的余弦值一定为非负值,而对应的方向向量的夹角可能为钝角.(2)范围:异面直线所成角的范围是 ,故两直线方向向量夹角的余弦值为负时,应取其绝对值.(0,2方法感悟方法感悟讲课人：邢启强10典型例题典型例题 例2如图,在棱长为1的正四面体（四个面都是正三角形）ABCD中，M,N分别为BC,AD的中点，求直线AM和CN夹角的余弦值.分析：求直线AM和CN夹角的余弦值，可以转化为求向量MA与CN夹角的

7、余弦值.为此需要把向量MA,CN用适当的基底表示出来，进而求得向量MA,CN夹角的余弦值。讲课人：邢启强11典型例题典型例题 例2如图,在棱长为1的正四面体（四个面都是正三角形）ABCD中，M,N分别为BC,AD的中点，求直线AM和CN夹角的余弦值.讲课人：邢启强12ABCD1A1B1C1DMNxyzBCD1A1B1C1DMN)34,1,1(n得,34343)34(118|0810|222(0,8,0),AD 又又ADANM与平面所成角的正弦值是34343|sin|nDAnDA在长方体在长方体 中，中，ADANM求与平面所成的角的正弦值.例例3：1111ABCDABC D1112,MBCB M

8、 为上的一点,且1NAD点 在线段上，15,AN,61AA,8,6ADAB例题讲评例题讲评讲课人：邢启强13ABCD1A1B1C1DMxyzBCD1A1B1C1DMN|sin|nADnAD解：如图建立坐标系A-xyz,则(0,0,0),A)6,2,6(M可得由,51NA)3,4,0(N).3,4,0(),6,2,6(NAMA由的法向量设平面),(zyxn 00nNAnMA0340626zyzyx即在长方体在长方体 中，中，ADANM求与平面所成的角的正弦值.例例3：1111ABCDABC D1112,MBCB M 为上的一点,且1NAD点 在线段上，15,AN,61AA,8,6ADAB例题讲评

9、例题讲评讲课人：邢启强14若直线l与平面的夹角为,利用法向量计算的步骤如下:方法感悟方法感悟讲课人：邢启强15典型例题典型例题例4如图,在正方体ABEF-DCEF中,M,N分别为AC,BF的中点,求平面MNA与平面MNB的夹角的余弦值.解:设正方体棱长为1.以B为坐标原点,BA,BE,BC所在直线分别为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系B-xyz,则讲课人：邢启强16典型例题典型例题例4如图,在正方体ABEF-DCEF中,M,N分别为AC,BF的中点,求平面MNA与平面MNB的夹角的余弦值.解:设正方体棱长为1.以B为坐标原点,BA,BE,BC所在直线分别为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系B

10、-xyz,则讲课人：邢启强17利用向量方法求两平面夹角大小时,多采用法向量法.即求出两个面的法向量,然后通过法向量的夹角来得到两平面夹角.需注意法向量夹角范围是0,而两平面夹角范围是方法感悟方法感悟讲课人：邢启强18典型例题典型例题例5如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC=CB=2,AA1=3,ACB=90,P为BC的中点，点Q,R分别在棱AA1,BB1上，A1Q=2AQ,BR=2RB1.求平面PQR与平面A1B1C1夹角的余弦值.分析：因为平面分析：因为平面PQR与平面与平面A1B1C1的夹角的夹角可以转化为平面可以转化为平面PQR与平面与平面A1B1C1的法向的法向量的夹角，所以只

11、需要求出这两个平面的量的夹角，所以只需要求出这两个平面的法向量的夹角即可法向量的夹角即可.讲课人：邢启强19讲课人：邢启强20例例6如图如图,在四棱锥在四棱锥PABCD中，底面中，底面ABCD为矩形，侧棱为矩形，侧棱PA底面底面ABCD，PA=AB=1,AD=，在线段，在线段BC上是否存在上是否存在一点一点E,使使PA与平面与平面PDE所成角的大小为所成角的大小为45o?若存在，确定点若存在，确定点E的位置；的位置；若不存在说明理由。若不存在说明理由。3DBACEPxzy例题讲评例题讲评讲课人：邢启强21(0,0,1),(3,0,1),(3,1,0)APDPDEm (,),30,3,(3)0,

12、(3),PD Enx y znD P nD Exzzxmxyym x 设 平 面的 法 向 量 为则解 得1,(1,3,3),xnm令得2345sin45,4(3)PAPDEm与平面所成角的大小为32323245mmBEPAPDE解得或（舍），因此，当时，与平面所成角的大小为。解：以解：以A为原点，为原点，AD、AB、AP所在的直线分所在的直线分别为别为X轴、轴、Y轴、轴、Z轴，建立空间直角坐标系，轴，建立空间直角坐标系，(0,0,0),(0,0,1),(3,0,0),(,1,0),APDE m设设BE=m，则，则讲课人：邢启强22如图,在四棱锥P-ABCD中,PB底面ABCD,CDPD,底面ABCD为直角梯形,ADBC,ABBC,AB=AD=PB=3.点E在棱PA上,且PE=2EA.求平面ABE与平面DBE夹角的余弦值.巩固练习巩固练习讲课人：邢启强23解:以B为原点,以直线BC,BA,BP分别为x,y,z轴建立如图所示的空间直角坐标系.则P(0,0,3),A(0,3,0),D(3,3,0).设平面EBD的一个法向量为n1=(x,y,z),