3.2.1 第2课时 函数的最大（小）值（学案）-2021-2022学年高一数学教材配套学案+课件+练习（人教A版2019必修第一册）.docx

1、3.2.1 单调性与最大（小）值第2课时 函数的最大（小）值【学习目标】课程标准学科素养1.理解函数的最大(小)值的概念及其几何意义.（难点）2.会借助单调性求最值.（重点）3.掌握求二次函数在闭区间上的最值（重点）1、逻辑推理2、数学运算3、直观想象【自主学习】一函数的最大值一般地，设函数yf(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：(1)xI，都有 ；(2)x0I，使得 .那么，我们称M是函数yf(x)的最大值，记作f(x)maxM.二函数的最小值一般地，设函数yf(x)的定义域为I，如果存在实数N满足： ； ，就称N是函数yf(x)的最小值，记作f(x)minN.思考1：函数f(x)x21

2、总成立吗？ f(x)的最大值是1吗？思考2：函数的最值与函数的值域有什么关系？【小试牛刀】思辨解析(正确的打“”，错误的打“”)（1）因为f(x)x210恒成立，所以f(x)的最小值为0.( )（2）任何函数都有最大(小)值.( )（3）函数f(x)取最大值时，对应的x可能有无限多个( )（4）如果f(x)的最大值、最小值分别为M，m，则f(x)的值域为m，M( )【经典例题】题型一图象法求函数的最值点拨：图象法求最值的一般步骤画出函数图象；观察图象，找出图象的最高点和最低点；写出最值，最高点的纵坐标是函数的最大值，最低点的纵坐标是函数的最小值.)例1如图所示为函数yf(x)，x4,7的图象，

3、指出它的最大值、最小值及单调区间【跟踪训练】1已知函数f(x)则f(x)的最大值为_题型二利用单调性求函数的最大（小）值点拨：1.运用函数单调性求最值是求函数最值的常用方法，特别是当函数图象不易作出时，单调性几乎成为首选方法.首先判断函数的单调性，再利用单调性求出最值.2.注意对问题中求最值的区间与函数的单调区间之间的关系进行辨析，注意对问题中求最值的区间的端点值的取舍.例2已知f(x)，(1)判断f(x)在(1，)上的单调性，并加以证明(2)求f(x)在2,6上的最大值和最小值【跟踪训练】2 已知函数f(x)，求函数f(x)在1,5上的最值题型三求二次函数的最值点拨：二次函数的最值问题，解题

4、策略一般都是讨论函数的定义域与对称轴的位置关系，往往分三种情况：(1)定义域在对称轴左侧；(2)对称轴在定义域内；(3)定义域在对称轴右侧在讨论时可结合函数图象，便于分析、理解例3-1（定轴定区间类型）已知函数f(x)x22x3，若x0,2，求函数f(x)的最值。例3-2 （定轴动区间类型）已知函数f(x)x22x3，若xt，t2，求函数f(x)的最值。例3-3（动轴定区间）求二次函数f(x)x22ax2在2,4上的最小值。【跟踪训练】3 已知函数f(x)x23，求函数f(x)的最值 【当堂达标】1.函数f(x)x24x1，x3,3的值域是( )A(，5 B5，) C20,5 D4,52.已知

5、函数f(x)，x8，4)，则下列说法正确的是()Af(x)有最大值，无最小值 Bf(x)有最大值，最小值Cf(x)有最大值，无最小值 Df(x)有最大值2，最小值3.函数f(x)的最大值为_4.函数f(x)在1，b(b1)上的最小值是，则b_.5.求函数f(x)x24x4在闭区间t，t1(tR)上的最小值6.已知函数f(x)，x3,5(1)判断函数在区间3,5上的单调性，并给出证明；(2)求该函数的最大值和最小值【参考答案】【自主学习】f(x)M f(x0)M xI，都有f(x)N x0I，使得f(x0)N思考1：f(x)x21总成立，但是不存在x0使f(x0)1，所以f(x)的最大值不是1，

6、而是0.思考2：函数值域是指函数值的集合，函数最大(小)值一定是值域的元素如果值域是一个闭区间，那么函数的最大(小)值就是闭区间两端点的值【小试牛刀】 【经典例题】例1解：观察函数图象可以知道，图象上位置最高的点是(3,3)，最低的点是(1.5，2)，所以函数yf(x)当x3时取得最大值，最大值是3.当x1.5时取得最小值，最小值是2.函数的单调递增区间为1.5,3)，5,6)，单调递减区间为4，1.5)，3,5)，6,7【跟踪训练】1 解析f(x)的图象如图：则f(x)的最大值为f(2)2.例2 解：(1)函数f(x)在(1，)上是减函数证明：任取x2x11，则f(x1)f(x2)，因为x1

7、10，x210，x2x10，所以f(x1)f(x2)0，即f(x1)f(x2)所以f(x)在(1，)上是减函数(2)由(1)可知f(x)在(1，)上是减函数，所以f(x)在2,6上是减函数，所以f(x)maxf(2)1，f(x)minf(6)，即f(x)min，f(x)max1.【跟踪训练】2 解：先证明函数f(x)的单调性，设x1，x2是区间上的任意两个实数，且x2x1，f(x1)f(x2).由于x2x1，所以x2x10，且(2x11)(2x21)0，所以f(x1)f(x2)0，即f(x1)f(x2)，所以函数f(x)在区间上是减少的，所以函数f(x)在1,5上是减少的，因此，函数f(x)在

8、区间1,5的两个端点上分别取得最大值与最小值，即最大值为f(1)3，最小值为f(5).例3-1 解：函数f(x)x22x3开口向上，对称轴x1，f(x)在0,1上单调递减，在1,2上单调递增，且f(0)f(2)f(x)maxf(0)f(2)3，f(x)minf(1)4.例3-2 解：对称轴x1，当1t2即t1时，f(x)maxf(t)t22t3，f(x)minf(t2)(t2)22(t2)3t22t3.当1t2，即1t0时，f(x)maxf(t)t22t3，f(x)minf(1)4.当t1，即0t1时，f(x)maxf(t2)t22t3，f(x)minf(1)4.当11时，f(x)maxf(t

9、2)t22t3，f(x)minf(t)t22t3.设函数f(x)的最大值为g(t)，最小值为(t)，则有g(t)(t)例3-3 解：函数图象的对称轴是xa，当a4时，f(x)在2,4上是减函数，f(x)minf(4)188a.当2a4时，f(x)minf(a)2a2.f(x)min【跟踪训练】3 解：设t(t0)，则x23=t22t3.由(1)知yt22t3(t0)在0,1上单调递减，在1，)上单调递增当t1即x1时，f(x)min4，无最大值【当堂达标】1.C 解析：f(x)(x2)25，当x2时，函数有最大值5；当x3时，函数有最小值20，故选C.2.A 解析：f(x)2，它在8，4)上单

10、调递减，因此有最大值f(8)，无最小值。3.2 解析：当x1时，函数f(x)为减函数，所以f(x)在x1处取得最大值，为f(1)1；当x2时，f(x)在t，t1上是增函数，g(t)f(t)t24t4；当t2t1，即1t2时，g(t)f(2)8；当t12即t1时，f(x)在t，t1上是减函数，g(t)f(t1)t22t7.综上，g(t)6.解：(1)函数f(x)在3,5上是增加的，证明：设任意x1，x2，满足3x1x25.因为f(x1)f(x2)，因为3x10，x210，x1x20.所以f(x1)f(x2)0，即f(x1)f(x2)所以f(x)在3,5上是单调递增的(2)f(x)minf(3)，f(x)maxf(5).