6.2.4 向量的数量积-2020-2021学年高一数学新教材配套学案（人教A版2019必修第二册）.docx

1、6.2.4 向量的数量积【学习目标】素 养 目 标学 科 素 养1.理解平面向量数量积的含义并会计算。（重点）2.理解a在b上的投影向量的概念。（重点）3. 理解平面向量夹角、模的定义，并会求向量的夹角和模。（难点）4.掌握平面向量数量积的性质及其运算律，并会应用。1.数学运算;2.数学抽象；3.逻辑推理。【自主学习】一两向量的夹角1.定义：已知两个非零向量a，b，O是平面上的任意一点，作a，b，则AOB(0)叫做向量a与b的夹角注意：当0时，向量a与b ；当时，向量a与b ，记作ab；当时，向量a与b 注意：只有两个向量的起点重合时所对应的角才是两向量的夹角，如图所示，BAC不是向量与的夹角

2、作，则BAD才是向量与的夹角二向量的数量积已知两个 向量a与b，我们把数量|a|b|cos叫做向量a与b的 (或 )，记作ab，即ab|a|b|cos(为a，b的夹角)规定：零向量与任一向量的数量积为 .注意：(1)“”是数量积的运算符号，既不能省略不写，也不能写成“”；(2)数量积的结果为数量，不再是向量；(3)向量数量积的正负由两个向量的夹角决定：当是锐角时，数量积为正；当是钝角时，数量积为负；当是直角时，数量积等于零三投影向量若与b方向相同的单位向量为e，a与b的夹角为，则向量a在向量b上的投影向量为|a|cos e.当0时，投影向量为 ；当时，投影向量为 ；当时，投影向量为 .四向量数

3、量积的性质设a，b是非零向量，它们的夹角是，e是与b方向相同的单位向量，则(1)aeea .(2)ab (3)当a与b同向时，ab ；当a与b反向时，ab 特别地，aa 或|a|.(4)|ab|a|b|.(5)cos，其中是非零向量a与b的夹角数量积的性质的应用:性质(2)可用于解决与两个非零向量垂直有关的问题；性质(3)表明：当两个向量相等时，这两个向量的数量积等于向量长度的平方，因此可用于求向量的模；性质(4)可以解决有关“向量不等式”的问题；性质(5)的实质是平面向量数量积的逆用，可用于求两向量的夹角，也称为夹角公式五向量数量积的运算律已知向量a，b，c和实数，则(1)交换律: ；(2)

4、数乘结合律： ；(3)分配律： .注意:(1)向量的数量积不满足消去律；若a，b，c均为非零向量，且acbc，但得不到ab.(2)(ab)ca(bc)，因为ab，bc是数量积，是实数，不是向量，所以(ab)c与向量c共线，a(bc)与向量a共线，因此，(ab)ca(bc)在一般情况下不成立(3)推论：(ab)2a22abb2.【小试牛刀】思维辨析(对的打“”，错的打“”)(1) 两个向量的数量积仍然是向量()(2)若ab0，则a与b至少有一个为零向量()(3)若ab0，则a与b的夹角为锐角()(4)若acbc(c0)，则ab.()(5)对于任意向量a，都有aa|a|2.()(6)a，b共线ab

5、|a|b|.()【经典例题】题型一 求平面向量的数量积点拨：求向量的数量积时，需明确两个关键点：模和夹角若相关向量是两个或两个以上向量的线性运算，则需先利用向量数量积的运算律及多项式乘法的相关公式进行化简例1已知|a|5，|b|4，a与b的夹角为120，试求：(1)ab；(2)(ab)(ab)；(3)(2ab)(a3b)【跟踪训练】1如图，在ABCD中，|4，|3，DAB60，求：(1) ；(2) .题型二 求向量的模点拨：求模问题一般转化为求模的平方，灵活应用aaa2|a|2或|a|例2 已知平面向量a与b的夹角为60，|a|2，|b|1，则|a2b| 。【跟踪训练】2 已知向量a与b的夹角

6、为45，且|a|1，|2ab|，则|b|_.题型三 求两向量的夹角点拨：求向量a与b夹角的关键是计算ab及|a|b|，利用cos ，0，求出的值 在个别含有|a|，|b|与ab的等量关系中，常利用消元思想计算cos 的值例3 (1)已知|a|6，|b|4，(a2b)(a3b)72，则a与b的夹角为_；(2)已知非零向量a，b满足|a|2|b|，且(ab)b，则a与b的夹角为_ _【跟踪训练】3 已知单位向量e1，e2的夹角为，求向量ae1e2，be22e1的夹角题型四 利用向量垂直求参数点拨：常用向量数量积的性质abab0解决向量垂直问题，应熟练掌握.例4 已知ab，|a|2，|b|3，则当k

7、为何值时，向量3a2b与kab互相垂直？【跟踪训练】4已知向量a与b的夹角是，且|a|1，|b|2，若(ab)a，则实数_【当堂达标】1.下列命题正确的是()A|ab|a|b|Bab0|a|b|0Cab0|a|b|0D(ab)cacbc2.在ABC中，0，则ABC是(C)A锐角三角形 B直角三角形C钝角三角形 D等边三角形3.已知平面向量a，b满足a(ab)3且|a|2，|b|1，则向量a与b的夹角为()A. B.C. D.4.已知向量a与b的夹角为120，且|a|4，|b|2，则|ab|_，|3a4b|_5.已知|a|3，|b|5，ab12，且e是与b方向相同的单位向量，则a在b上的投影向量

8、为_6.已知向量a，b的夹角为60，且|a|2，|b|1，若c2ab，da2b，求：(1)cd；(2)|c2d|.【课堂小结】1.两向量a与b的数量积是一个实数，不是一个向量，其值可以为正(当a0，b0,0时)，也可以为负(当a0，b0，时)，还可以为0(当a0或b0或时)2.两非零向量a，b，abab0，求向量模时要灵活运用公式|a|.3.求两个非零向量a，b的夹角或其余弦值一般采用夹角公式cos ，根据题中条件分别求出|a|，|b|和ab，确定时要注意0，【参考答案】【自主学习】一 同向 垂直 反向二 非零 数量积 内积 0三 |a|e 0 |a|e四|a|cos ab0 |a|b| |a

9、|b| |a|2 五abba (a)b(ab)a(b) (ab)cacbc【小试牛刀】(1) (2) (3) (4) (5) (6) 【经典例题】例1 解 (1)ab|a|b|cos12054()10.(2)(ab)(ab)a2ababb2a2b2|a|2|b|225169.(3)(2ab)(a3b)2a26abab3b22|a|25ab3|b|222551031648.【跟踪训练】1解 (1) 因为与的夹角为60，所以与的夹角为120，所以|cos 120436. (2)因为，所以()()229167.例2 2 解： |a2b| 2.【跟踪训练】2 解：因为|2ab|，所以(2ab)210，

10、所以4a24abb210，又因为向量a与b的夹角为45且|a|1，所以41241|b|b|210，整理得|b|22|b|60，解得|b|或|b|3(舍去)例3 (1)(2) 解析(1)设a与b的夹角为，(a2b)(a3b)aa3ab2ba6bb|a|2ab6|b|2|a|2|a|b|cos 6|b|26264cos 64272，所以24cos 36729612，所以cos .又因为，所以.(2)设a与b的夹角为，由(ab)b，得(ab)b0，所以abb2，所以cos .又因为|a|2|b|，所以cos .又因为0，所以.【跟踪训练】3 解：e1，e2为单位向量且夹角为，e1e211cos.ab

11、(e1e2)(e22e1)2e1e2121，|a|，|b|，cos.又0，a与b的夹角为.例4 解：因为3a2b与kab互相垂直，所以(3a2b)(kab)0，所以3ka2(2k3)ab2b20.因为ab，所以ab0，又|a|2，|b|3，所以12k180，k.【跟踪训练】4 解析：根据题意得ab|a|b|cos 1，因为(ab)a，所以(ab)aa2ab0，所以.【当堂达标】1. D解析：选项D是分配律，正确，A、B、C不正确2.C 解析：|cosA0，cosA0，A是钝角，则ABC是钝角三角形.3.C 解析：选C.因为a(ab)a2ab42cosa，b3，所以cosa，b，又因为a，b0，

12、所以a，b.4.24 解析：由已知得ab|a|b|cos42cos 1204，a2|a|216，b2|b|24.因为|ab|2(ab)2a22abb2162(4)412，所以|ab|2.因为|3a4b|2(3a4b)29a224ab16b291624(4)164304，所以|3a4b|4.5. e 解析：设a与b的夹角，则cos ，所以a在b上的投影向量为|a|cos e3ee.6.解：因为向量a与b的夹角为60.|a|2，|b|1，所以ab|a|b|cos601，因为c2ab，da2b，(1)cd(2ab)(a2b)2a23ab2b22|a|2312|b|222232129.(2)因为c2d(2ab)2(a2b)4a3b，(c2d)2(4a3b)216a224ab9b216|a|22419|b|216222419197，所以|c2d|297，所以|c2d|.