2019年高考数学一轮复习第2章函数导数及其应用第4节二次函数与幂函数学案（理科）北师大版.doc

1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 第四节 二次函数与幂函数 考纲传真 (教师用书独具 )1.(1)了解幂函数的概念； (2)结合函数 y x， y x2，y x3， y x12， y 1x的图像，了解它们的变化情况 .2.理解二次函数的图像和性质，能用二次函数、方程、不等式之间的关系解决简单问题 (对应学生用书第 16 页 ) 基础知识填充 1二次函数 (1)二次函数解析式的三种形式 一般式： f(x) ax2 bx c(a0) ； 顶点式： f(x) a(x h)2 k(a0) ， 顶点坐标为 (h， k)； 零点式： f(x) a(x x1)(x x2)(a0) ， x1， x2为 f(x

2、)的零点 (2)二次函数的图像与性质 函数 y ax2 bx c(a 0) y ax2 bx c(a 0) 图像 定义域 R 值域 ? ?4ac b24a ， ? ， 4ac b24a 单调性 在 ? ? ， b2a 上 减 ，在? b2a， 上 增 在 ? ? ， b2a 上 增 ，在? b2a， 上 减 对称性 函数的图像关于 x b2a对称 2.幂函数 (1)定义：如果一个函数，底数是自变量 x，指数是常量 ，即 y x ，这样的函数称为幂函数 (2)五种常见幂函数的图像与性质 y x y x2 y x3 y x12 y x 1 函 数 特 征 性 质 =【 ;精品教育资源文库 】 =

3、图像 定义域 R R R x|x0 x|x0 值域 R y|y0 R y|y0 y|y0 奇偶性 奇 偶 奇 非奇非偶 奇 单调性 增 ( ， 0)减，(0， ) 增 增 增 ( ， 0)和(0， ) 减 公共点 (1,1) 知识拓展 若 f(x) ax2 bx c(a0) ，则当? a 0， 0 时，恒有 f(x) 0；当 ? a 0， 0时，恒有 f(x) 0. 基本能力自测 1 (思考辨析 )判断下列结论的正误 (正确的打 “” ，错误的打 “”) (1)二次函数 y ax2 bx c， x R 不可能是偶函数 ( ) (2)二次函数 y ax2 bx c， x a， b的最值一定是 4

4、ac b24a .( ) (3)幂函数的图像一定经过点 (1,1)和点 (0,0) ( ) (4)当 n 0 时，幂函数 y xn在 (0， ) 上是增函数 ( ) 答案 (1) (2) (3) (4) 2 y x2， y ? ?12x， y 4x2， y x5 1， y (x 1)2， y x， y ax(a 1)，上述函数是幂函数的有 ( ) A 0 个 B 1 个 C 2 个 D 3 个 C 只有 y x2， y x 是幂函数，故选 C. 3已知函数 f(x) ax2 x 5 的图像在 x 轴上方 ，则 a 的取值范围是 ( ) A.? ?0， 120 B.? ? ， 120 C.? ?

5、120， D.? ? 120， 0 C 由题意知? a 0， 0， 即 ? a 0，1 20a 0， 得 a120. 4若 f(x) (x a)(x 4)为偶函数，则实数 a _. 4 f(x) x2 (a 4)x 4a，由 f(x)是偶函数知 a 4 0，所以 a 4. =【 ;精品教育资源文库 】 = 5 (教材改编 )已知幂函数 y f(x)的图像过点 ? ?2， 22 ，则此函数的解析式为 _；在区间 _上 递减 y x12 (0， ) 设 f(x) x ，则 2 22 ， 所以 12，即幂函数的解析式为 y x12，单调减区间为 (0， ) (对应学生用书第 17 页 ) 幂函数的图

6、像与性质 (1)幂函数 y f(x)的图像过点 (4,2)，则幂函数 y f(x)的图像是 ( ) (2)(2016 全国卷 ) 已知 a 243， b 323， c 2513，则 ( ) A b a c B a b c C b c a D c a b (1)C (2)A (1)令 f(x) x ，由 4 2， 12， f(x) x12.故选 C. (2)a 243 423， b 323， c 2513 523. y x23在第一象限内为增函数，又 5 4 3， c a b. 规律方法 (1)幂函数的形式是 y x ( R)，其中只有一个参数 ，因此只需一个条件即可确定其解析式 . (2)若幂

7、函数 y x ( R)是偶函数，则 必为偶数 .当 是分数时，一般先将其化为根式，再判断 . (3)若幂函数 y x 在 (0， ) 上单调递增，则 0，若在 (0， ) 上单调递减，则 0.) =【 ;精品教育资源文库 】 = 跟踪训练 (1)已知幂函数 f(x) (n2 2n 2) xn2 3n(n Z)在 (0， ) 上是减函数，则 n 的值为 ( ) A 3 B 1 C 2 D 1 或 2 (2)若 (a 1)12 (3 2a)12，则实数 a 的取值范围是 _ (1)B (2)? ? 1， 23 (1)由于 f(x)为幂函数，所以 n2 2n 2 1，解得 n 1 或 n3.当 n

8、1 时， f(x) x 2 1x2在 (0， ) 上是减函数；当 n 3 时， f(x) x18在 (0， ) 上是增函数故 n 1 符合题意，应选 B. (2)易知函数 y x12的定义域为 0， ) ，在定义域内为增函数， 所以? a 10 ，3 2a0 ，a 1 3 2a，解得 1 a 23. 求二次函数的解析式 已知二次函数 f(x)满足 f(2) 1， f( 1) 1，且 f(x)的最大值是 8，试确定此二次函数的解析式 . 【导学号： 79140037】 解 法一 (利用一般式 )： 设 f(x) ax2 bx c(a0) 由题意得? 4a 2b c 1，a b c 1，4ac b

9、24a 8，解得? a 4，b 4，c 7. 所求二次函数为 f(x) 4x2 4x 7. 法二 (利用顶点式 )： 设 f(x) a(x m)2 n. f(2) f( 1)， =【 ;精品教育资源文库 】 = 抛物线的图像的对称轴为 x 2 ( 1)2 12. m 12.又根据题意函数有最大值 8， n 8. y f(x) a? ?x 122 8. f(2) 1， a? ?2 122 8 1，解得 a 4， f(x) 4? ?x 122 8 4x2 4x 7. 法三 (利用零点式 )： 由已知 f(x) 1 0 的两根为 x1 2， x2 1， 故可设 f(x) 1 a(x 2)(x 1)，

10、 即 f(x) ax2 ax 2a 1. 又函数的最大值是 8，即 4a( 2a 1) ( a)24a 8，解得 a 4， 所求函数的解析式为 f(x) 4x2 4x 7. 规律方法 用待定系数法求二次函数的解析式，关键是灵活选取二次函数解析式的形式，选法如下： 跟踪训练 已知二次函数 f(x)的图像经过点 (4,3)，它在 x 轴上截得的线段长为 2，并且对任意 x R，都有 f(2 x) f(2 x)，求 f(x)的解析式 解 f(2 x) f(2 x)对 x R 恒成立， f(x)的对称轴为 x 2. 又 f(x)的图像被 x 轴截得的线段长为 2， f(x) 0 的两根为 1 和 3.

11、 设 f(x)的解析式 为 f(x) a(x 1)(x 3)(a0) 又 f(x)的图像过点 (4,3)， 3 a 3， a 1. 所求 f(x)的解析式为 f(x) (x 1)(x 3)， 即 f(x) x2 4x 3. =【 ;精品教育资源文库 】 = 二次函数的图像与性质 角度 1 二次函数图像的识别及应用 设 abc 0，则二次函数 f(x) ax2 bx c 的图像可能是 ( ) D 由 A， C， D 知， f(0) c 0. abc 0， ab 0， 对称轴 x b2a 0，知 A， C 错误， D 符合要求由 B 知 f(0) c 0， ab 0， x b2a 0， B 错误

12、角度 2 二次函数的最值问题 (2017 广州十六中月考 )若函数 f(x) x2 2x 1 在区间 a， a 2上的最小值为4，则 a 的取值集合为 ( ) A 3,3 B 1,3 C 3,3 D 1， 3,3 C f(x) x2 2x 1 (x 1)2，图像的对称轴是 x 1. 因为 f(x)在区间 a， a 2上的最小值为 4， 所以当 1 a 时， ymin f(a) (a 1)2 4，解得 a 1(舍去 )或 a 3； 当 a 21 ，即 a 1 时， ymin f(a 2) (a 1)2 4，解得 a 1(舍去 )或 a 3； 当 a 1 a 2，即 1 a 1 时， ymin f

13、(1) 04 ，不符合题意，故 a 的取值集合为 3,3 角度 3 二次函数中的恒成立问题 已知函数 f(x) x2 bx c(b， c R)，对任意的 x R，恒有 f( x) f(x) (1)证明：当 x0 时， f(x)( x c)2； (2)若对满足题设条件的任意 b， c，不等式 f(c) f(b) M(c2 b2)恒成立，求 M 的最小值 解 (1)证明：易知 f( x) 2x b. 由题设，对任意的 x R,2x b x2 bx c， 即 x2 (b 2)x c b0 恒成立， 所以 (b 2)2 4(c b)0 ，从而 c b24 1. 于是 c1 ，且 c2 b241 |b|

14、， =【 ;精品教育资源文库 】 = 当且仅当 b 2 时等号成立 因此 2c b c (c b) 0. 当 x0 时，有 (x c)2 f(x) (2c b)x c(c 1)0. 故当 x0 时， f(x)( x c)2. (2)由 (1)知， c| b|，则 当 c |b|时，有 M f(c) f(b)c2 b2 c2 b2 bc b2c2 b2 c 2bb c. 令 t bc，则 1 t 1， c 2bb c 2 11 t. 而函数 g(t) 2 11 t( 1 t 1)的值域为 ? ? ， 32 ， 因此，当 c |b|时， M 的取值范围为 ? ?32， . 当 c |b|时，由 (

15、1)知， b 2 ， c 2. 此时 f(c) f(b) 8 或 0，且 c2 b2 0， 从而 f(c) f(b) M(c2 b2)恒成立 综上所述， M 的最小值为 32. 规律方法 1.二次函数的最值问题的类型及求解方法 类型： 对称轴、区间都是给定的； 对称轴动、区间固定； 对称轴定、区间变动 . 求解方法：抓住 “ 三点一轴 ” 进行数形结合，三点是指区间两个端点和中点，一轴指的是对称轴，具体方法是利用配方法、函数的单调性及分类讨论的思想 求解 . 2.二次函数中恒成立问题的求解思路 由不等式恒成立求参数的取值范围，常用分离参数法，转化为求函数最值问题，其依据是a f x ?a f x max， a f