4.4数学归纳法 导学案- (人教A版 高二 选择性必修第二册).docx
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1、4.4数学归纳法 导学案 1.了解数学归纳法的原理.2.能用数学归纳法证明一些简单的数学命题.重点:用数学归纳法证明数学命题 难点:数学归纳法的原理. 数学归纳法的定义 一般地,证明一个与正整数n有关的命题,可按下列步骤进行:归纳奠基证明当n取第一个值n0(n0N*)时命题成立归纳递推以当“n=k(kn0,kN*)时命题成立”为条件,推出“当n=k+1时命题也成立”只要完成这两个步骤,就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立.这种证明方法叫做数学归纳法.一、 新知探究在数列的学习过程中,我们已经用归纳的方法得出了一些结论,例如等差数列an的通项公式an=a1+n-1 d等,但并没有给出严
2、格的数学证明,那么,对于这类与正整数n有关的问题,我们怎样证明它对每一个正整数n都成立呢?本节我们就来介绍一种重要的证明方法-数学归纳法探究1. 已知数列an满足,a1 =1, an+1= 12-an (nN*)计算a2, a3, a4,猜想其通项公式,并证明你的猜想.问题1:多米诺骨牌都倒下的关键点是什么? 我们先从多米诺骨牌游戏说起,码放骨牌时,要保证任意相邻的两块骨牌,若前一块骨牌倒下,则一定导致后一块骨牌倒下。这样,只要推到第1块骨牌,就可导致第2块骨牌倒下;而第2块骨牌倒下,就可导致第3块骨牌倒下;,总之,不论有多少块骨牌,都能全部倒下。问题1:多米诺骨牌都倒下的关键点是什么?问题2
3、:你认为条件(2)的作用是什么?如何用数学语言来描述它?探究2. 你认为证明前面的猜想“数列的通项公式是an =1 (nN*)”与上述多米诺骨牌游戏有相似性吗?你能类比多米诺骨牌游戏解决这个问题吗?二二2222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222、典例解析例1.用数学归纳法证明:如果an是一个公差为d的等差数列,那么, an= a1 +n-1d 对任何nN*都成立. 用数学归纳法证明恒等
4、式时,应关注以下三点:(1)弄清n取第一个值n0时等式两端项的情况;(2)弄清从n=k到n=k+1等式两端增加了哪些项,减少了哪些项;(3)证明n=k+1时结论也成立,要设法将待证式与归纳假设建立联系,并朝n=k+1证明目标的表达式变形.跟踪训练1求证:1-12+13-14+12n-1-12n=1n+1+1n+2+12n(nN*).例2已知数列114,147,1710,1(3n-2)(3n+1),计算S1,S2,S3,S4,根据计算结果,猜想Sn的表达式,并用数学归纳法进行证明.(1)“归纳猜想证明”的一般环节 (2)“归纳猜想证明”的主要题型已知数列的递推公式,求通项或前n项和.由一些恒等式
5、、不等式改编的一些探究性问题,求使命题成立的参数值是否存在.给出一些简单的命题(n=1,2,3,),猜想并证明对任意正整数n都成立的一般性命题.跟踪训练2数列an满足Sn=2n-an(Sn为数列an的前n项和),先计算数列的前4项,再猜想an,并证明. 1.用数学归纳法证明1+a+a2+an+1=1-an+21-a(a1,nN*),在验证n=1成立时,左边计算所得的项是()A.1 B.1+aC.1+a+a2 D.1+a+a2+a32.用数学归纳法证明1+2+3+(2n+1)=(n+1)(2n+1)时,从“n=k”到“n=k+1”,左边需增添的代数式是()A.(2k+1)+(2k+2) B.(2
6、k-1)+(2k+1)C.(2k+2)+(2k+3) D.(2k+2)+(2k+4)3.已知f(n)=1+12+13+1n(nN*),计算得f(2)=32,f(4)2,f(8)52,f(16)3,f(32)72,由此推测,当n2时,有.4.用数学归纳法证明:122+132+1(n+1)212-1n+2.假设n=k时,不等式成立,则当n=k+1时,应推证的目标不等式是.5.用数学归纳法证明:当n2,nN*时,1-141-19(1-116)(1-1n2)=n+12n.参考答案:知识梳理学习过程一、新知探究探究1. 分析:计算可得a2 =1, a3 =1, a4 =1,再结合a1 =1,由此猜想:
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