圆锥曲线解题十招全归纳.pdf

1、11 圆圆锥锥曲曲线线解解题题十十招招全全归归纳纳 淘师港工作室( Q Q三群 6 9 4 5 3 9 2 2 5 ) 招式一：弦的垂直平分线问题2 招式二：动弦过定点的问题4 招式四：共线向量问题6 招式五：面积问题1 3 招式六：弦或弦长为定值、最值问题1 6 招式七：直线问题2 0 招式八：轨迹问题2 4 招式九：对称问题3 1 招式十、存在性问题3 4 22 招招式式一一：弦弦的的垂垂直直平平分分线线问问题题 例题1 、 过点T ( - 1 , 0 ) 作直线 与曲线N ：交于A 、 B两点， 在x 轴上是否存在一点E ( , 0 ) ， 使得 是等边三角形，若存在，求出；若不存在，请

2、说明理由。 解解：依题意知，直线的斜率存在，且不等于 0 。 设直线，。 由消 y 整理，得 由直线和抛物线交于两点，得 即 由韦达定理，得：。则线段 A B的中点为。 线段的垂直平分线方程为： 令 y = 0 , 得，则 为正三角形，到直线 A B的距离 d为。 解得满足式此时。 【涉涉及及到到弦弦的的垂垂直直平平分分线线问问题题】 这这种种问问题题主主要要是是需需要要用用到到弦弦 AA BB的的垂垂直直平平分分线线 LL 的的方方程程， 往往往往是是利利用用点点差差或或者者韦韦达达定定理理产产生生弦弦 AA BB的的 中中点点坐坐标标 MM，结结合合弦弦 AA BB与与它它的的垂垂直直平平

3、分分线线 LL 的的斜斜率率互互为为负负倒倒数数，写写出出弦弦的的垂垂直直平平分分线线 LL 的的方方程程，然然后后解解 决决相相关关问问题题，比比如如：求求 LL 在在 xx 轴轴 yy 轴轴上上的的截截距距的的取取值值范范围围，求求 LL 过过某某定定点点等等等等。有有时时候候题题目目的的条条件件比比较较隐隐 蔽蔽，要要分分析析后后才才能能判判定定是是有有关关弦弦 AA BB的的中中点点问问题题，比比如如：弦弦与与某某定定点点 DD构构成成以以 DD为为顶顶点点的的等等腰腰三三角角形形（即即 DD在在 AA BB的的垂垂直直平平分分线线上上） 、曲曲线线上上存存在在两两点点 AA BB关关

4、于于直直线线 mm对对称称等等等等。 例例题题分分析析 11 ：已知抛物线 y = - x 2 + 3上存在关于直线 x + y = 0对称的相异两点 A 、B ，则| A B | 等于 解： 设直线的方程为， 由， 进而可求出 33 的中点，又由在直线上可求出，由弦 长公式可求出 44 招招式式二二：动动弦弦过过定定点点的的问问题题 例题 2 、已知椭圆 C ：的离心率为， 且在 x 轴上的顶点分别为 A1( - 2 , 0 ) , A2( 2 , 0 ) 。 （I ）求椭圆的方程； （I I ）若直线与 x 轴交于点 T , 点 P为直线 上异于 点 T 的任一点，直线 P A1, P A

5、2分别与椭圆交于 M、N点，试问直 线 MN是否通过椭圆的焦点？并证明你的结论 解： （I ）由已知椭圆 C的离心率，, 则得。从而椭圆的方程为 （I I ）设，直线的斜率为, 则直线的方程为，由 消 y 整理得是方程的两个根， 则，即点 M的坐标为， 同理，设直线 A2N的斜率为 k2，则得点 N的坐标为 ，直线 MN的方程为：， 令 y = 0 ，得，将点 M、N的坐标代入，化简后得： 又，椭圆的焦点为，即 故当时，MN过椭圆的焦点。 招招式式三三：过过已已知知曲曲线线上上定定点点的的弦弦的的问问题题 例题 4 、已知点 A 、B 、C是椭圆 E ：上的三点，其中点 A是椭圆的右顶 点，直

6、线 B C过椭圆的中心 O ，且，如图。( I ) 求点 C的坐标及椭圆 E的方程； ( I I ) 若椭圆 E上存在两点 P 、Q ，使得直线 P C与直线 Q C关于直线对称，求直线 P Q的斜率。 55 解：( I )，且 B C过椭圆的中心 O 又点 C的坐标为。 A是椭圆的右顶点，则椭圆方程为： 将点 C代入方程，得，椭圆 E的方程为 ( I I )直线 P C与直线 Q C关于直线对称， 设直线 P C的斜率为，则直线 Q C的斜率为，从而直线 P C的方程为： ，即，由消 y ，整理得： 是方程的一个根， 即同理可得： 则直线 P Q的斜率为定值。 66 招招式式四四：共共线线向

7、向量量问问题题 11 ：如图所示，已知圆为圆上一动点，点 P在 A M上，点 N在 C M上， 且满足的轨迹为曲线 E . I ）求曲线 E的方程；I I ）若过定点 F （0 ，2 ）的直 线交曲线 E于不同的两点 G 、H （点 G在点 F 、H之间） ，且满足，求的取值范围. 解： （1 ） N P为 A M的垂直平分线， | N A | = | N M| 又 动点 N的轨迹是以点 C （1 ，0 ） ，A （1 ，0 ）为焦点的椭圆. 且椭圆长轴长为 焦距 2 c = 2 . 曲线 E的方程为 （2 ）当直线 G H斜率存在时，设直线 G H方程为 得设 ， 又当直线 G H斜率不存在

8、，方程为 22 ：已知椭圆 C的中心在坐标原点，焦点在轴上，它的一个顶点恰好是抛物线的焦点，离心率 为.（1 ）求椭圆 C的标准方程； （2 ）过椭圆 C的右焦点作直线 交椭圆 C于、两点，交轴于 77 点，若，求证：. 解：设椭圆 C的方程为（）抛物线方程化为，其焦点为， 则椭圆 C的一个顶点为，即由，椭圆 C的方程为 （2 ）证明：右焦点，设，显然直线 的斜率存在，设直 线 的方程为，代入方程并整理，得 ，又， ， 而， 即， ，所以 33 、已知O F Q的面积 S = 2, 且。设以 O为中心，F为焦点的双曲线经过 Q ， ，当取得最小值时，求此双曲线方程。 解：设设双双曲曲线线方方程

9、程为为，QQ （xx00, yy00） 。 ，SO F Q=，。 = c ( x0c ) =。 当且仅当， 88 所以。 类类型型 11 求求待待定定字字母母的的值值 例 1设双曲线 C ：与直线 L ：x + y = 1相交于两个不同的点 A 、B ，直线 L 与 y 轴交 于点 P ，且 P A =，求的值 思思路路：设 A 、B两点的坐标，将向量表达式转化为坐标表达式，再利用韦达定理，通过解方程组求 a 的值。 解解：设 A ( x1, y1) ，B ( x2, y2) ，P ( 0 , 1 ) P A = x1=. 联立消去 y 并整理得，( 1 a 2 ) x 2 + 2 a 2 x

10、 2 a 2 = 0( * ) A 、B是不同的两点， 0 0 ）过 M（2 ，） ，N (, 1 ) 两点, 所以解得所以椭圆 E的方程为 （2 ）假设存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆 E恒有两个交点 A , B , 且, 设该圆的切线方程为解方程组得, 即 , 则=, 即 33 44 , 要使 , 需使, 即, 所以, 所以 又, 所以, 所以, 即或, 因为 直线为圆心在原点的圆的一条切线, 所以圆的半径为, , 所求的圆为, 此时圆的切线都满足 或, 而当切线的斜率不存在时切线为与椭圆的两个交点 为或满足, 综上, 存在圆心在原点的圆，使得 该圆的任意一条切线与椭圆 E

11、恒有两个交点 A , B , 且. 因为, 所以, , 当时 33 55 因为所以, 所以, 所以当且仅当时取” = ” . 当时,. 当 A B的斜率不存在时, 两个交点为或, 所以此时, 综上, | A B| 的取值范围为即: 22 、在平面直角坐标系中，经过点且斜率为的直线 与椭圆有两个不同的交点 和 （I ）求的取值范围； （I I ）设椭圆与轴正半轴、轴正半轴的交点分别为，是否存在常数， 使得向量与共线？如果存在，求值；如果不存在，请说明理由 解： （ ）由已知条件，直线 的方程为，代入椭圆方程得 整理得直线 与椭圆有两个不同的交点和等价于 ，解得或即的取值范围为 （ ） 设， 则，

12、 由方程， 又而所所以以与与共共线线等等价价于于 ，将代入上式，解得由（ ）知或，故没有符合 题意的常数 33 、设、分别是椭圆的左、右焦点. （ ）若 P是该椭圆上的一个动点，求的 33 66 最大值和最小值；（ ）是否存在过点 A （5 ，0 ）的直线 l 与椭圆交于不同的两点 C 、D ，使得| F2C | = | F2D | ？ 若存在，求直线 l 的方程；若不存在，请说明理由. 解：易知，设 P （x ，y ） ， 则， ，即点 P为椭圆短轴端点时，有最小值 3 ； 当，即点 P为椭圆长轴端点时，有最大值 4 （ ）假设存在满足条件的直线 l 易知点 A （5 ，0 ）在椭圆的外部，

13、当直线 l 的斜率不存在时，直线 l 与椭 圆无交点，所在直线 l 斜率存在，设为 k ，直线 l 的方程为 由方程组 依题意当时， 设交点 C， C D的中点为 R，则 又| F2C | = | F2D | 2 0 k 2 = 2 0 k 2 4 ，而 2 0 k 2 = 2 0 k 2 4不成立，所以不 存在直线 ，使得| F2C | = | F2D | 综上所述，不存在直线 l，使得| F2C | = | F2D | 44 、椭圆 G ：的两个焦点为 F1、F2，短轴两端点 B1、B2，已知 F1、F2、B1、B2四 点共圆，且点 N （0 ，3 ）到椭圆上的点最远距离为（1 ）求此时椭

14、圆 G的方程； （2 ）设斜率为 k （k 0 ） 的直线 m与椭圆 G相交于不同的两点 E 、F ，Q为 E F的中点，问 E 、F两点能否关于过点 P （0 ，） 、 Q的直线对称？若能，求出 k 的取值范围；若不能，请说明理由 解： （1 ）根据椭圆的几何性质，线段 F1F2与线段 B1B2互相垂直平分，故椭圆中心即为该四点外接圆的圆 心故该椭圆中即椭圆方程可为，H （x , y ）为椭圆上一点，则 33 77 ，则有最 大值，（舍去） ， ， 所求椭圆方程为 （2 ）设，则由两式相减得 又直线 P Q 直线 m 直线 P Q方程为将点 Q （） 代入上式得， 由得 Q （） ，Q点必在

15、椭圆内部， 由此得故当时， E 、 F两点 关于点 P 、Q的直线对称 5 、已知椭圆的离心率为，过右焦点F 的直线 与相交于、两点，当 的斜率为1 时，坐标原点到 的距离为 （I ）求，的值； （I I ）上是否存在点P ，使得当 绕F 转到某一位置时，有成立？若存在，求出所有的P 的 坐标与 的方程；若不存在，说明理由。 解： （ ）设当 的斜率为 1时，其方程为到 的距离为 ，故， 由，得，= （ ）C上存在点，使得当 绕转到某一位置时，有成立。 33 88 由 （ ）知椭圆 C的方程为+= 6 . 设 ( ) 假设上存在点 P ，且有成立，则， ，整理得 故 将 于是,=, ， 代入解

16、得，此时 于是=， 即 因此， 当时，； 当时，。 （ ）当 垂直于轴时，由知，C上不存在点 P使成立。 综上，C上存在点使成立，此时 的方程为. 66 、已知直线经过椭圆的左顶点A 和上顶点D ，椭圆的右顶 点为，点是椭圆上位于轴上方的动点，直线与直线分别交于两点。 （I ）求椭圆的方程； （ ）求线段MN 的长度的最小值； （ ）当线段MN 的长度最小时，在椭圆上是否存在这样的点，使得的面积为？若存在， 33 99 确定点的个数，若不存在，说明理由 （I ）由已知得，椭圆的左顶点为上顶点为 故椭圆的方程为 （ ）直线 A S的斜率显然存在，且，故可设直线的方程为，从而 由得0 设则得，从而

17、即 又 ，由 得故 又，当且仅当，即时等号成立 时，线段的长度取最小值 （ ）由（ ）可知，当取最小值时， 此时的方程为 要使椭圆上存在点，使得的面积等于，只须到直线的距离等于，所以在 平行于且与距离等于的直线 上。 设直线 ，则由 解得或 77 、已知双曲线的左、右焦点分别为，过点的动直线与双曲线相交于两点 （I ）若动点满足（其中为坐标原点） ，求点的轨迹方程； （I I ）在轴上是否存在定点，使为常数？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由 44 00 解：由条件知，设， 解法一： （I ）设，则， ，由得 即 于是的中点坐标为 当不与轴垂直时，即 又因为两点在双曲线上，所以，两式相

18、减得 ，即 将代入上式，化简得 当与轴垂直时，求得，也满足上述方程 所以点的轨迹方程是 （I I ）假设在轴上存在定点，使为常数 当不与轴垂直时，设直线的方程是 代入有 则是上述方程的两个实根，所以， 于是 因为是与无关的常数，所以，即，此时= 44 11 当与轴垂直时，点的坐标可分别设为， 此时 故在轴上存在定点，使为常数 8 、在平面直角坐标系中，已知圆心在第二象限、半径为的圆与直线相切于坐标原点 椭圆与圆的一个交点到椭圆两焦点的距离之和为 ( 1 ) 求圆的方程； ( 2 ) 试探究圆上是否存在异于原点的点， 使到椭圆右焦点的距离等于线段的长 若存在， 请求出点的坐标；若不存在，请说明理

19、由 解： ( 1 ) 设圆心坐标为( m，n ) （m 0 ）, 则该圆的方程为( x - m) 2 + ( y - n ) 2 = 8已知该圆与直线 y = x 相切， 那么圆心到该直线的距离等于圆的半径，则 = 2即= 4 又圆与直线切于原点，将点( 0 ，0 ) 代入得 ，m 2 + n 2 = 8 联立方程和组成方程组解得 ， 故圆的方程为( x + 2 ) 2 + ( y - 2 ) 2 = 8 ( 2 ) = 5 ， a 2 = 2 5 ，则椭圆的方程为 其焦距 c = 4 ，右焦点为( 4 ，0 ) ，那么= 4 。 要探求是否存在异于原点的点 Q ，使得该点到右焦点 F的距离等

20、于的长度 4 ，我们可以转化为探求以 右焦点 F为顶点，半径为 4的圆( x 4 ) 2 + y 2 = 8与( 1 ) 所求的圆的交点数。 通过联立两圆的方程解得 x = ，y = 即存在异于原点的点 Q ( ，) ，使得该点到右焦点 F的距离等于的长。 9 、设椭圆E :（a ，b 0 ）过M（2 ，） ，N (，1 ) 两点，O 为坐标原点， （I ）求椭圆E 的方程； （I I ） 是否存在圆心在原点的圆， 使得该圆的任意一条切线与椭圆E 恒有两个交点A , B , 且？若存在， 写出该圆的方程，并求| A B| 的取值范围，若不存在说明理由。 44 22 解: （1 ）因为椭圆 E :（a ，b 0 ）过 M（2 ，） ，N (, 1 ) 两点, 所以解得所以椭圆 E的方程为 （2 ）假设存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆 E恒有两个交点 A , B , 且, 设该圆的切线方程为解方程组得, 即 , 则=, 即 , 要使 , 需使, 即, 所以, 所以又, 所以, 所以, 即或, 因为直线为圆心在原点的圆的一条切线, 所以圆的半径为， ， 44 33 所求的圆为，此时圆的切线都满足或，而当切线的斜率不存 在时切线为与椭圆的两个交点为或满足 ， 综上， 存在圆心在原点的圆， 使得该圆的任意一条切线与椭圆 E恒有两个交点 A , B , 且.