2023年高中数学学业水平考试专题练习2　基本不等式（含答案）.docx

1、专题练习2基本不等式基础巩固1.(2020广东惠州高二期末)已知x0,y0,且2x+y=1,则xy的最大值是()A.14B.4C.18D.82.下列各式中,对任何实数x都成立的一个式子是()A.x+12xB.x2+12xC.1x2+11D.x+1x23.已知0x0,y0”是“x+y2x2+y22”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件5.下列不等式恒成立的是()A.a2+b22abB.a2+b2-2abC.a+b2abD.a+b-2ab6.3x2+6x2+1的最小值为()A.32-3B.3C.62D.62-37.若a0,b0,且a+b=4,则下列不等式恒

2、成立的是()A.1ab14B.1a+1b1C.ab2D.a2+b288.若x0,y0,且2x+8y=1,则xy有()A.最大值64B.最小值164C.最小值12D.最小值649.已知x0,y0,且x+y=8,则(1+x)(1+y)的最大值为()A.16B.25C.9D.3610.若正数x,y满足x+4y-xy=0,则当x+y取得最小值时x的值为()A.9B.8C.6D.311.(2017年11月浙江学考)正实数x,y满足x+y=1,则1+yx+1y的最小值为()A.3+2B.2+22C.5D.11212.(2021湖州月考)已知x0,y0,且2x+8y-xy=0.(1)求xy的最小值;(2)求

3、x+y的最小值.17.(2021丽水检测)(1)当x0时,求函数y=x2+3x+42x的最小值;(2)当x0,则a2+4b2+1ab的最小值为()A.8B.6C.4D.219.已知正实数a,b满足a+2b=1,则1+1a2+1b的最小值为.20.若函数f(x)=log2x+2,x12,2,则函数g(x)=f(x)+4f(x)的值域为.21.若直角三角形的周长为定值l(l0),则其面积的最大值为.22.已知实数a,b,cR,且a+b+c=1,求证:a2+b2+c213.23.(2020平湖期中)某工厂拟建一座平面图为矩形且面积为200平方米的三级污水处理池(平面图如图所示).如果池四周围墙建造单

4、价为400元/米,中间两道隔墙建造单价为248元/米,池底建造单价为80元/平方米,水池所有墙的厚度忽略不计.试设计污水处理池的长和宽,使总造价最低,并求出最低总造价.24.某书商为提高某套丛书的销量,准备举办一场展销会,根据市场调查,当每套丛书的售价定为x元时,销售量为(15-0.1x)万套.现出版社为配合该书商的活动,将每套丛书的供货价格分成固定价格和浮动价格两部分,其中固定价格为30元,浮动价格(单位:元)与销售量(单位:万套)成反比,比例系数为10.假设不计其他成本,即销售每套丛书的利润=每套丛书的售价-每套丛书的供货价格.求:(1)每套丛书的售价为100元时,书商能获得的总利润是多少

5、万元?(2)每套丛书的售价定为多少元时,单套丛书的利润最大?专题练习2基本不等式1.C解析 方法一因为x0,y0,所以2x+y=122xy,解得xy18.当且仅当2x=y=12时取等号.故选C.方法二因为x0,y0,且2x+y=1,所以xy=122xy122x+y22=18,当且仅当2x=y=12时取等号.故选C.2.C解析 对于选项A,当x0时不成立;对于选项B,当x=1时不成立;对于选项D,当x0时不成立;对于选项C,因为x2+11,所以1x2+11成立.故选C.3.B解析 因为0x0,y0时,由x+y22-x2+y22=-x2+2xy-y24=-(x-y)240可知x+y2x2+y22成

6、立,所以充分性成立;当x+y2x2+y22成立时,若x0,y0,b0,所以a+b=42ab,当且仅当a=b时,等号成立,有ab2,解得0ab4,所以1ab14,所以选项A,C错误;因为1a+1b=1a+1ba4+b4=2+ba+ab42+24=1,当且仅当a=b时取等号,所以选项B错误.由a+b2a2+b22,当且仅当a=b时,等号成立,可知a2+b28成立.故选D.8.D解析 由题可得,2x+8y=1216xy,所以xy8,即xy64.当且仅当2x=8y=12,y=4x=16时取等号.所以xy有最小值64.故选D.9.B解析 因为x+y=8,所以(1+x)(1+y)1+x+1+y22=52=

7、25.当且仅当1+x=1+y,即x=y=4时取等号.所以(1+x)(1+y)的最大值为25.故选B.10.C解析 由x+4y-xy=0可得4x+1y=1,所以x+y=(x+y)4x+1y=5+4yx+xy5+24=9.当且仅当4yx=xy,x=2y=6时取等号.所以当x+y取得最小值9时x的值为6.故选C.11.B解析 因为正实数x,y满足x+y=1,所以1+yx+1y=x+2yx+x+yy=2+2yx+xy2+22.当且仅当2yx=xy,x=2y时取等号.故选B.12.1解析 因为x54,所以4x-50,所以不等式axx2+4即为ax+4x恒成立.因为x+4x2x4x=4,当且仅当x=4x,

8、x=2时等号成立.所以a4,所以实数a的最大值为4.16.解 (1)因为x0,y0,2x+8y-xy=0216xy-xy,所以有xy8,解得xy64.当且仅当2x=8y,x=4y时,等号成立.所以xy的最小值为64.(2)因为2x+8y-xy=0,所以有8x+2y=1.所以x+y=(x+y)8x+2y=8+2+8yx+2xy10+28yx2xy=18.当且仅当8yx=2xy,x=2y时,等号成立.所以x+y的最小值为18.17.解 (1)因为x0,所以y=x2+3x+42x=x2+2x+322x22x+32=72.当且仅当x2=2x,x=2时,等号成立.所以函数的最小值为72.(2)因为x0.

9、所以y=x2+2x-1=(1-t)2+2-t=-t2-2t+3t=-t+3t+22-23.当且仅当t=3t,t=1-x=3,即x=1-3时,等号成立.所以函数的最大值为2-23.18.C解析 因为实数a,b满足ab0,所以a2+4b2+1ab4ab+1ab24=4.当且仅当a2=4b2,且4ab=1ab,ab=12,即a=2b=1或a=2b=-1时取等号.故选C.19.18解析 由a+2b=1得1+1a2+1b=2+2a+1b+1ab=2+2a+4ba+a+2bb+(a+2b)2ab=10+8ba+2ab10+216=18.当且仅当8ba=2ab,a=2b=12时,等号成立.所以1+1a2+1

10、b的最小值为18.20.4,5解析 因为f(x)=log2x+2,x12,2,令f(x)=t1,3,所以g(x)=t+4t2t4t=4,当且仅当t=2时,等号成立,又y=t+4t在1,2上单调递减,在2,3上单调递增,所以ymax=5,所以函数g(x)的值域为4,5.21.3-224l2解析 设该直角三角形的两条直角边分别为a,b,则周长l=a+b+a2+b2.由a2+b22ab,a+b2ab得l=a+b+a2+b22ab+2ab=(2+2)ab,当且仅当a=b时,等号成立.所以abl2+2=(2-2)l2,即ab3-222l2,所以该直角三角形的面积S=12ab3-224l2,即面积的最大值

11、为3-224l2.此时该三角形为等腰直角三角形.22.证明 因为a+b+c=1,两边平方,展开有a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=1.因为当a,b,cR时,有a2+b22ab,b2+c22bc,c2+a22ca,所以有a2+b2+b2+c2+c2+a2=2a2+2b2+2c22ab+2bc+2ca=1-a2-b2-c2,所以3a2+3b2+3c21,即a2+b2+c213.当且仅当a=b=c时,等号成立.23.解 设污水处理池的长和宽分别为a和b,则中间两道隔墙的长也为b,且ab=200.根据条件可得,设总造价为y,则y=(2a+2b)400+2b248+80200=800a+1 29

12、6b+16 000.由800a+1 296b2800a1 296b=28002001 296=28 800.当且仅当800a=1 296b,即b=1009,a=18时,总造价最低,最低总造价为28 800+16 000=44 800(元).24.解 (1)当每套丛书的售价定为100元时,此时的销售量为15-10=5(万套).此时每套的供货价格为30+105=32(元).所以此时书商的总利润为5(100-32)=340(万元).(2)设每套丛书的售价定为x元,则此时的销售量为(15-0.1x)万套,则有x0,15-0.1x0,所以有0x150.此时出版社的供货价格(单位:元)为30+1015-0.1x,所以单套丛书的利润(单位:元)为P=x-30+1015-0.1x=x+100x-150-30.因为0x150,所以P=x+100x-150-30=-(150-x)+100150-x+120-2(150-x)100150-x+120=100.当且仅当150-x=100150-x,即x=140时,等号成立.所以当每套丛书的售价定为140元时,单套丛书的最大利润为100元.