2022年全国统一高考数学试卷新高考1卷含答案解析(定稿).doc
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1、2022年全国统一高考数学试卷(新高考)一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1若集合,则ABCD2若,则ABC1D23在中,点在边上,记,则ABCD4南水北调工程缓解了北方一些地区水资源短缺问题,其中一部分水蓄入某水库已知该水库水位为海拔时,相应水面的面积为;水位为海拔时,相应水面的面积为将该水库在这两个水位间的形状看作一个棱台,则该水库水位从海拔上升到时,增加的水量约为ABCD5从2至8的7个整数中随机取2个不同的数,则这2个数互质的概率为ABCD6记函数的最小正周期为若,且的图像关于点,中心对称,则A1BCD37设,则ABCD
2、8已知正四棱锥的侧棱长为,其各顶点都在同一球面上若该球的体积为,且,则该正四棱锥体积的取值范围是A,B,C,D,二、选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分。在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求。全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分。9已知正方体,则A直线与所成的角为 B直线与所成的角为C直线与平面所成的角为 D直线与平面所成的角为10已知函数,则A有两个极值点 B有三个零点C点是曲线的对称中心 D直线是曲线的切线11已知为坐标原点,点在抛物线上,过点的直线交于,两点,则A的准线为B直线与相切CD12已知函数及其导函数的定义域均为,记若,均为偶函数,则ABC(4)D(2)三
3、、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13的展开式中的系数为 (用数字作答)14写出与圆和都相切的一条直线的方程 15若曲线有两条过坐标原点的切线,则的取值范围是 16已知椭圆,的上顶点为,两个焦点为,离心率为过且垂直于的直线与交于,两点,则的周长是 四、解答题:本题共6小题,共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17(10分)记为数列的前项和,已知,是公差为的等差数列(1)求的通项公式;(2)证明:18(12分)记的内角,的对边分别为,已知(1)若,求;(2)求的最小值19(12分)如图,直三棱柱的体积为4,的面积为(1)求到平面的距离;(2)设为的中点,平面平面,求二面
4、角的正弦值20(12分)一医疗团队为研究某地的一种地方性疾病与当地居民的卫生习惯(卫生习惯分为良好和不够良好两类)的关系,在已患该疾病的病例中随机调查了100例(称为病例组),同时在未患该疾病的人群中随机调查了100人(称为对照组),得到如下数据:不够良好良好病例组4060对照组1090(1)能否有的把握认为患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯有差异?(2)从该地的人群中任选一人,表示事件“选到的人卫生习惯不够良好”, 表示事件“选到的人患有该疾病”, 与的比值是卫生习惯不够良好对患该疾病风险程度的一项度量指标,记该指标为()证明:;()利用该调查数据,给出,的估计值,并利用()的结果给出的
5、估计值附: 0.0500.0100.0013.8416.63510.82821(12分)已知点在双曲线上,直线交于,两点,直线,的斜率之和为0(1)求的斜率;(2)若,求的面积22(12分)已知函数和有相同的最小值(1)求;(2)证明:存在直线,其与两条曲线和共有三个不同的交点,并且从左到右的三个交点的横坐标成等差数列 2022年全国统一高考数学试卷(新高考)参考答案与试题解析一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1若集合,则ABCD【思路分析】分别求解不等式化简与,再由交集运算得答案【解析】由,得,由,得,故选:【试题评价】本题考
6、查交集及其运算,考查不等式的解法,是基础题2若,则ABC1D2【思路分析】把已知等式变形,利用复数代数形式的乘除运算化简,求出,再求出【解析】由,得,则,故选:【试题评价】本题考查复数代数形式的乘除运算,考查复数的基本概念,是基础题3在中,点在边上,记,则ABCD【思路分析】直接利用平面向量的线性运算可得,进而得解【解析】【解法一】(向量回路):如图,即故选:【解法二】(南京补解) (向量减法+方程):BD=2DA,解得=3n2m.【解法三】(补解) (特殊化建系):取C为直角,并以C为原点,CA、CB所在直线分别为x,y轴建立直角坐标系,设A(3a,0),B(0,3b),由BD=2DA知D为
7、靠近A的三等分点,从而D(2a,b),。【解法四】(补解) (待定系数):设,则,与条件=2()对比,得1x=y=2,解得x=3,y=2,故【试题评价】本题主要考查平面向量的线性运算,考查运算求解能力,属于基础题4南水北调工程缓解了北方一些地区水资源短缺问题,其中一部分水蓄入某水库已知该水库水位为海拔时,相应水面的面积为;水位为海拔时,相应水面的面积为将该水库在这两个水位间的形状看作一个棱台,则该水库水位从海拔上升到时,增加的水量约为ABCD【思路分析】先统一单位,再根据题意结合棱台的体积公式求解即可【解析】【解法一】(统一m),根据题意,增加的水量约为故选:【解法二】(补解) (统一km):
8、V棱台=(140+180+)(0.15750.1485)=0.03(320+60)1.437 km31.4109 m3。【试题评价】本题以实际问题为载体考查棱台的体积公式,考查运算求解能力,属于基础题5从2至8的7个整数中随机取2个不同的数,则这2个数互质的概率为ABCD【思路分析】先求出所有的基本事件数,再写出满足条件的基本事件数,用古典概型的概率公式计算即可得到答案【解析】【解法一】(枚举法)从2至8的7个整数中任取两个数共有种方式,其中互质的有:23,25,27,34,35,37,38,45,47,56,57,58,67,78,共14种,故所求概率为【解法二】(补解)(正难则反):从2至
9、8的7个整数中任取两个数共有种方式,其中不互质的有:2,4,6,8中任取2个和3,6这1个,计+1=7个,故所求概率为1。故选:【试题评价】本题考查古典概型的概率计算,考查运算求解能力,属于基础题6记函数的最小正周期为若,且的图像关于点,中心对称,则A1BCD3【思路分析】由周期范围求得的范围,由对称中心求解与值,可得函数解析式,则可求【解析】【解法一】(取值试验)函数的最小正周期为,则,由,得,的图像关于点,中心对称,且,则,取,可得,则故选:【解法二】(补解)(解不等式):仿法一得23及,kZ,则23,解得,又kZ,k=4,下同法一。【试题评价】本题考查型函数的图象与性质,考查逻辑思维能力
10、与运算求解能力,是中档题7设,则ABCD【思路分析】构造函数,利用导数性质求出,由此能求出结果【解析】【解法一】(构造法1)构造函数,则,当时,时,单调递减;时,单调递增,在处取最小值(1),;,;,而,故选:【解法二】(补解)(构造法2):先比较a与b。设F(x)=(1x)1,0x1,则(x)=x0,F(x)在0x1上减,故F(x)F(0)=1,即(1x)1,0x1,0x1,取x=0.1,=,0.1,即a1.1,a=0.10.11.设G(x)=2lnxx+,x1,则(x)=1上减,故G(x)G(1)=0,即2lnxx,取x=,得ln()=0.110.1=a,即ca,综上ca0得9x24, 由
11、0得245=,D正确;|OP|=,同理|OQ|=,故|OP|OQ|=2=.C正确。【试题评价】本题考查抛物线方程的求解,直线与抛物线位置关系的综合运用,同时还涉及了两点间的距离公式以及基本不等式的运用,考查运算求解能力,属于中档题12已知函数及其导函数的定义域均为,记若,均为偶函数,则ABC(4)D(2)【思路分析】由为偶函数,可得关于对称,可判断;为偶函数,可得,关于对称,可判断;由,关于对称,可得,得到是的极值点,也是极值点,从而判断;图象位置不确定,可上下移动,故函数值不确定,从而判断【解析】【解法一】(特殊值验证):为偶函数,可得,关于对称,令,可得,即(4),故正确;为偶函数,关于对
12、称,故不正确;关于对称,是函数的一个极值点,又关于对称,是函数的一个极值点,关于对称,是函数的一个极值点,故正确;图象位置不确定,可上下移动,即没一个自变量对应的函数值是确定值,故错误故选:【解法二】(补解) (导数推导):由f(),g(2+x)均为偶函数,得f()=f(), g(2+x)=g(2x),故f()=f(),两边同时求导得()=(),即g()=g(),g(x)关于直线x=2对称,且关于点(,0)对称,从而可得g(x)的周期为T=4(2)=2,由g()=g()可得g()=g(),即g()=0,g()= g(+2)= g()=0,B正确;g(1)= g(1+2)=g(1)=g()=g(
13、)=g(2),D不正确。由导函数与原函数的关系知函数f(x)的周期为2,关于直线x=对称,关于点(2,m)对称,若m=0,则f(0)=f(2)=0,若m0,f(0)=f(2)0,A错误;由f(x)关于直线x=对称,得f(1)=f()=f(+)=f(4),C正确。【解法三】(补解)(特殊函数):构造函数f(x)=sinx+2,则g(x)=cosx,适合题意条件,验证选项,A、D错误,B、C正确。【试题评价】本题考查函数的奇偶性,极值点与对称性,考查了转化思想和方程思想,属中档题三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13的展开式中的系数为 (用数字作答)【思路分析】由题意依次求出中,项的
14、系数,求和即可【解析】的通项公式为,当时,当时,的展开式中的系数为故答案为:【试题评价】本题考查二项式定理的应用,考查运算求解能力,是基础题14写出与圆和都相切的一条直线的方程 (填,都正确)【思路分析】由题意画出图形,可得两圆外切,由图可知,与两圆都相切的直线有三条分别求出三条切线方程,则答案可求【解析】【解法一】(特殊点对称法)圆的圆心坐标为,半径,圆的圆心坐标为,半径,如图:,两圆外切,由图可知,与两圆都相切的直线有三条,的斜率为,设直线,即,由,解得(负值舍去),则;由图可知,;与关于直线对称,联立,解得与的一个交点为,在上取一点,该点关于的对称点为,则,解得对称点为,则,即与圆和都相
15、切的一条直线的方程为:(填,都正确)故答案为:(填,都正确)【解法二】(补解)(转化过点的圆切线):显然两圆的圆心距为5=1+4,即两圆相外切,故两圆有三条公切线。设两圆的圆心分别为O,M,易得OM:3y=4x,与圆O方程联立解得x=,y=(只取第一象限),从而两圆的公切点为N(,),过N与OM垂直的直线方程为y=(x),即3x+4y5=0.此为过N的两圆的一条公切线。延长MO到P,使得4=,则P为另两条公切线的交点,且=(1, ),当切线的斜率不存在时,过P与圆O相切的直线为x+1=0,适合题意;当切线斜率存在时,设切线方程为y+=k(x+1),则由点到直线的距离公式得=1,解得k=,故切线
16、方程为y+=(x+1),即7x24y25=0.综上,两圆的三条公切线方程为:3x+4y5=0,x+1=0,7x24y25=0。【解法三】(硬算):当两圆的公切线斜率不存在时,设切线为x=m,则|m|=1且|m3|=4,解得m=1,故两圆的一条公切线为x=1;当两圆的公切线斜率存在时,设两圆的公切线为y=kx+b,则=1,且=4,联立解得或故两圆的公切线方程为y=x+,y=x。综上,两圆的三条公切线方程为:x=1,y=x+,y=x。【试题评价】本题考查圆的切线方程的求法,考查圆与圆位置关系的应用,考查运算求解能力,是中档题15若曲线有两条过坐标原点的切线,则的取值范围是 ,【思路分析】设切点坐标
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