第一章-向量代数课件.ppt
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- 第一章 向量 代数 课件
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1、解析几何n引言n第一章 向量代数n第二章 直线与平面n第三章 常见曲面n第四章 二次曲面与二次曲线n第五章 正交变换与仿射变换n第六章 平面射影几何简介n附录 矩阵和线性方程组简介 前前 言言 l解析几何是数学类各专业的重要基础课程,不仅数学、解析几何是数学类各专业的重要基础课程,不仅数学、物理学等的许多后继课程要以此为基础,更为重要的物理学等的许多后继课程要以此为基础,更为重要的是,它的思想方法和几何直观性可为许多抽象的、高是,它的思想方法和几何直观性可为许多抽象的、高维的数学物理维的数学物理问题提供模型和背景。问题提供模型和背景。返回 n 怎样读书,特别是主动提出问题,思考问题,理解和掌怎
2、样读书,特别是主动提出问题,思考问题,理解和掌握数学的思想方法握数学的思想方法。本教材的每一个章节中穿插了许多的思考题,这些思考本教材的每一个章节中穿插了许多的思考题,这些思考题直接与内容相关,但又是学生易忽视的问题,有些是题直接与内容相关,但又是学生易忽视的问题,有些是开放性的,想以此来培养学生良好的读书习惯,学会主开放性的,想以此来培养学生良好的读书习惯,学会主动思考;动思考;教材教学内容的编排符合人们的思维习惯,按照从点到教材教学内容的编排符合人们的思维习惯,按照从点到线,到面,再讨论其关系的思路,从简单到复杂,循序线,到面,再讨论其关系的思路,从简单到复杂,循序渐近,使大家的思维有一个
3、自然的升华过程,以培养大渐近,使大家的思维有一个自然的升华过程,以培养大家探索未知的数学素养;家探索未知的数学素养;教材试图突出各章节的主要数学思想,立足为大家建立一教材试图突出各章节的主要数学思想,立足为大家建立一个整体框架,并努力阐述几何与代数的关系,用代数的手个整体框架,并努力阐述几何与代数的关系,用代数的手段解决几何的问题,而省略去许多繁琐的运算,其中部分段解决几何的问题,而省略去许多繁琐的运算,其中部分留给留给大家动手解决;大家动手解决;教材更多地注重与后继课程密切相关的二次曲面阐述,而教材更多地注重与后继课程密切相关的二次曲面阐述,而对二次曲线的讨论则因为思对二次曲线的讨论则因为思
4、想方法相同而简略。想方法相同而简略。实事求是地讲,新生刚进校后,学习习惯上需要一个调整实事求是地讲,新生刚进校后,学习习惯上需要一个调整期,并不能适应我们按此思路的讲法,但我们还是坚持这期,并不能适应我们按此思路的讲法,但我们还是坚持这样,只样,只希望通过我们的努力,让学生在后继的课程学习中希望通过我们的努力,让学生在后继的课程学习中学得主动,愉快。学得主动,愉快。n内容提要:主要内容包括向量代数,空间直线和平面,常见曲面,主要内容包括向量代数,空间直线和平面,常见曲面,二次曲面和二次曲线,正交变换和仿射变换,射影平面二次曲面和二次曲线,正交变换和仿射变换,射影平面简介。简介。本教材力求为大家
5、提供一个整体的数学框架,注重数学本教材力求为大家提供一个整体的数学框架,注重数学思想方法的传输,努力调动大家主动思考、解决问题的思想方法的传输,努力调动大家主动思考、解决问题的积极性,积极性,在内容编排上由浅入深,从点到线、到面,循在内容编排上由浅入深,从点到线、到面,循序渐近。序渐近。解析几何是利用代数方法来研究几何图形性质一门学科。解析几何是利用代数方法来研究几何图形性质一门学科。包括平面解析几何和空间解析几何两部分。通过在几何空包括平面解析几何和空间解析几何两部分。通过在几何空间中建立坐标系,就可将空间中的点用坐标表出,从而图间中建立坐标系,就可将空间中的点用坐标表出,从而图形的几何性质
6、可以表为图形上点的坐标之间的关系,特别形的几何性质可以表为图形上点的坐标之间的关系,特别是代数关系。是代数关系。17世纪初,法国数学家笛卡儿世纪初,法国数学家笛卡儿(Descartes,R)和费尔马和费尔马(Fermat,P.de)利用这种关系研究几何图形,创立了解)利用这种关系研究几何图形,创立了解析几何。从此变量被引进了数学,成为数学发展中的转折析几何。从此变量被引进了数学,成为数学发展中的转折点,为微积分的出现创造了条件。点,为微积分的出现创造了条件。n我们从物理学中知道,力、速度及加速度等这些量既有我们从物理学中知道,力、速度及加速度等这些量既有大小,又有方向,它们可以用三维欧氏空间中
7、的有向线大小,又有方向,它们可以用三维欧氏空间中的有向线段来表示,并且可以平行移动,力(速度)的合成可以段来表示,并且可以平行移动,力(速度)的合成可以通过有向线段的平移和平行四边形法则来进行。通过有向线段的平移和平行四边形法则来进行。n我们将它们的共性抽取出来而得到向量的概念及向量的我们将它们的共性抽取出来而得到向量的概念及向量的加法运算法则。加法运算法则。n进一步研究向量的其它运算:数与向量的乘法,从力的进一步研究向量的其它运算:数与向量的乘法,从力的做功抽象出向量的内积,由力矩引出向量的外积,从平做功抽象出向量的内积,由力矩引出向量的外积,从平行六面体的体积引进向量的混合积,从而形成向量
8、代数,行六面体的体积引进向量的混合积,从而形成向量代数,使向量成为广泛应用的基本工具之一。使向量成为广泛应用的基本工具之一。第一节第一节 向量及其线性运算向量及其线性运算第二节第二节 标架与坐标标架与坐标第三节第三节 向量的内积向量的内积第四节第四节 向量的外积向量的外积第五节第五节 向量的混合积向量的混合积返回返回 既有大小又有方向的量称为既有大小又有方向的量称为向量向量(或(或矢量矢量)。)。我们用符号我们用符号 表示。表示。,a b c 1 向量及其线性运算向量及其线性运算 1.向量的概念向量的概念 一个向量一个向量 可以用有向线段可以用有向线段 表示,作图表示,作图时都用有向线段。时都
9、用有向线段。设有向线段设有向线段 表示向量表示向量 ,则有向线段,则有向线段的长度的长度 称为向量称为向量 的的长度长度或或模模。记为。记为 。有向线段从起点到终点的指向称为有向线段从起点到终点的指向称为向量的方向量的方向向。(如图(如图1.1)我们将代数运算引到向量中去,来研究图形我们将代数运算引到向量中去,来研究图形性质。这种方法具有直观性,更容易理解图形性质。这种方法具有直观性,更容易理解图形性质的几何意义,并且它在物理学等中有重要性质的几何意义,并且它在物理学等中有重要的应用。此外向量的概念及其运算也为线性代的应用。此外向量的概念及其运算也为线性代数中深入理解向量空间提供了直观的几何背
10、景。数中深入理解向量空间提供了直观的几何背景。a|a|AB AB AB aaAB 图图1.1 图图1.2 如果一个向量能够由另一个向量经平行移动如果一个向量能够由另一个向量经平行移动得到得到,则称这两个向量则称这两个向量相等相等(图(图1.2)。当用)。当用有向线段有向线段 表示向量表示向量 时,方便起见,记时,方便起见,记为为 。ABabaabaABABa 这样定义的向量就表示只要两个有向线段这样定义的向量就表示只要两个有向线段有相等的长度和相同的方向就可表示同一个向有相等的长度和相同的方向就可表示同一个向量,与有向线段的起点无关。或者说,向量是量,与有向线段的起点无关。或者说,向量是自由的
11、或可以平行移动(保持长度和方向不自由的或可以平行移动(保持长度和方向不变)的有向线段。变)的有向线段。长度为零的向量称为长度为零的向量称为零向量零向量,记为,记为0。长度为长度为1的向量称为的向量称为单位向量单位向量。两向量称为两向量称为同向的同向的(反向的反向的),是指从同一起点引等),是指从同一起点引等于它们的有向线段时在同一条直线上,且它们的终点分于它们的有向线段时在同一条直线上,且它们的终点分布在这起点的同一侧(两侧)。与布在这起点的同一侧(两侧)。与 同向的单位向量同向的单位向量记为记为 。与与 长度相等但反向的向量称为长度相等但反向的向量称为 的的反向量反向量,记为,记为 。思考题
12、思考题:平面中具有同一始点的所有单位向量的终点:平面中具有同一始点的所有单位向量的终点的几何轨迹是什么图形?的几何轨迹是什么图形?0 aa 0aaa 2.向量的加法向量的加法 回忆物理学中力、速度、位移的合成法。回忆物理学中力、速度、位移的合成法。定义定义1.1 对于向量对于向量 ,作有向线段作有向线段 把把 表示的向量表示的向量 称为称为 与与 的的和和,记为记为 (图(图1.3),即),即由此公式表示的向量加法规则称为由此公式表示的向量加法规则称为“三角形法则三角形法则”。图图1.3bBCaAB ,ba,bac ACBCAB cabABCcabACab 注注:从同一始点作:从同一始点作 ,
13、再以,再以OA和和OB为为边作平行四边形边作平行四边形OACB,则对角线,则对角线 也表示向量也表示向量 与与 的和的和(图(图1.4),这称为向量的),这称为向量的“平行四边形法则平行四边形法则”。向量的加法满足以下规律:向量的加法满足以下规律:(1)交换律交换律:(2)结合律结合律:(3)(4)图图1.4其中其中,为任意向量。这些规律可由加法运算的定义为任意向量。这些规律可由加法运算的定义直接得出,请读者自己证明。直接得出,请读者自己证明。;abba ()();abcabc ()0aa ;0aa cba,bOBaOA ,OCabACOcabB 作为加法的逆运算,减法定义如下作为加法的逆运算
14、,减法定义如下:定义定义1.2 向量的减法向量的减法 。减法的几何意义如图减法的几何意义如图1.5,即即 。图图1.5由向量加法的三角形法则容易得到如下的三角不等式由向量加法的三角形法则容易得到如下的三角不等式其中,其中,、为任意向量。它的几何意义是,三角形两为任意向量。它的几何意义是,三角形两边之和大于第三边。这个不等式可以推广到任意有限边之和大于第三边。这个不等式可以推广到任意有限多个向量和的情形:多个向量和的情形:)(baba BAOBOA|baba .|lbalba BAOabba ab 3.数量与向量的乘法数量与向量的乘法 定义定义1.3 实数实数 与向量与向量 的乘积的乘积 是一个
15、向量,它是一个向量,它的长度为的长度为 ,它的方向当,它的方向当 时与时与 相同,相同,当当 时与时与 相反。当相反。当 时,则时,则 。设设 ,因为,因为 与与 同向,且同向,且所以所以 ,这称为把,这称为把 单位化单位化。aa|aa 0 a00 a或或 0 a0 a 0 aaa1|aaaa1|a1|11 aaaa 对于任意的向量对于任意的向量 、和任意实数和任意实数 ,数量与向,数量与向量的乘法满足以下量的乘法满足以下规律规律 (1)可以用定义)可以用定义1.3直接验证。直接验证。(2)的证明:若)的证明:若 或或 中有一个为零时,则中有一个为零时,则(2)显然成立。下面设)显然成立。下面
16、设 。;)()()1(aa 0 a ,0,0 a b ,a;)()2(aaa .)()3(baba 情形情形1 若若 ,则,则 与与 同向,且同向,且 与与 同向,因此有同向,因此有又有又有 因此因此 故故 0 a a a)(aa|,|)|(|aaaaa|,|)(|aaa|,|)|(|)(|aaa .)(aaa 情形情形2 若若 ,不妨设,不妨设 。1 若若 ,则则 而而(2)成立。)成立。2 若若 ,则由情形则由情形1知知即得即得 ,从而有从而有 3 若若 ,则由情形则由情形1知知类似于类似于2可得(可得(2)式。)式。0 0,0 0 ,0)(a aaaa)(0 aaa)()()()()()
17、(aaa .)(aaa 0 aaa)()()()(.0)()()(1()(aaaa )()(aa (3)的证明)的证明 若若 或者或者 中有一个为中有一个为0,则(,则(3)显然成立。下面设显然成立。下面设 。情形情形1 若若 平行,则由定义平行,则由定义1.3后面的思考题结论后面的思考题结论知存在实数知存在实数 使使 ,于是,于是0 ba,0,0,0 ba ba与与 ab )1()()(aaaba aa)1()().aaaaab 情形情形2 若若 不平行,那么当不平行,那么当 时,如图时,如图1.6作作 ,于是,于是 则则 ,从而,从而D必在直线必在直线OB上,于是上,于是 ,又,又 。故有
18、故有当当 时,可作类似的讨论。时,可作类似的讨论。ba与与0 aABaOA ,bCDaOCbaOB 作作OAB OCD.)(baba 0 ABCDOba aba b baOD )(baOD 图图1.6ba 4.共线、共面的向量组共线、共面的向量组 向量的加法和数量与向量乘法统称为向量的向量的加法和数量与向量乘法统称为向量的线性运线性运算算。设设 是一组向量,是一组向量,是一组实数,则是一组实数,则 是一个向量,称它为向量组是一个向量,称它为向量组 的一个的一个线性组合线性组合。定义定义1.4 平行于同一直线(平面)的向量组称为平行于同一直线(平面)的向量组称为共共线线的(的(共面共面的)向量组
19、。的)向量组。零向量与任意向量共线;共线的向量组一定共面;零向量与任意向量共线;共线的向量组一定共面;若若 或或 ,则,则 共线。共线。),2,1(niai),2,1(niki niiiak1ba ab ba与与),2,1(niai 定义定义1.5 若对于向量组若对于向量组 ,存在不全为,存在不全为0的实数的实数 ,使,使则称向量组则称向量组 线性相关线性相关,否则称向量组,否则称向量组线线性无关性无关。思考题思考题:对照此定义,采用陈述的方式,写出向量:对照此定义,采用陈述的方式,写出向量组线性无关的定义。组线性无关的定义。(1,2,)ia in),2,1(niki niiiak1,0),2
20、,1(niai 命题命题1.1 两个向量两个向量 共线的充要条件是共线的充要条件是 线性相关。线性相关。证明证明 必要性必要性.若若 中有一个为零向量,不妨设中有一个为零向量,不妨设 ,则对实数则对实数 有有因而因而 线性相关。线性相关。若若 都不为都不为0,且同向,则,且同向,则 从而有从而有令令 则有则有故故 线性相关。若线性相关。若 反向,可作类似的讨论。反向,可作类似的讨论。ba,ba,0a ba,000121 bbkak,0,121 kk.)|(|)|(|11aabaababbbb .1,|211 kabk.021 bkakba,ba ba,ba,ba,充分性。充分性。设存在不全为设
21、存在不全为0的实数的实数 使使 不妨设不妨设 则有则有 ,故,故 共线。共线。思考题思考题:请考虑两向量线性无关的充要条件及其几何:请考虑两向量线性无关的充要条件及其几何特征。特征。推论推论1.1 若若 共线且共线且 ,则存在唯一的实数,则存在唯一的实数使得使得 。命题命题1.2 三向量三向量 共面(不共面)的充要条件是共面(不共面)的充要条件是 线性相关(线性无关)。线性相关(线性无关)。此命题的证明留作习题。此命题的证明留作习题。思考题思考题:在平面和空间中各画出一线性相关和线性无:在平面和空间中各画出一线性相关和线性无关的向量组。关的向量组。21,kk.021 bkak,01 kba,b
22、kka)(211 ab cba,0 a ba,cba,定理定理1.1 设设 不共线,则不共线,则 与与 共面的充要条件共面的充要条件是存在唯一的一对实数是存在唯一的一对实数 使得使得 证明证明 必要性必要性。由。由 与与 共面及命题共面及命题1.2知,存在不知,存在不全为全为0的实数的实数 使使 我们断定我们断定 。否则有不全为。否则有不全为0的实数的实数 使得使得 这与这与 不共线矛盾。不共线矛盾。,.bac 321,kkk.0321 ckbkak03 k21,kk.021 bkakba,cba,cba,ba,因而我们得到因而我们得到 令令 那么那么假如另有假如另有 使使 则则 因为因为 不
23、共线,所以必有不共线,所以必有于是于是 。唯一性得证。唯一性得证。充分性是显然的。充分性是显然的。,)()(213113bkkakkc ,213113kkkk .bac ,bac )()(0babacc .)()(ba ba,0,0 ,定理定理1.2 设设 不共面,则对空间中任一向量不共面,则对空间中任一向量 均存在唯一的数组(均存在唯一的数组(),使得),使得证明证明 如图如图1.7,取一点取一点O,作作 过过D作一直线与作一直线与OC平行,且与平行,且与OA和和OB决定的平面交于决定的平面交于M。过。过M作一直线与作一直线与OB平行,且与平行,且与OA交于交于N。因为因为所以分别存在实数所
24、以分别存在实数 使得使得从而从而 cba,d ,.cbad dODcOCbOBaOA ,/,/,/cMDbNMaON ,.,cMDbNMaON MDNMONODd .cba abcABMCDOdN图图1.7 唯一性唯一性.若若则得则得因为因为 不共面不共面,所以所以 例例1.1 设设A,B是不同的两点是不同的两点,则点则点P在直线在直线AB上的充要上的充要条件是存在唯一的一对实数条件是存在唯一的一对实数 ,使得使得 (*)其中其中,O是任意取定的一点是任意取定的一点.而而P在线段在线段AB上的充要条件是上的充要条件是 且且(*)成立成立.,1,OBOAOP0,0 111,ODabcabc .0
25、)()()(111 cba .,111 cba,证明证明 必要性必要性.设设P在直线在直线AB上上,则则 共线共线,且且 由推论由推论1.1,存在唯一的,存在唯一的k使使任取一点任取一点O(如图如图1.8),由上式得由上式得即有即有令令 因而因而 且且 由由k的唯一性知的唯一性知 是唯一的是唯一的.,.0 AB.ABkAP ).(OAOBkOAOP .)1(OBkOAkOP ,1 ,1kk .OBOAOP ABAP与与OABP图图1.8 充分性充分性.若对某一点若对某一点O,(*)式成立式成立,则则因而因而 共线共线,所以所以P在直线在直线AB上上.对于后半部分对于后半部分,由于由于P在线段在
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