第一章典型例题课件.ppt
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- 第一章 典型 例题 课件
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1、2022-8-512022-8-52教材及指导书 一、教材:一、教材:梁昆淼编,梁昆淼编,数学物理方法数学物理方法,第四版,高等教育出,第四版,高等教育出版社,版社,20102010年年1 1月月 二、主要的参考书:二、主要的参考书:吴崇试吴崇试 编著,编著,数学物理方法数学物理方法,第二版,第二版,北京大北京大学出版社,学出版社,20032003年年1212月月成绩测定:作业30%上课出席参与10%考试60%联系方式:2022-8-53主要内容:1 复变函数复变函数 2 2 复变函数的积分复变函数的积分 3 3 幂级数展开幂级数展开 4 4 留数定理留数定理 5 5 傅立叶变换傅立叶变换 6
2、 6 拉普拉斯变换拉普拉斯变换参考书:参考书:Lars V.Ahlfors 著,赵志勇等译,著,赵志勇等译,复分复分析析 机械工业出版社,机械工业出版社,2005。2022-8-542022-8-55例例1 1 求出求出 的值的值.2)2(解解)2ln(22)2(e )2(2ln2 kie)12(2sin)12(2cos2ln2 kike),2,1,0(k注:本例关键在于点在第二象限。注:本例关键在于点在第二象限。Arg(z)=(2k+1)2022-8-56解解例例2 2 试求试求 函数值及其主值函数值及其主值:ii 1)1()1ln()1(1)1(iiiei kiie242ln)1(ln22
3、2ln244kike 2ln4sin2ln4cos224iek),2,1,0(k令令 得主值得主值:0 k.2ln4sin2ln4cos2)1(4)1(ieiiln222ln244kike2022-8-57例例3 3 证明证明;2sin21sin2sin)sin(0 nkyynynxkyx;2sin21sin2cos)cos(0 nkyynynxkyx证证,)cos(0 nkkyxA令令,)sin(0 nkkyxB.02sin y其中其中2022-8-58 nkkyxie0)(nkikyixee0iyyniixeee 11)1(2sin21sin2yyneeyniix .2sin21sin2s
4、in2cosyynynxiynx 实部与实部对应相等实部与实部对应相等,虚部与虚部对应相等虚部与虚部对应相等,命题得证命题得证.nknkkyxikyxiBA00)sin()cos(则则2022-8-59例例4 4证证,)(,ivuzfiyxz 令令,),(2222yxyxyxu 则则,2),(22yxxyyxv 22002lim),(limyxxyyxvkxyxkxyx ,122kk .0)0()(限不存在限不存在时的极时的极当当证明函数证明函数 zzzzzf ,趋于零时趋于零时沿直线沿直线当当kxyz 根据定理一可知根据定理一可知,值的变化而变化值的变化而变化随随 k ,),(lim 00不
5、存在不存在所以所以yxvyyxx .)(lim0不存在不存在zfz2022-8-510例例 求求 以及它们相应的主值以及它们相应的主值.解解 因为因为 ,所以它的主值就是所以它的主值就是ln2.(k为整数为整数),所所以它的主值是以它的主值是ln(-1)=i.在实变函数中在实变函数中,负数无对数负数无对数,此例说明在复数范此例说明在复数范围内不再成立围内不再成立.而且正实数的对数也是无穷多值的而且正实数的对数也是无穷多值的.ln2ln22k i ln1ln1Arg(1)21iki ln2,ln12022-8-511例例6 6 研究函数研究函数f(z)=z2,g(z)=x+2yi和和h(z)=|
6、z|2的解析性的解析性.解解 由解析函数的定义可知由解析函数的定义可知,f(z)=z2在复平面内是解析的在复平面内是解析的,而而g(z)=x+2yi却处处不解析却处处不解析.下面研究下面研究h(z)=|z|2的解析性的解析性.由于由于22000000000()()|()()h zzh zzzzzzzz zzz zzzzzzz 易见易见,如果如果z0=0,则当则当 z0时时,上式的极限是零上式的极限是零.如果如果z0 0,令令z0+z沿直线沿直线 y-y0=k(x-x0)趋于趋于z0,由于由于k的任意性的任意性,2022-8-512所以所以,当当 x0时时,比值比值00()()h zzh zz
7、的极限不存在的极限不存在.因此因此,h(z)=|z|2仅在仅在z=0处可导处可导,而在其他点都不可而在其他点都不可导导.由定义由定义,它在复平面内处处不解析它在复平面内处处不解析.1111yizxyikixyzxyikiix 不趋于一个确定的值不趋于一个确定的值.2022-8-513例例7 7 研究函数研究函数 的解析性的解析性.1/wz解解 因为因为w在复平面内除点在复平面内除点z=0外处处可导外处处可导,且且21,dwdzz 所以在除所以在除z=0外的复平面内外的复平面内,函数函数1wz处处解析处处解析,而而z=0是它的奇点是它的奇点.2022-8-514例例8 8 设函数设函数f(z)=
8、x2+axy+by2+i(cx2+dxy+y2).问常数问常数a,b,c,d取何值时取何值时,f(z)在复平面内处处解析在复平面内处处解析?解解 由于由于 ux=2x+ay,uy=ax+2by,vx=2cx+dy,vy=dx+2y从而要使从而要使ux=vy,uy=-vx,只需只需2x+ay=dx+2y,2cx+dy=-ax-2by.因此因此,当当a=2,b=-1,c=-1,d=2时时,此函数在复平面内处处此函数在复平面内处处解析解析,这时这时 f(z)=x2+2xy-y2+i(-x2+2xy+y2)=(1-i)(x+iy)2=(1-i)z22022-8-515例例9 9 如果如果f(z)在区域
9、在区域B处处为零处处为零,则则f(z)在在B内为一常数内为一常数.证证 因为因为00)(yvxvyuxuyuiyvxvixuzf故 所以所以u=常数常数,v=常数常数,因而因而f(z)在在B内是常数内是常数.2022-8-516证证zfzfz)0()(lim0 iyxiyxyx 330),(lim0)(lim220),(yxyixyx.)(33仅在原点有导数仅在原点有导数证明函数证明函数iyxzf 例例1010.在在再证其他处的导数不存再证其他处的导数不存.00)(处的导数为处的导数为在在故故 zzf2022-8-517)()()()(0030303300iyxiyxiyxiyxzzzfzf
10、030300)()(xxxxzzzfzf 则则沿路径沿路径若若,0yyz 则则沿路径沿路径若若,0 xxz.)(,000的导数不存在的导数不存在否则否则故除非故除非zfyx )(3)()()(020030300yyyyyiiyiyzzzfzf 当当)(3020 xxx当当2022-8-518例例1111 函数函数 在何处在何处可导,何处解析可导,何处解析.)2()()(222yxyixyxzf 解解,),(22xyxyxu ;2,12yuxuyx ,2),(2yxyyxv ;22,2yxvyvyx .,xyyxvuvu 故故 仅在直线仅在直线 上可导上可导.)(zf21 y故故 在复平面上处处
11、不解析在复平面上处处不解析.)(zf时时,当且仅当当且仅当21 y,21)(,不解析不解析上处处上处处在直线在直线由解析函数的定义知由解析函数的定义知 yzf2022-8-519例例1212 设设 为解析函数,求为解析函数,求 的值的值.)(2323cxyxiybxay cba,解解 设设ivucxyxiybxayzf )()()(2323故故2323,cxyxvybxayu ,2bxyxu ,2cxyyv ,322cyxxv ,322bxayyu 由于由于 解析,所以解析,所以)(zfxvyuyvxu ,即即,22cbcxybxy 3,3332222 bcacyxbxay故故.3,3,1 c
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