第一章典型例题课件.ppt

1、2022-8-512022-8-52教材及指导书 一、教材：一、教材：梁昆淼编，梁昆淼编，数学物理方法数学物理方法，第四版，高等教育出，第四版，高等教育出版社，版社，20102010年年1 1月月 二、主要的参考书：二、主要的参考书：吴崇试吴崇试 编著，编著，数学物理方法数学物理方法，第二版，第二版，北京大北京大学出版社，学出版社，20032003年年1212月月成绩测定：作业30%上课出席参与10%考试60%联系方式：2022-8-53主要内容:1 复变函数复变函数 2 2 复变函数的积分复变函数的积分 3 3 幂级数展开幂级数展开 4 4 留数定理留数定理 5 5 傅立叶变换傅立叶变换 6

2、 6 拉普拉斯变换拉普拉斯变换参考书：参考书：Lars V.Ahlfors 著，赵志勇等译，著，赵志勇等译，复分复分析析 机械工业出版社，机械工业出版社，2005。2022-8-542022-8-55例例1 1 求出求出 的值的值.2)2(解解)2ln(22)2(e )2(2ln2 kie)12(2sin)12(2cos2ln2 kike),2,1,0(k注：本例关键在于点在第二象限。注：本例关键在于点在第二象限。Arg(z)=(2k+1)2022-8-56解解例例2 2 试求试求 函数值及其主值函数值及其主值:ii 1)1()1ln()1(1)1(iiiei kiie242ln)1(ln22

3、2ln244kike 2ln4sin2ln4cos224iek),2,1,0(k令令 得主值得主值:0 k.2ln4sin2ln4cos2)1(4)1(ieiiln222ln244kike2022-8-57例例3 3 证明证明;2sin21sin2sin)sin(0 nkyynynxkyx;2sin21sin2cos)cos(0 nkyynynxkyx证证,)cos(0 nkkyxA令令,)sin(0 nkkyxB.02sin y其中其中2022-8-58 nkkyxie0)(nkikyixee0iyyniixeee 11)1(2sin21sin2yyneeyniix .2sin21sin2s

4、in2cosyynynxiynx 实部与实部对应相等实部与实部对应相等,虚部与虚部对应相等虚部与虚部对应相等,命题得证命题得证.nknkkyxikyxiBA00)sin()cos(则则2022-8-59例例4 4证证,)(,ivuzfiyxz 令令,),(2222yxyxyxu 则则,2),(22yxxyyxv 22002lim),(limyxxyyxvkxyxkxyx ,122kk .0)0()(限不存在限不存在时的极时的极当当证明函数证明函数 zzzzzf ,趋于零时趋于零时沿直线沿直线当当kxyz 根据定理一可知根据定理一可知,值的变化而变化值的变化而变化随随 k ,),(lim 00不

5、存在不存在所以所以yxvyyxx .)(lim0不存在不存在zfz2022-8-510例例 求求 以及它们相应的主值以及它们相应的主值.解解 因为因为 ,所以它的主值就是所以它的主值就是ln2.(k为整数为整数),所所以它的主值是以它的主值是ln(-1)=i.在实变函数中在实变函数中,负数无对数负数无对数,此例说明在复数范此例说明在复数范围内不再成立围内不再成立.而且正实数的对数也是无穷多值的而且正实数的对数也是无穷多值的.ln2ln22k i ln1ln1Arg(1)21iki ln2,ln12022-8-511例例6 6 研究函数研究函数f(z)=z2,g(z)=x+2yi和和h(z)=|

6、z|2的解析性的解析性.解解 由解析函数的定义可知由解析函数的定义可知,f(z)=z2在复平面内是解析的在复平面内是解析的,而而g(z)=x+2yi却处处不解析却处处不解析.下面研究下面研究h(z)=|z|2的解析性的解析性.由于由于22000000000()()|()()h zzh zzzzzzzz zzz zzzzzzz 易见易见,如果如果z0=0,则当则当 z0时时,上式的极限是零上式的极限是零.如果如果z0 0,令令z0+z沿直线沿直线 y-y0=k(x-x0)趋于趋于z0,由于由于k的任意性的任意性,2022-8-512所以所以,当当 x0时时,比值比值00()()h zzh zz

7、的极限不存在的极限不存在.因此因此,h(z)=|z|2仅在仅在z=0处可导处可导,而在其他点都不可而在其他点都不可导导.由定义由定义,它在复平面内处处不解析它在复平面内处处不解析.1111yizxyikixyzxyikiix 不趋于一个确定的值不趋于一个确定的值.2022-8-513例例7 7 研究函数研究函数 的解析性的解析性.1/wz解解 因为因为w在复平面内除点在复平面内除点z=0外处处可导外处处可导,且且21,dwdzz 所以在除所以在除z=0外的复平面内外的复平面内,函数函数1wz处处解析处处解析,而而z=0是它的奇点是它的奇点.2022-8-514例例8 8 设函数设函数f(z)=

8、x2+axy+by2+i(cx2+dxy+y2).问常数问常数a,b,c,d取何值时取何值时,f(z)在复平面内处处解析在复平面内处处解析?解解 由于由于 ux=2x+ay,uy=ax+2by,vx=2cx+dy,vy=dx+2y从而要使从而要使ux=vy,uy=-vx,只需只需2x+ay=dx+2y,2cx+dy=-ax-2by.因此因此,当当a=2,b=-1,c=-1,d=2时时,此函数在复平面内处处此函数在复平面内处处解析解析,这时这时 f(z)=x2+2xy-y2+i(-x2+2xy+y2)=(1-i)(x+iy)2=(1-i)z22022-8-515例例9 9 如果如果f(z)在区域

9、在区域B处处为零处处为零,则则f(z)在在B内为一常数内为一常数.证证 因为因为00)(yvxvyuxuyuiyvxvixuzf故 所以所以u=常数常数,v=常数常数,因而因而f(z)在在B内是常数内是常数.2022-8-516证证zfzfz)0()(lim0 iyxiyxyx 330),(lim0)(lim220),(yxyixyx.)(33仅在原点有导数仅在原点有导数证明函数证明函数iyxzf 例例1010.在在再证其他处的导数不存再证其他处的导数不存.00)(处的导数为处的导数为在在故故 zzf2022-8-517)()()()(0030303300iyxiyxiyxiyxzzzfzf

10、030300)()(xxxxzzzfzf 则则沿路径沿路径若若,0yyz 则则沿路径沿路径若若,0 xxz.)(,000的导数不存在的导数不存在否则否则故除非故除非zfyx )(3)()()(020030300yyyyyiiyiyzzzfzf 当当)(3020 xxx当当2022-8-518例例1111 函数函数 在何处在何处可导，何处解析可导，何处解析.)2()()(222yxyixyxzf 解解,),(22xyxyxu ;2,12yuxuyx ,2),(2yxyyxv ;22,2yxvyvyx .,xyyxvuvu 故故 仅在直线仅在直线 上可导上可导.)(zf21 y故故 在复平面上处处

11、不解析在复平面上处处不解析.)(zf时时，当且仅当当且仅当21 y,21)(,不解析不解析上处处上处处在直线在直线由解析函数的定义知由解析函数的定义知 yzf2022-8-519例例1212 设设 为解析函数，求为解析函数，求 的值的值.)(2323cxyxiybxay cba,解解 设设ivucxyxiybxayzf )()()(2323故故2323,cxyxvybxayu ,2bxyxu ,2cxyyv ,322cyxxv ,322bxayyu 由于由于 解析，所以解析，所以)(zfxvyuyvxu ,即即,22cbcxybxy 3,3332222 bcacyxbxay故故.3,3,1 c

12、ba2022-8-520例例1313 讨论函数讨论函数 在原点的可导性在原点的可导性.0,00,)(21zzezfz01lim0)0()(lim)0(2100 xexzfzffxz 211lim0)0()(lim00yeyizfzfyz,0)0()(lim0 zfzfz故故 在原点不可导在原点不可导.)(zf解解当当 沿正虚轴沿正虚轴 趋于趋于0时，有时，有iyz z,0时时趋于趋于函数沿函数沿xz 2022-8-521 设设 为为 平面上任意一定点平面上任意一定点,000iyxz z0000)Re(1)()(zzzzzzzfzf 当点当点 沿直线沿直线 趋于趋于 时时,有有z)(0 xiyx

13、z0z00001)()(xxxxzzzfzf 2 解解例例1414 研究研究 的可导性的可导性.zzzfRe)()(01)()(000yyizzzfzf ,1 当点当点 沿直线沿直线 趋于趋于 时时,有有z)(0 yiyxz0z的任意性知的任意性知处不可导且由处不可导且由在在故故00)(zzzf.)(处处不可导处处不可导zf2022-8-522例例15 证证,)(xyzf 因为因为0,vxyu所以所以0)0,0()0,(lim)0,0(0 xuxuuxx),0,0(yv 0)0,0(),0(lim)0,0(0 yuyuuyy),0,0(xv 0 0 .0 成立成立柯西黎曼方程在点柯西黎曼方程在

14、点 z.0 0 )(不可导不可导西黎曼方程但在点西黎曼方程但在点满足柯满足柯在点在点证明函数证明函数 zzxyzf2022-8-523 ,趋于零时趋于零时沿第一象限内的射线沿第一象限内的射线但当但当kxyz 0)0()(zfzf iyxxy ,1ikk ,变化变化随随 k ,0)0()(lim 0不存在不存在故故 zfzfz .0 )(不可导不可导在点在点函数函数 zxyzf2022-8-524例例16解解)1(,2yuuyvxu )2(,2xuuxvyu (1)(2)得得代入代入将将,0 xu,0)14(2 uxu0)14(2 u由由.)(,),(),()(2zfuvDyxivyxuzf求求

15、并且并且析析内解内解在区域在区域设设 ,0 (2)yu得得由由 ),(常数常数所以所以cu ).()(2常数常数于是于是icczf ugradu(x,y)=i+xuj=0y2022-8-525例例1717证证 )(zf因为因为,01 yuiyv ,不全为零不全为零与与所以所以yuyv ,都不为零都不为零与与如果在曲线的交点处如果在曲线的交点处yuyv 根据根据隐函数求导法则隐函数求导法则,.,),(),(0,)(,)(2121为常数为常数其中其中必相互正交必相互正交与与那末曲线族那末曲线族且且为一解析函数为一解析函数设设cccyxvcyxuzfivuzf 2022-8-526线的斜率分别为线的

16、斜率分别为中任一条曲中任一条曲与与曲线族曲线族 ),(),(21cyxvcyxu ,21yxyxvvkuuk 根据柯西黎曼方程得根据柯西黎曼方程得 yxyxvvuukk21,1 yyyyvuuv .),(),(21相互正交相互正交与与故曲线族故曲线族cyxvcyxu .,它们仍然相互正交它们仍然相互正交一条是铅直的一条是铅直的另另的切线一条是水平的的切线一条是水平的两族中的曲线在交点处两族中的曲线在交点处则另一个必不为零则另一个必不为零中有一个为零中有一个为零和和如果如果yyvu2022-8-527例例18证证,2)(xyzf 因为因为0,2 vxyu所以所以0)0,0()0,(lim)0,0

17、(0 xuxuuxx),0,0(yv 0)0,0(),0(lim)0,0(0 yuyuuyy),0,0(xv 0 0 .0 成立成立柯西黎曼方程在点柯西黎曼方程在点 z.0 ,0 Im)(2不可微不可微但在点但在点满足柯西黎曼方程满足柯西黎曼方程的实、虚部在点的实、虚部在点证明函数证明函数 zzzzf2022-8-528 ,0 z但在点但在点zfzf )0()(2yixyx ,12)0()(lim 00izfzfyx 因为因为 .0 )(不可微不可微在点在点故函数故函数 zzf ,0)0()(lim 0,0 zfzfyx2022-8-529例例1919解解根据调和函数的定义可得根据调和函数的定

18、义可得,1 k,2 xxu 因为因为,2 22 xu,2 kyyu ,2 22kyu yxiuuzUzf )()(因为因为kyix22 ).(1)(,)(,.,22zfifivuzfvkyxuk的的并求并求为解析函数为解析函数使使再求再求为调和函数为调和函数使使值值求求 2022-8-530kyix22 yix22 ,2z zzzfd2)(根据不定积分法根据不定积分法,2cz ,1)(if由由 ,0 c得得所求解析函数为所求解析函数为.2)(222zxyiyxzf 2022-8-531用不定积分法求解例用不定积分法求解例1中的解析函数中的解析函数 yxiuuzUzf )()()2(322yxy

19、ixi ,32iz zizzfd3)(2,13ciz ),)(1为任意纯虚数为任意纯虚数所以常数所以常数实的任意常数实的任意常数不可能包含不可能包含的实部为已知函数的实部为已知函数因为因为czf例例2020 .3),(23yxyyxu 实部实部解解 )(为任意实常数为任意实常数c).()(3czizf 故故)(zf2022-8-532例例21 解解用不定积分法求解例用不定积分法求解例2中的解析函数中的解析函数 )(zf.)sincos(),(yxyxyyeyxvx 虚部虚部xyivvzVzf )()(1)sinsincos(yyxyyeix1)cossin(cos yxyyyexiyeiyxy

20、eiyxiyiyexxx 1cos)(sin)()sin(cos2022-8-533iyiyeiyxyiyexx 1sincos)()sin(cosieiyxeiyxiyx 1)(,1izeezz zzVzfd)()(zizeezzd)1(.)1(czizez )(为任意实常数为任意实常数c2022-8-534例例22 解解,2)42)()4(22 yxyxyxyxvuxx两边同时求导数两边同时求导数,2)24)()4(22 yxyxyxyxvuyy,xvyuyvxu 且且所以上面两式分别相加减可得所以上面两式分别相加减可得.)(),(2)4)(22ivuzfyxyxyxyxvu 试确定解析函

21、数试确定解析函数已知已知2022-8-535,23322 yxvy,6xyvx xyivvzf )(xyiyx623322 ,232 z zzzfd)23()(2.23czz )(为任意实常数为任意实常数c2022-8-536例例23 zzfzzfzfzz )()(limlim00解解zyixiyyxxz 2)(2)(lim0yixyixz 2lim0，轴的直线趋向于轴的直线趋向于沿着平行于沿着平行于设设zxzz xyoz0 y是否可导是否可导？问问yixzf2)(2022-8-537xyoz0 yyixyixz 2lim0,1lim0 xxx，轴的直线趋向于轴的直线趋向于沿着平行于沿着平行于

22、设设zyzz 0 xyixyixz 2lim0,22lim0 yiyiy不存在不存在的导数的导数所以所以.2)(yixzf 2022-8-538例例2424解解 满足下列条件的点集是什么满足下列条件的点集是什么,如果是区域如果是区域,指出是单连通域还是多连通域指出是单连通域还是多连通域?,3Im)1(z是一条平行于实轴的直线是一条平行于实轴的直线,-3-2-1123x123456y不是区域不是区域.,2Re)2(z),2Re(2Re zz不包括直线不包括直线为左界的半平面为左界的半平面以以单连通域单连通域.2022-8-539,210)3(iz,2 ,)1(的去心圆盘的去心圆盘为半径为半径为圆

23、心为圆心以以i 是多连通域是多连通域.,4)arg()4(iz),(1,ii不包括端点不包括端点的半射线的半射线斜率为斜率为为端点为端点以以不是区域不是区域.2022-8-540,4arg0)5(iziz ,时时当当iyxz iziz ,)1(2)1(1222222 yxxiyxyx 4arg0 知知由由 iziz0,)1(12222 yxyx0,)1(222 yxx2022-8-541,0)1(22 yx因为因为 ,12,01,02 2222yxxyxx于是于是 .2)1(,1,0 2222yxyxx,2)1(22集集部且属于左半平面的点部且属于左半平面的点的外的外表示在圆表示在圆 yx单连通域单连通域.2222220arg01141xxxyxy 2022-8-542,1)(zf,0)(zf ,arg 趋于趋于零时零时沿不同的射线沿不同的射线当当q q zz .)(趋于不同的值趋于不同的值zf ,0arg 趋于零时趋于零时沿正实轴沿正实轴例如例如 zz ,2arg 趋于趋于零时零时沿沿 z .)(lim 0不存在不存在故故zfz证证,cosq q),sin(cos q qq qirz 令令rrzfq qcos)(则则例例5 5.0 )Re()(不存在不存在时的极限时的极限当当证明函数证明函数 zzzzf