2019年高考数学一轮复习课时分层训练54双曲线（理科）北师大版.doc

1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 课时分层训练 (五十四 ) 双曲线 A 组 基础达标 一、选择题 1 (2017 石家庄一模 )已知双曲线的离心率为 2，焦点是 ( 4,0)， (4,0)，则双曲线的方程为 ( ) A.x24y212 1 B.x212y24 1 C.x210y26 1 D.x26y210 1 A 已知双曲线的离心率为 2，焦点是 ( 4,0)， (4,0)，则 c 4， a 2， b2 12，双曲线方程为 x24y212 1，故选 A. 2 (2018 合肥调研 )双曲线 x2a2y2b2 1(a 0， b 0)的一条渐近线与直线 x 2y 1 0 垂直，则双曲线的离心率为

2、 ( ) A. 52 B. 5 C. 3 12 D. 3 1 B 由已知得 ba 2，所以 e ca a2 b2a2 5a2a2 5，故选 B. 3已知点 F1( 3,0)和 F2(3,0)，动点 P 到 F1， F2的距离之差为 4，则点 P 的轨迹方程为 ( ) A.x24y25 1(y0) B.x24y25 1(x0) C.y24x25 1(y0) D.y24x25 1(x0) B 由题设知点 P 的轨迹方程是焦点在 x 轴上的双曲线的右支，设其方程为 x2a2y2b21(x0， a0， b0)，由题设知 c 3， a 2， b2 9 4 5. 所以点 P 的轨迹方程为 x24y25 1

3、(x0) 4 (2018 济南一模 )已知双曲线 x2a2y2b2 1(a 0， b 0)上一点到两个焦点的距离分别为 10和 4，且离心率为 2，则该双曲线的虚轴长为 ( ) 【导学号： 79140296】 A 3 B 6 C 3 3 D 6 3 =【 ;精品教育资源文库 】 = D 由题意得 2a 10 4 6，解得 a 3，又因为双曲线的离心率 e ca 2，所以 c 6，则 b c2 a2 3 3，所以该双曲线的虚轴长为 2b 6 3，故选 D. 5 (2017 天津高考 )已知双曲线 x2a2y2b2 1(a0， b0)的右焦点为 F，点 A 在双曲线的渐近线上， OAF 是边长为

4、2 的等边三角形 (O 为原点 )，则双曲线的方程为 ( ) A.x24y212 1 B.x212y24 1 C.x23 y2 1 D x2 y23 1 D 根据题意画出草图如图所示 (不妨设点 A 在渐近线 y bax 上 ) 由 AOF 是边长为 2 的等边三角形得到 AOF 60 ， c |OF| 2. 又点 A 在双曲线的渐近线 y bax 上， ba tan 60 3. 又 a2 b2 4， a 1， b 3， 双曲线的方程为 x2 y23 1. 故选 D. 二、填空题 6过双曲线 x2 y23 1 的右焦点且与 x 轴垂直的直线，交该双曲线的两条渐近线于 A， B 两点，则 |AB

5、| _. 4 3 双曲线的右焦点为 F(2,0)，过 F 与 x 轴垂直的直线为 x 2，渐近线方程为 x2 y23 0，将 x 2 代入 x2 y23 0，得 y2 12， y 2 3， | AB| 4 3. 7设双曲线 x24y22 1 的左、右焦点分别为 F1， F2，过 F1的直线 l 交双曲线左支于 A， B 两点，则 |BF2| |AF2|的最小值为 _ 10 由双曲线的标准方程为 x24y22 1，得 a 2，由双曲线的定义可得 |AF2| |AF1| 4，=【 ;精品教育资源文库 】 = |BF2| |BF1| 4，所以 |AF2| |AF1| |BF2| |BF1| 8.因为

6、 |AF1| |BF1| |AB|，当 |AB|是双曲线的通径时， |AB|最小，所以 (|AF2| |BF2|)min |AB|min 8 2b2a 8 10. 8 (2017 全国卷 ) 已知双曲线 C： x2a2y2b2 1(a 0， b0)的右顶点为 A，以 A 为圆心， b为半径作圆 A，圆 A 与双曲线 C 的一条渐近线交于 M， N 两点若 MAN 60 ，则 C 的离心率为 _. 【导学号： 79140297】 2 33 如图，由题意 知点 A(a,0)，双曲线的一条渐近线 l 的方程为 y bax，即 bx ay 0， 点 A 到 l 的距离 d aba2 b2. 又 MAN

7、 60 ， MA NA b， MAN 为等边三角形， d 32 MA 32 b，即 aba2 b2 32 b， a2 3b2， e ca a2 b2a2 2 33 . 三、解答题 9已知椭圆 D： x250y225 1 与圆 M： x2 (y 5)2 9，双曲线 G 与椭圆 D 有相同焦点，它的两条渐近线恰好与圆 M 相切，求双曲线 G 的方程 解 椭圆 D 的两个焦点为 F1( 5,0)， F2(5,0)，因而双曲线中心在原点，焦点在 x 轴上，且 c 5. 设双曲线 G 的方程为 x2a2y2b2 1(a0， b0)， 渐近线方程为 bx ay 0 且 a2 b2 25， 又圆心 M(0,

8、5)到两条渐近线的距离为 r 3. |5a|b2 a2 3，得 a 3， b 4， =【 ;精品教育资源文库 】 = 双曲线 G 的方程为 x29y216 1. 10已知双曲线的中心在原点，左，右焦点 F1， F2 在坐标轴上，离心率为 2，且过点 (4， 10) (1)求双曲线的方程； (2)若点 M(3， m)在双曲线上，求证： MF 1 MF 2 0. 解 (1) e 2， 可设双曲 线的方程为 x2 y2 ( 0) 双曲线过点 (4， 10)， 16 10 ，即 6， 双曲线的方程为 x2 y2 6. (2)法一：由 (1)可知，双曲线中 a b 6， c 2 3， F1( 2 3，

9、0)， F2(2 3， 0)， kMF1 m3 2 3， kMF2 m3 2 3， kMF1 kMF2 m29 12m23. 点 M(3， m)在双曲线上， 9 m2 6， m2 3， 故 kMF1 kMF2 1， MF1 MF2，即 MF 1 MF 2 0. 法二：由证法一知 MF 1 ( 3 2 3， m)， MF 2 (2 3 3， m)， MF 1 MF 2 (3 2 3)(3 2 3) m2 3 m2， 点 M 在双曲线上， 9 m2 6，即 m2 3 0， MF 1 MF 2 0. B 组 能力提升 11 (2017 康杰中学 )过双曲线 x2a2y2b2 1(a0， b0)的右焦

10、点 与对称轴垂直的直线与渐近线交于 A， B 两点，若 OAB 的面积为 13bc3 ，则双曲线的离心率为 ( ) A. 52 B. 53 C. 132 D. 133 =【 ;精品教育资源文库 】 = D 由题意可求得 |AB| 2bca ，所以 S OAB 12 2bca c 13bc3 ，整理得 ca 133 .因此 e 133 . 12 (2017 山东高考 )在平面直角坐标系 xOy 中，双曲线 x2a2y2b2 1(a0， b0)的右支与焦点为 F 的抛物线 x2 2py(p0)交于 A， B 两点若 |AF| |BF| 4|OF|，则该双曲线的渐近线方程为 _ y 22 x 设 A

11、(x1， y1)， B(x2， y2) 由? x2a2y2b2 1，x2 2py，得 a2y2 2pb2y a2b2 0， y1 y2 2pb2a2 . 又 | AF| |BF| 4|OF|， y1 p2 y2 p2 4 p2，即 y1 y2 p， 2pb2a2 p，即b2a212， ba22 ， 双曲线的渐近线方程为 y 22 x. 13 (2018 湖南五市十校联考 )已知离心率为 45的椭圆的中心在原点，焦点在 x 轴上，双曲线以椭圆的长轴为实轴，短轴为虚轴，且焦距为 2 34. (1)求椭圆及双曲线的方程 (2)设椭圆的左、右顶点分别为 A， B，在第二象限内取双曲线上一点 P，连接

12、BP 交椭圆于点 M，连接 PA 并延长交椭圆于点 N，若 BM MP ，求四边形 ANBM 的面积 . 【导学号： 79140298】 解 (1)设椭圆方 程为 x2a2y2b2 1(a b 0)，则根据题意知双曲线的方程为x2a2y2b21 且满足 ? a2 b2a 45，2 a2 b2 2 34，=【 ;精品教育资源文库 】 = 解方程组得? a2 25，b2 9. 所以椭圆的方程为 x225y29 1， 双曲线的方程为 x225y29 1. (2)由 (1)得 A( 5,0)， B(5,0)， |AB| 10， 设 M(x0， y0)，则由 BM MP 得 M 为 BP 的中点，所以

13、P 点坐标为 (2x0 5, 2y0) 将 M， P 坐标代入椭圆和双曲线方程， 得? x2025 y209 1，(2x0 5)225 4y209 1，消去 y0，得 2x20 5x0 25 0. 解得 x0 52或 x0 5(舍去 ) 所以 y0 3 32 . 由此可得 M? ? 52， 3 32 ， 所以 P( 10,3 3) 当 P 为 ( 10,3 3)时， 直线 PA 的方程是 y 3 3 10 5(x 5)， 即 y 3 35 (x 5)，代入 x225y29 1，得 2x2 15x 25 0. 所以 x 52或 5(舍去 )， 所以 xN 52， xN xM， MN x 轴 所以 S 四边形 ANBM 2S AMB 2 1210 3 32 15 3.